1、专题19 函数中的数列问题一、单选题1对于一切实数x，令为不大于x的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数.若，为数列的前n项和，则（）ABCD2已知数列是等比数列，是函数的两个不同零点，则等于（）ABC14D163若，成等差数列，则二次函数的图象与轴的交点个数为（）A0B1C2D1或24已知数列中，前项和为，点在函数的图象上，则等于（）ABCD5等差数列an中，a2+a5+a8=12，那么函数x2+（a4+a6）x+10零点个数为（）A0B1C2D1或26已知函数，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和,则（ ）ABC45D557若数列为等
2、比数列，则称为等比函数.下列函数中，为等比函数的是（）ABCD8在等差数列中，a2，a2020是函数f(x)x36x24x1的两个不同的极值点，则的值为（）A3BC3D9已知函数，且，则等于（）ABCD10已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是（）ABCD11设函数，若数列是单调递减数列，则实数k的取值范围为（）ABCD12已知数列为等比数列，其中，若函数，为的导函数，则（）ABCD13已知函数的图象过点，且，记数列的前项和为，则（）ABCD14已知函数，数列是公差为1的等差数列，且，若，则（）ABCD15已知是定义在上的偶函数，令，若是的等差中项，则（）ABCD16若函数，则称
3、f（x）为数列的“伴生函数”，已知数列的“伴生函数”为，则数列的前n项和（）ABCD17已知等差数列中，设函数，记，则数列的前项和为（）ABCD18已知函数，数列满足，数列的前项和为，若，使得恒成立，则的最小值是（）A2B3C4D5二、多选题19已知函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则（）A是单调递增函数B图像是中心对称图形C，D20已知函数，则()A，成等差数列B，成等差数列C，成等比数列D，成等比数列21已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数x，y都有，若数列的前n项和为，且满足，则下列正确的是（）ABCD22数列的各项均是正数，函数在点处的切线过点，则下列正确的是（）AB数列
4、是等比数列C数列是等比数列D23等差数列an的前n项的和为Sn，公差，和是函数的极值点，则下列说法正确的是（）A38BCD三、填空题24等比数列中，函数，则_25已知对任意，函数满足，设，且，则_26已知是函数，的一个零点，令，为数列的前项和，则_.27已知函数有两个零点1和2，若数列满足：，记且，则数列的通项公式_28已知函数，若递增数列满足，则实数的取值范围为_.29已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则_.30已知等差数列满足，函数，则数列的前项和为_四、解答题31设数列的前项和为，点均在函数的图象上.(1)求证：数列为等差数列；(2)设是数列的前项和，求使对所有都
5、成立的最小正整数.32已知数列和中，数列的前项和记为. 若点在函数的图像上，点在函数的图象上.(1）求数列的通项公式；(2）求数列的前项和记为.33函数的部分图象如图所示，（1）求函数的解析式；（2）已知数列满足，且是与的等差中项，求的通项公式.34已知点（）在函数的图象上，（1）证明：数列为等差数列；（2）设，记，求35已知函数对任意实数p，q都满足，且(1)当时，求的表达式；(2)设（），是数列的前n项和，求(3)设（），数列的前n项和为，若对恒成立，求最小正整数m36已知函数，数列满足，(1)求数列的通项公式；(2)令，若对一切都成立，求最小的正整数的值专题19 函数中的数列问题一、单选
6、题1对于一切实数x，令为不大于x的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数.若，为数列的前n项和，则（）ABCD【解析】由题意，当，时，均有，故可知：.故选：A2已知数列是等比数列，是函数的两个不同零点，则等于（）ABC14D16【解析】是函数的两个不同零点，所以，由于数列是等比数列，所以.故选：C3若，成等差数列，则二次函数的图象与轴的交点个数为（）A0B1C2D1或2【解析】由，成等差数列，可得，所以，所以二次函数的图象与轴交点的个数为1或2.故选：D.4已知数列中，前项和为，点在函数的图象上，则等于（）ABCD【解析】点在函数的图象上，则，当时，则，当时，满足.故选：A5等差数列an中，a
7、2+a5+a8=12，那么函数x2+（a4+a6）x+10零点个数为（）A0B1C2D1或2【解析】根据等差数列的性质只，故二次函数对应的判别式，所以函数有两个零点，故选C.6已知函数，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和,则（ ）ABC45D55【解析】函数图像如图所示，y=x-1与该函数的交点的横坐标是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，求和得457若数列为等比数列，则称为等比函数.下列函数中，为等比函数的是（）ABCD【解析】因为，所以不是常数，A错误；因为，所以，不是常数，B错误；因为，所以，所以数列为等比数列，故为等比函数，C
8、正确；因为，所以，不是常数，D错误.故选：C8在等差数列中，a2，a2020是函数f(x)x36x24x1的两个不同的极值点，则的值为（）A3BC3D【解析】因为，a2，a2020是该函函数的两个不同的极值点，故可得a2，a2 020是方程的两个不等实数根，故，又是等差数列，故可得，故.故选：B.9已知函数，且，则等于（）ABCD【解析】对任意的，因此，.故选：C.10已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是（）ABCD【解析】因为数列是单调递增数列，则函数在上为增函数，可得，函数在上为增函数，可得，可得，且有，即，即，解得或.综上所述，.故选：C.11设函数，若数列是单调递减数列
9、，则实数k的取值范围为（）ABCD【解析】因为数列是单调递减数列，所以只需且，即且，故实数k的取值范围为故选：C12已知数列为等比数列，其中，若函数，为的导函数，则（）ABCD【解析】，为等比数列，则.故选:C.13已知函数的图象过点，且，记数列的前项和为，则（）ABCD【解析】由，可得，解得，则，.故选：D.14已知函数，数列是公差为1的等差数列，且，若，则（）ABCD【解析】因为，所以，所以数列是公比为的等比数列，所以，所以，所以，故选：D15已知是定义在上的偶函数，令，若是的等差中项，则（）ABCD【解析】令，则，是的等差中项，.故选：B.16若函数，则称f（x）为数列的“伴生函数”，已
10、知数列的“伴生函数”为，则数列的前n项和（）ABCD【解析】依题意，可得，所以，即，故数列为等比数列，其首项为，公比也为2，所以，所以，所以，所以.令，则，两式相减，得，所以，所以.故选：C.17已知等差数列中，设函数，记，则数列的前项和为（）ABCD【解析】，由，可得，当时，故函数的图象关于点对称，由等差中项的性质可得，所以，数列的前项和为.故选：D.18已知函数，数列满足，数列的前项和为，若，使得恒成立，则的最小值是（）A2B3C4D5【解析】函数，数列满足，且，可知数列为递增数列，所以，因此，使得恒成立整数的最小值是2，故选：A二、多选题19已知函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则
11、（）A是单调递增函数B图像是中心对称图形C，D【解析】对于A：，所以是单调递增函数.故A正确；对于B：设存在对称中心为，则，所以，即对任意x都成立，所以只需.不妨取，符合题意.所以为的一个对称中心.故B正确；对于D：因为，所以.即.因为的值不含，所以只需： .所以.故D正确；对于C：数列为等差数列，且公差不为0，所以，解得：.故C错误.故选：ABD20已知函数，则()A，成等差数列B，成等差数列C，成等比数列D，成等比数列【解析】A：，则，由等差中项的应用知，成等差数列，所以A正确；B：，则，由等差中项的应用知，成等差数列，所以B正确；C：，则，成等差数列，又，所以C错误；D：，则，由等比中项
12、的应用知，成等比数列，所以D正确.故选：ABD.21已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数x，y都有，若数列的前n项和为，且满足，则下列正确的是（）ABCD【解析】由题意，知，又，两式相减得又时，数列是首项为1，公比为的等比数列，故选：AD22数列的各项均是正数，函数在点处的切线过点，则下列正确的是（）AB数列是等比数列C数列是等比数列D【解析】对函数求导得，故函数在点处的切线方程为，即，由已知可得，对任意的，则，即，所以，所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，B对；，A对；且，故数列不是等比数列，C错；由上可知，因为，且，则，即，所以，且，故数列是等比数列，且首项为，公比为，因此，D
13、对.故选：ABD.23等差数列an的前n项的和为Sn，公差，和是函数的极值点，则下列说法正确的是（）A38BCD【解析】由题得，令，又因为公差，所以,，所以，经计算，.所以，故选：ACD.三、填空题24等比数列中，函数，则_【解析】因为，所以，所以（舍负），设，则，所以，所以.25已知对任意，函数满足，设，且，则_【解析】因为，所以，两边平方得，即，因为，所以，所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列，所以，解得或（舍去），所以，26已知是函数，的一个零点，令，为数列的前项和，则_.【解析】因为为的零点，则，所以，所以，所以，27已知函数有两个零点1和2，若数列满足：，记且，则数列的通项公式_
14、【解析】由题意得：的两个根为1和2，由韦达定理得：，所以，则，所以，因为，所以，所以为等比数列，公比为2，首项为3，所以.28已知函数，若递增数列满足，则实数的取值范围为_.【解析】由于是递增数列，所以.所以的取值范围是.29已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则_.【解析】当时，即，；当时，函数周期为2，画出函数图象，如图所示：与函数恰有个不同的交点，根据图象知，直线与第个半圆相切，故，故，.30已知等差数列满足，函数，则数列的前项和为_【解析】等差数列满足，即函数，数列的前项和为四、解答题31设数列的前项和为，点均在函数的图象上.(1)求证：数列为等差数列；(2)设是
15、数列的前项和，求使对所有都成立的最小正整数.【解析】(1)依题意，3n2，即Sn3n22n， n2时，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5. 当n1时，a1S11符合上式， 所以an6n5(nN) 又anan16n56(n1)56，an是一个以1为首项，6为公差的等差数列. (2)由(1)知， 故Tn (1)()() (1) 因此使得 (1) (nN)成立的m必须且仅需满足，即m10，故满足要求的最小正整数m为10 32已知数列和中，数列的前项和记为. 若点在函数的图像上，点在函数的图象上.(1）求数列的通项公式；(2）求数列的前项和记为.【解析】（1）由已知得，因为当时，
16、；又当时，所以；（2）由已知得，所以，所以，两式相减可得，整理得.33函数的部分图象如图所示，（1）求函数的解析式；（2）已知数列满足，且是与的等差中项，求的通项公式.【解析】（1）由图象可知，从而.又当时，函数取得最大值，故，（2）由已知数列中有：，设递推公式可以转化为即.故递推公式为，令，则，且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则，所以.34已知点（）在函数的图象上，（1）证明：数列为等差数列；（2）设，记，求【解析】（1）点在函数的图象上，并且，即，整理得（，），数列是以1为首项、1为公差的等差数列（2）由（1）知，35已知函数对任意实数p，q都满足，且(1)当时，求的表达式；(2)设（），是数列的前n项和，求(3)设（），数列的前n项和为，若对恒成立，求最小正整数m【解析】(1)依题意，当时，而，则数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.(2)由（1）知，两式相减得，所以.(3)由（1）知，于是得，因此，则，依题意，解得，所以最小正整数m的值是2012.36已知函数，数列满足，(1)求数列的通项公式；(2)令，若对一切都成立，求最小的正整数的值【解析】(1)因为，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以(2)当时，当时，上式同样成立，故所以因为对一切都成立，即对一切都成立，又随着n的增大而增大，且，所以，所以，所以最小的正整数的值为
