1、第17讲 三角函数中的取值与范围问题【典型例题】例1（2022甲卷）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是ABCD例2（2022秋泸州期末）设函数若对任意的实数都成立，则的最小值为ABCD1例3（2022鹰潭一模）函数，已知，为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在，上单调递减记满足条件的所有的值的和为，则的值为ABCD例4（2022辽宁一模）将函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图像，若在，上单调递减，则实数的取值范围为A，B，C，D，例5（2022秋温州期末）若函数能够在某个长度为3的闭区间上至少三次
2、出现最大值3，且在上是单调函数，则整数的值是A4B5C6D7例6（2022黄山模拟）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在，上为增函数，则的最大值为A1BC2D例7（2022秋儋州校级期末）已知函数在区间上的最小值是，则的取值范围为ABCD例8（2022秋嘉兴期末）已知函数，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为A5B7C9D11例9（2022秋安康期末）已知函数，为图象的一条对称轴，为图象的一个对称中心，且在上单调，则的最大值为例10（2022春岳麓区校级期末）若在区间，上是增函数，则的取值范围是 【同步练习】一选择题1若函数在区间上单调递增，则的取值范围是ABCD2函数在
3、，上单调递增，则的取值范围是A，B，C，D，3（2022河南三模）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为A9B15C21D334（2022南开区三模）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的值可能为ABC3D45（2022天津模拟）设，函数，若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围是ABCD6（2022甲卷）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是A，B，C，D，7（2022新课标）设函数，已知在，有且仅有5个零点下述四个结论：在有且仅有3个极大值点；在有且仅有2个极小值点；在单调递增；的取值范围是，其中所有正确结
4、论的编号是ABCD8（2022秋泉港区校级期末）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在，单调，则的最大值为A11B9C7D59（2022秋武昌区校级期中）已知函数为图象的对称轴，为的零点，且在区间上单调，则的最大值为A13B12C9D510（2022安徽模拟）已知函数在区间不存在极值点，则的取值范围是ABCD11（2022景德镇模拟）已知函数，若函数在区间上没有零点，则的取值范围是ABCD12（2022庄浪县校级开学）已知函数，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是ABCD13（2022荆州一模）已知函数，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是ABCD14（2022海淀区校级模拟）若是函数两个
5、相邻的极值点，则ABC1D215（2022秋吉林期末）已知函数，若在区间内没有零点，则的最大值是ABCD16（2022春瑶海区月考）将函数，图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，函数的部分图象如图所示，且在，上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为，则的取值范围是ABCD17（2022春沈阳期末）已知函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是A1B3C5D718（2022春湖北期中）已知给出下列判断：若，且，则；若在，上恰有9个零点，则的取值范围为；存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；若在上单调递增，则的取值范围为其中，判断正确的个数为A1B
6、2C3D419（2022梅河口市校级开学）已知函数，若在上没有零点，则的取值范围是ABCD，20（2022安徽模拟）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是A，BCD21（2022秋成都期末）已知，在函数，的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，当，时，函数的图象恒在轴的上方，则的取值范围是A，B，CD22（2022河北区一模）将函数，的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在，上为增函数，则的最大值为A1B2C3D4二多选题23（2022广东模拟）函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则下列说法正确的是A若为偶函数，则的最小正值是B若为偶函数，则的最小正值是C若为奇函数，则的
7、最小正值是D若为奇函数，则的最小正值是24（2022秋罗源县校级月考）设函数，已知在，有且仅有5个零点下述四个结论：在上有且仅有3个极大值点； 在上有且仅有2个极小值点；在上单调递增；的取值范围是，其中所有正确结论是ABCD25（2022秋常熟市月考）对于函数（其中，下列结论正确的是A若恒成立，则的最小值为2B当时，在区间上是单调函数C当时，的图象可由的图象向右移个单位长度得到D当时，的图象关于点中心对称26（2022秋江门月考）将函数的图象向右平移单位长度，所得的图象经过点，且在，上为增函数，则取值可能为A2B4C5D627（2022辽阳二模）已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值
8、可以为A1BCD2三填空题28（2022浙江模拟）已知函数，在，上单调，其图象经过点，且有一条对称轴为直线，则的最大值是 29（2022秋鼓楼区校级期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象若在区间上为增函数，则的取值范围是30（2022乙卷）记函数，的最小正周期为若，为的零点，则的最小值为 31（2022双流区校级二模）已知函数，若对于恒成立，的一个零点为，且在区间，上不是单调函数，则的最小值为32（2022秋益阳期末）已知函数，为图象的一个对称中心，为图象的一条对称轴，且在上单调，则符合条件的值之和为第17讲 三角函数中的取值与范围问题【典型例题】例1（2022甲卷）将函数的图像向左
9、平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是ABCD【解析】解：将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，则对应函数为，的图象关于轴对称，即，则令，可得的最小值是，故选：例2（2022秋泸州期末）设函数若对任意的实数都成立，则的最小值为ABCD1【解析】解：若对任意的实数都成立，则是的最大值，即，即，当时，取得最小值为，故选：例3（2022鹰潭一模）函数，已知，为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在，上单调递减记满足条件的所有的值的和为，则的值为ABCD【解析】解：函数，由题意知，两式相减可求得，即，因为在，上单调递减，所以，所以，且，解得，所以，1，2，时，此时，符合题意
10、；时，此时，不满足在，上单调递减，不符合题意；时，此时，符合题意；所以符合条件的值之和为故选：例4（2022辽宁一模）将函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图像，若在，上单调递减，则实数的取值范围为A，B，C，D，【解析】解：将函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，再向左平移个单位长度，得到函数的图像，即，若在，上单调递减，则的周期，即，得，由，得，即，即的单调递减区间为，若在，上单调递减，则，即，当时，即的取值范围是，故选：例5（2022秋温州期末）若函数能够在某个长度为3的闭区间上至少三次出现最大值3，且在上是单调函数
11、，则整数的值是A4B5C6D7【解析】解：函数能够在某个长度为3的区间上至少三次出现最大值3，如果起点为最高点，到下一个最高点，刚好一个周期，可两次获得最大值3，由三角函数的图象与性质可知：即：；解得：；又，上为单调函数，且，解得；综上可得，正整数故选：例6（2022黄山模拟）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在，上为增函数，则的最大值为A1BC2D【解析】解：由已知，将的图象向右平移个单位得，结合图象得变换规律可知，要使，上为增函数，只需，结合已知解得故选：例7（2022秋儋州校级期末）已知函数在区间上的最小值是，则的取值范围为ABCD【解析】解：在区间上的最小值是，当时，由题意
12、知，即，当时，由题意知，即，综上知，的取值范围是，故选：例8（2022秋嘉兴期末）已知函数，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为A5B7C9D11【解析】解：函数，满足，对于任意的都有，故的图象关于直线对称，可得，即，即等于的奇数倍若在上单调，则，求得当时，由可得，结合，可得，此时，当，故不满足在上单调，故不满足条件当时，由可得，结合，可得或，满足在上单调，也满足故的最大值为9，故选：例9（2022秋安康期末）已知函数，为图象的一条对称轴，为图象的一个对称中心，且在上单调，则的最大值为3【解析】解：由为图象的一条对称轴，则为图象的一个对称中心；所以，即，即为正奇数；又函数在区间上单调
13、，所以，即，解得当时，取，此时在不单调，不满足题意；当时，取，此时在不单调，不满足题意；当时，取，此时在单调递减，满足题意；所以的最大值为3故答案为：3例10（2022春岳麓区校级期末）若在区间，上是增函数，则的取值范围是 ,【解析】解：由正弦函数的单调性可知，则的单调递增区间为，在区间，上是增函数，且，故答案为：【同步练习】一选择题1（2022诸暨市模拟）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是ABCD【解析】解：当，时，要使在，上单调递增，则，得，得，又，故选：2（2022秋桐城市校级月考）函数在，上单调递增，则的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：函数，令，解得，；所以在上的单调递增区间
14、是，；又在，上单调递增，解得；又，所以时得的取值范围是故选：3（2022河南三模）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为A9B15C21D33【解析】解：当时，因为，所以，又在区间上不单调，所以，即，因为直线是曲线的一条对称轴，所以，即，故的最小值为21故选：4（2022南开区三模）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的值可能为ABC3D4【解析】解：将函数的图象向左平移个单位，得到函数，又在区间上单调递增，所以，即：，则的值可能为，故正确，又，故错误，故错误，故错误故选：5（2022天津模拟）设，函数，若在上单调递增，且函数与的图象有三
15、个交点，则的取值范围是ABCD【解析】解：当时，因为在上单调递增，所以，解得，又因函数与的图象有三个交点，所以在上函数与的图象有两个交点，即方程在上有两个不同的实数根，即方程在上有两个不同的实数根，所以，解得，当时，当时，令，由，当时，此时，结合图象，所以时，函数与的图象只有一个交点，综上所述，故选：6（2022甲卷）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：当时，不能满足在区间极值点比零点多，所以；函数在区间恰有三个极值点、两个零点，求得，故选：7（2022新课标）设函数，已知在，有且仅有5个零点下述四个结论：在有且仅有3个极大值点；在有且仅有2个极小值
16、点；在单调递增；的取值范围是，其中所有正确结论的编号是ABCD【解析】解：依题意作出 的图象如图，其中，显然正确，错误；当，时，在，有且仅有5个零点，故正确，因此由选项可知只需判断是否正确即可得到答案，下面判断是否正确，当时，若在单调递增，则，即，故正确故选：8（2022秋泉港区校级期末）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在，单调，则的最大值为A11B9C7D5【解析】解：由于函数的零点的横坐标，是函数的对称轴；所以满足，整理得，由于，所以由于函数在，单调，故，整理得，整理得由于，所以当时，则，所以，5，9；当时，则，所以，7，11；若，5时函数在，不单调，故不符合题意；当时，函数在，单调，
17、符合题意，当时，函数在，单调递增，在上单调递减，不符合题意，综上所述则的最大值为9故选：9（2022秋武昌区校级期中）已知函数为图象的对称轴，为的零点，且在区间上单调，则的最大值为A13B12C9D5【解析】解：函数 为图象的对称轴，为的零点，在区间上单调，周期，即，为图象的对称轴，为的零点，当时，由题意可得，函数为，在区间上，在区间上不单调，当时，由题意可得，函数为，在区间上，在区间上单调，满足条件，则的最大值为9，故选：10（2022安徽模拟）已知函数在区间不存在极值点，则的取值范围是ABCD【解析】解：，因为函数在区间不存在极值点，所以，对任意的都成立，整理得，分别令和0，解得，或故选1
18、1（2022景德镇模拟）已知函数，若函数在区间上没有零点，则的取值范围是ABCD【解析】解：，令可得：，令，解得：，函数在区间内没有零点，区间内不存在整数，又，又，或，或，解得或，故选：12（2022庄浪县校级开学）已知函数，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是ABCD【解析】解：，令得，所以，因为在区间内没有零点，所以且，解得，令得得，因为，所以的取值范围，故选：13（2022荆州一模）已知函数，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是ABCD【解析】解：令可得，令解得，函数在区间内没有零点，区间，内不存在整数又，又，或，或，解得或故选：14（2022海淀区校级模拟）若是函数两个相邻的极值点
19、，则ABC1D2【解析】解：是函数两个相邻的极值点，函数周期为，解得故选：15（2022秋吉林期末）已知函数，若在区间内没有零点，则的最大值是ABCD【解析】解：，当，则，若在区间内没有零点，则，即，则，即，则，或，得或，得或，即或，当时，或（舍，此时，当时，（舍或，综上或，即的最大值为，故选：16（2022春瑶海区月考）将函数，图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，函数的部分图象如图所示，且在，上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为，则的取值范围是ABCD【解析】解：将函数，图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得函数，由图象过点以及点在图象上的位置，知，由在，上恰有一个最
20、大值和一个最小值，故选：17（2022春沈阳期末）已知函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是A1B3C5D7【解析】解：对任意，都有，为函数的最大值，则，得，在区间上不单调，即，即，得，则当时，最小，故选：18（2022春湖北期中）已知给出下列判断：若，且，则；若在，上恰有9个零点，则的取值范围为；存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；若在上单调递增，则的取值范围为其中，判断正确的个数为A1B2C3D4【解析】解：由题可知，最小正周期，即错误；设函数在轴右侧与轴的第9个交点的横坐标为，第10个交点的横坐标为，则，解得，若在，上恰有9个零点，则，解得，即正确；的
21、图象向右平移个单位得到函数，函数的图象关于轴对称，若存在，则，解得，与相矛盾，即错误；令，得，在上单调递增，当时，有，解得，故的取值范围为，即错误正确的只有，故选：19（2022梅河口市校级开学）已知函数，若在上没有零点，则的取值范围是ABCD，【解析】解：函数，若函数在，上没有零点，且，或且，或令，由，可得令时，由，可得再根据，可得则的取值范围是，故选：20（2022安徽模拟）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是A，BCD【解析】解：，在上单调递增，当是，实数的取值范围是，故选：21（2022秋成都期末）已知，在函数，的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，当，时，函数的图象恒
22、在轴的上方，则的取值范围是A，B，CD【解析】解：由，得，即，即，则，当时，当时，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，即，则，当，时，函数的图象恒在轴的上方，即此时，恒成立，由，得，得，则，得，得，当时，得，得，则的取值范围是，故选：22（2022河北区一模）将函数，的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在，上为增函数，则的最大值为A1B2C3D4【解析】解：将函数，的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在，上为增函数，则，的最大值为2，故选：二多选题23（2022广东模拟）函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则下列说法正确的是A若为偶函数，则的最小正值是B若为偶函数，则的最小正值
23、是C若为奇函数，则的最小正值是D若为奇函数，则的最小正值是【解析】解：把函数的图向左平移个单位后，得到函数的图象，若为偶函数，则，令，求得的最小正值为，故正确，不正确，若为奇函数，则，令，可得的最小正值为，故正确、不正确，故选：24（2022秋罗源县校级月考）设函数，已知在，有且仅有5个零点下述四个结论：在上有且仅有3个极大值点； 在上有且仅有2个极小值点；在上单调递增；的取值范围是，其中所有正确结论是ABCD【解析】解：因为，所以，又因为在，有且仅有5个零点，由在，上的图像，可得在上有且仅有3个极大值点，在上有且仅有3个极小值点，故正确，错误；再由，可得，故正确；当时，且，所以在上单调递增，
24、故正确；故选：25（2022秋常熟市月考）对于函数（其中，下列结论正确的是A若恒成立，则的最小值为2B当时，在区间上是单调函数C当时，的图象可由的图象向右移个单位长度得到D当时，的图象关于点中心对称【解析】解：对于：函数（其中，若恒成立，即，即，由于，所以的最小值为2，故正确；对于：当时，由于，所以，所以函数在不单调，故错误；对于：当时，函数向右平移个单位得到的图象，故正确；对于：当时，当时，故错误故选：26（2022秋江门月考）将函数的图象向右平移单位长度，所得的图象经过点，且在，上为增函数，则取值可能为A2B4C5D6【解析】解：将函数的图象向右平移单位长度，可得的图象；根据所得的图象经过
25、点，在，上为增函数，则，结合，故选：27（2022辽阳二模）已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值可以为A1BCD2【解析】解：由，函数在上单调递增，解得，又，对任意，都有，求得，令，可得综上，可得，故选：三填空题28（2022浙江模拟）已知函数，在，上单调，其图象经过点，且有一条对称轴为直线，则的最大值是 5【解析】解：因为函数图象经过点，所以，因为直线为函数的一条对称轴，所以，可得，即，由，可得，3，5，因为函数在上单调，所以，即，解得，所以的最大值是5故答案为：529（2022秋鼓楼区校级期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象若在区间上为增函数，则的取值范围是，【解析
26、】解：将函数的图象向左平移个单位，得到函数 的图象若在区间上为增函数，则，且，求得，则的取值范围为，故答案为：，30（2022乙卷）记函数，的最小正周期为若，为的零点，则的最小值为 3【解析】解：函数，的最小正周期为，若，则，所以因为为的零点，所以，故，所以，因为，则的最小值为3故答案为：331（2022双流区校级二模）已知函数，若对于恒成立，的一个零点为，且在区间，上不是单调函数，则的最小值为9【解析】解：函数，若对于恒成立，则，可得的一个零点为，故有，要使最小，即使周期最大，最近的一个零点，可得，那么在区间，上是单调函数，不满足题意；当与对称轴是第二个最近的一个零点，可得，那么在区间，上不是单调函数，满足题意；则的最小值为9故答案为：932（2022秋益阳期末）已知函数，为图象的一个对称中心，为图象的一条对称轴，且在上单调，则符合条件的值之和为【解析】解：函数，由题意知，；，；，；在上单调，；解得，又，所以；，1，2；时，此时；时，此时；时，此时；所以符合条件的值之和为故答案为：
