1、专题3 正余弦定理及其应用1、【2022年全国甲卷】沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在AB上，“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD2OA当时，s=（）A11?332B11?432C9?332D9?4322、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在中，已知，则（ ）A1BCD33、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，则_4、（2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
2、面积为，则_5、【2021年乙卷理科】魏晋时刘徽撰写的海岛算经是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高如图，点，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（）A表高B表高C表距D表距6、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）AB2C4D87、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）ABCD8、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）ABC的内
3、角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求A；（2）若，证明：ABC是直角三角形9、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.10、【2022年全国甲卷】已知中，点D在边BC上，当ACAB取得最小值时，BD=_11、【2021年乙卷文科】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，则_12、【2020年新课标1卷理科】如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC=1，ABAC，ABAD，CAE=30，则cosFCB=_.13、【2022年全国乙卷】记的内角A，B，C的对边分别为a
4、，b，c已知sinCsinA?B=sinBsinC?A(1)若A=2B，求C；(2)证明：2a2=b2+c214、【2022年全国乙卷】记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinCsin(A?B)=sinBsin(C?A)(1)证明：2a2=b2+c2；(2)若a=5,cosA=2531，求的周长15、【2022年新高考1卷】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B(1)若，求B；(2)求a2+b2c2的最小值16、【2022年新高考2卷】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1
5、,S2,S3，已知S1?S2+S3=32,sinB=13(1)求的面积；(2)若sinAsinC=23，求b题组一、 运用正、余弦定理解决边角及面积问题1-1、【2022广东省梅江市梅州中学10月月考】在中，BC=1，AC=5，则AB=A. B. C. D. 1-2、（2022江苏如东高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45，然后从点C处沿南偏东30方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30，则旗杆的高为（ ）A20mB10mCmDm1-3、【2022广东省深圳市福田中学10月月考】在中，内角，所对的边分别为，且满足，
6、则（ ）A. B. C. D. 1-4、【2022广东省珠海市第二中学10月月考】在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形1-5、（2022江苏海安高三期末）在平面四边形ABCD中，BAD2ACB4BAC，AB2，BC，CD（1）求ACB的大小；（2）求四边形ABCD的面积1-6、（2022江苏如皋高三期末）已知在ABC中，D为边BC上一点，CD=10，2AC=3AD=AB，cosCAD=.（1）求AD的长；（2）求sinB.1-7、（2022江苏无锡高三期末）中，角所对应的边分别为，已知，_.请在；这两个
7、条件中任选一个，补充在上面的横线上并加以解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）（1）求角；（2）求面积.题组二、 运用余弦定理研究范围问题2-1、（2022湖北襄阳高三期末）在中，则角的最大值为（ ）ABCD2-2、【2022广东省深圳市外国语学校第一次月考10月】在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B的最大值为（ ）A. B. C. D. 2-3、（2022江苏宿迁高三期末）在；，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在中，内角的对边分别为，且_.（1）求角；（2）若是锐角三角形，且，求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按
8、第一个解答计分. 2-4、（2022广东潮州高三期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）求角B的大小；（2）若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=2，求面积的最大值2-5、（2022广东铁一中学高三期末）在，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角，所对的边分别是，若_.（1）求角；（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.2-6、（2022湖北黄石市有色第一中学高三期末）在中，角的对边分别是，的面积为.（1）若，求边；（2）若是锐角三角形且角，求的取值范围.2-7、（2022湖北恩施土家族苗族高中高三期末）已知ABC的三个内角分别为A，B，C，向量夹
9、角的余弦角为（1）求角B的大小；（2）求的取值范围.题组三、正余弦定理与其它知识点的结合3-1、（2022湖北省鄂州高中高三期末）在中，为的重心，若，则外接圆的半径为（ ）ABCD3-2、（2022山东师范大学附中高三模拟）在平面直角坐标系中，已知ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（）A0B1C2D不确定3-3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）（多选题）在中，内角，所对的边分别为，若，依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（ ）A，依次成等差数列B，依次成等差数列C，依次成等差数列D，依次成等差数列3-4、（2022湖南郴州高三期末）在中，若边对应的角分别为，且（1）求角的大小
10、；（2）若，求的长度3-5、（2022山东济南高三期末）在.中，角，的对边分别为，已知，.（1）求角；（2）若点在边上，且，求面积的最大值.1、（2021山东泰安市高三三模）在中，则（ ）ABCD2、【2022广东省普通高中10月阶段性质量检测】在中，内角、所对的边分别为、，则“”是“是以、为底角的等腰三角形”的（ ）A 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3、【2022广东省深圳市福田中学10月月考】(多选题)在中，下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则定为等腰三角形或直角三角形C. 在等边中，边长为2，则D. 若三角形的三边的比是，则此三角形的
11、最大角为钝角4、（2022广东东莞高三期末）的内角、的对边分别为、，已知.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.5、（2022广东罗湖高三期末）设的内角、的对边分别为、，且（1）求角的大小；（2）若边上的高为，求6、（2022广东清远高三期末）在平面四边形中，（1）求；（2）求的面积7、（2022广东汕尾高三期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角B（2）当b=3时，求的面积的最大值8、（2022湖南常德高三期末）设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，（1）求角A的大小；（2）从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分设角A的角平分线交BC边于点D，且，
12、求面积的最小值设点D为BC边上的中点，且，求面积的最大值9、（2022河北深州市中学高三期末）的内角，的对边分别为，.已知向量，且.（1）求；（2）若，且，求的周长.专题3 正余弦定理及其应用1、【2022年全国甲卷】沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：当时，（）ABCD【答案】B【解析】：如图，连接，因为是的中点，所以，又，所以三点共线，即，又，所以，则，故，所以.故选：B.2、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在中，已知，则（ ）A1BCD3
13、【答案】D【解析】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.3、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，则_【答案】【解析】文由题意，所以，所以，解得（负值舍去）.故答案为：.4、（2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，则_【答案】【解析】由题意，所以，所以，解得（负值舍去）.故答案为：.5、【2021年乙卷理科】魏晋时刘徽撰写的海岛算经是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高如图，点，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“
14、表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（）A表高B表高C表距D表距【答案】A【解析】如图所示：由平面相似可知，而 ，所以，而 ，即 故选：A.6、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）AB2C4D8【答案】C【解析】设故选：C7、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）ABCD【答案】A【解析】在中，根据余弦定理：可得 ，即由故.故选：A.8、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）ABC的内角A，B，C的对边分别为
15、a，b，c，已知（1）求A；（2）若，证明：ABC是直角三角形【解析】（1）因为，所以，即，解得，又，所以；（2）因为，所以，即，又， 将代入得，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形9、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理可得：，.（2）由余弦定理得：，即.（当且仅当时取等号），解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.10、【2022年全国甲卷】已知中，点D在边BC上，当取得最小值时，_【解析】设，则在中，在中，所以，当且仅
16、当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.11、【2021年乙卷文科】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，则_【答案】【解析】由题意，所以，所以，解得（负值舍去）.故答案为：.12、【2020年新课标1卷理科】如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC=1，ABAC，ABAD，CAE=30，则cosFCB=_.【答案】【解析】，由勾股定理得，同理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得.故答案为：.13、【2022年全国乙卷】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知(1)若，求C；(2)证明：【解析】(1)由，可得，而，所以，即有，而，显然，所以，而，所以(2)由可
17、得，再由正弦定理可得，然后根据余弦定理可知，化简得：，故原等式成立14、【2022年全国乙卷】记的内角的对边分别为，已知(1)证明：；(2)若，求的周长【解析】(1)证明：因为，所以，所以，即，所以；(2)：因为，由（1）得，由余弦定理可得， 则，所以，故，所以，所以的周长为.15、【2022年新高考1卷】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)若，求B；(2)求的最小值【解析】(1)因为，即，而，所以；(2)由（1）知，所以，而，所以，即有所以当且仅当时取等号，所以的最小值为16、【2022年新高考2卷】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角
18、形的面积依次为，已知(1)求的面积；(2)若，求b【解析】(1)由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，则；(2)由正弦定理得：，则，则，.题组一、 运用正、余弦定理解决边角及面积问题1-1、【2022广东省梅江市梅州中学10月月考】在中，BC=1，AC=5，则AB=A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为所以，选A.1-2、（2022江苏如东高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45，然后从点C处沿南偏东30方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30，则旗杆的高为（ ）A20mB10mCmDm【答案】
19、B【解析】如图示，AB表示旗杆，由题意可知：，所以设 ，则，在 中， ,即 ，解得 ，（舍去），故选：B.1-3、【2022广东省深圳市福田中学10月月考】在中，内角，所对的边分别为，且满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由正弦定理知，所以，故选：D1-4、【2022广东省珠海市第二中学10月月考】在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2a2+bc则：，由于：0A，故：A由于：sinBsinCsin2A，利用
20、正弦定理得：bca2，所以：b2+c22bc0，故：bc，所以：ABC为等边三角形故选C1-5、（2022江苏海安高三期末）在平面四边形ABCD中，BAD2ACB4BAC，AB2，BC，CD（1）求ACB的大小；（2）求四边形ABCD的面积【解析】（1）由题意，设，则，在中，由正弦定理有，即，解得.所以，因为，所以.（2）由（1），可知，由正弦定理有，即，解得，在中，由余弦定理有，即，解得，四边形ABCD的面积.1-6、（2022江苏如皋高三期末）已知在ABC中，D为边BC上一点，CD=10，2AC=3AD=AB，cosCAD=.（1）求AD的长；（2）求sinB.【解析】（1）依题意，在中，
21、由余弦定理得：，即，解得，所以AD的长是.（2）在中，由(1)知，由余弦定理得：，则有，在中，由正弦定理得：，所以.1-7、（2022江苏无锡高三期末）中，角所对应的边分别为，已知，_.请在；这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并加以解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）（1）求角；（2）求面积.【解析】（1）若选，则由，若选，则，.（2）在中，由正弦定理而题组二、 运用余弦定理研究范围问题2-1、（2022湖北襄阳高三期末）在中，则角的最大值为（ ）ABCD【答案】A【解析】设，则，由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，因为，则.故选：A.2-2、【2022广东省深圳
22、市外国语学校第一次月考10月】在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由得，整理得，又，当且仅当时取等号，因为，所以B的最大值为，故选：C.2-3、（2022江苏宿迁高三期末）在；，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在中，内角的对边分别为，且_.（1）求角；（2）若是锐角三角形，且，求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）选择：条件即，由正弦定理可知，在中，所以，所以，且，即，所以；选择：条件即，即，在中，所以，则，所以，所以.选择：条件即，所以，在中，所
23、以.（2）由（1）知，所以，由正弦定理可知，由是锐角三角形得，所以.所以，所以，故的取值范围为.2-4、（2022广东潮州高三期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）求角B的大小；（2）若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=2，求面积的最大值【解析】（1）因为，所以由正弦定理得,所以，所以，所以，因为，所以，因为，所以（2）因为点D在边AC上，且AD=2DC，所以，所以,所以，即，因为，所以，即，当且仅当时取等号，所以面积为，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为2-5、（2022广东铁一中学高三期末）在，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角，所对
24、的边分别是，若_.（1）求角；（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.【解析】（1）选，由正弦定理得，即，.选，由正弦定理可得，.选，由已知结合正弦定理可得，.（2），即，解得，当且仅当时取等号，周长的最小值为6，此时的面积.2-6、（2022湖北黄石市有色第一中学高三期末）在中，角的对边分别是，的面积为.（1）若，求边；（2）若是锐角三角形且角，求的取值范围.【解析】（1），又，则或当时，；当时，或（2）由正弦定理得，是锐角三角形，；，；，的取值范围为.2-7、（2022湖北恩施土家族苗族高中高三期末）已知ABC的三个内角分别为A，B，C，向量夹角的余弦角为（1）求角B的大小；（2）求的
25、取值范围.【解析】（1） 即解得（舍）（2）由（1）可知，即题组三、正余弦定理与其它知识点的结合3-1、（2022湖北省鄂州高中高三期末）在中，为的重心，若，则外接圆的半径为（ ）ABCD【答案】C【解析】由，可得，则有又在中，为的重心，则为等边三角形.则解之得，则外接圆的半径为故选：C3-2、（2022山东师范大学附中高三模拟）在平面直角坐标系中，已知ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（）A0B1C2D不确定【答案】C【解析】由题设知：是椭圆的两个焦点，又B在椭圆上，所以，而，故.故选：C3-3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）（多选题）在中，内角，所对的边分别为，若，依次成等差
26、数列，则下列结论中不一定成立的是（ ）A，依次成等差数列B，依次成等差数列C，依次成等差数列D，依次成等差数列【答案】ABD【解析】中，内角所对的边分别为，若，依次成等差数列，则：，利用，整理得：，利用正弦和余弦定理得：，整理得：，即：依次成等差数列.此时对等差数列的每一项取相同的运算得到数列，或，或，这些数列一般都不可能是等差数列，除非，但题目没有说是等边三角形，故选：ABD.3-4、（2022湖南郴州高三期末）在中，若边对应的角分别为，且（1）求角的大小；（2）若，求的长度【解析】解：因为，由正弦定理可得在，即又，（2）解：且，3-5、（2022山东济南高三期末）在.中，角，的对边分别为，
27、已知，.（1）求角；（2）若点在边上，且，求面积的最大值.【解析】解：因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以.（2）解：因为，所以；所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以面积的最大值为.1、（2021山东泰安市高三三模）在中，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由余弦定理得：，所以，因为，所以，所以，故选：D2、【2022广东省普通高中10月阶段性质量检测】在中，内角、所对的边分别为、，则“”是“是以、为底角的等腰三角形”的（ ）A 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理化简等式，结合充分条件、必要条件的定义
28、判断即可得出结论.【详解】，即，整理得，或，则是以、为底角的等腰三角形或以为直角的直角三角形.因此，“”是“是以、为底角的等腰三角形”的必要不充分条件.故选：B.3、【2022广东省深圳市福田中学10月月考】(多选题)在中，下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则定为等腰三角形或直角三角形C. 在等边中，边长为2，则D. 若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角【答案】ABD【解析】【分析】A，根据正弦定理结合大角对大边可得结论；B，根据诱导公式及三角函数图像与性质可得结论；C，根据向量的数量积及夹角可得结论；D，设出三边的长度，利用余弦定理即可求出最大角【详解】解：对于A选项，由
29、正弦定理结合大角对大边得，故A选项正确；对于B选项，由于，由于，是三角形的内角，所以 或，即 或，因此 可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项正确；对于C选项，在等边中，边长为2，则,故C选项不正确；对于D选项，的三边之比为，设三边长依次为，其中；则最大角是，由余弦定理知，故D选项正确故选：ABD4、（2022广东东莞高三期末）的内角、的对边分别为、，已知.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.【解析】解：因为，由正弦定理得，即，由，得，因为，所以.（2）解：由，得，解得，由，即，即.由，得，故，所以的周长为.5、（2022广东罗湖高三期末）设的内角、的对边分别为、，且（1）求角的大小；（2
30、）若边上的高为，求【解析】解：由余弦定理，得， 所以， 所以， 又因为，所以，则，因此，.（2）解：因为的面积，则， 由余弦定理，得，所以， 所以，.6、（2022广东清远高三期末）在平面四边形中，（1）求；（2）求的面积【解析】（1）因为为直角三角形，所以在中，由余弦定理，得，所以（2）由（1）知，所以，所以为直角三角形，且，所以，故7、（2022广东汕尾高三期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角B（2）当b=3时，求的面积的最大值【解析】（1）由正弦定理得：，整理得，所以，因为，所以（2）因为，所以（当且仅当时等号成立），所以面积的最大值.8、（2022湖南常德高三
31、期末）设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，（1）求角A的大小；（2）从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分设角A的角平分线交BC边于点D，且，求面积的最小值设点D为BC边上的中点，且，求面积的最大值【解析】（1）且,，即，又，；（2）选AD平分BAC，即，由基本不等式可得：， ，当且仅当时取“=”，即的面积的最小值为；因为AD是BC边上的中线，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，在中，由余弦定理得，解得，当且仅当时取“=”，所以，即的面积的最大值为.9、（2022河北深州市中学高三期末）的内角，的对边分别为，.已知向量，且.（1）求；（2）若，且，求的周长.【解析】解：（1）根据题意，可得，化简整理得，即.因为，所以，又，则.（2）由（1）知，则.又因为，所以，故，因此.因为，所以，故的周长为.
