1、第11讲 导数中的切线问题与切线放缩【典型例题】例1若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于A或B或C或D或7例2若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是ABCD例3若过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是ABCD例4若实数，满足，则ABCD例5已知函数，其中为自然对数的底数若不等式对恒成立，则的最小值等于 例6已知函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是例7已知函数的图象为曲线（1）求过曲线上任意一点的切线斜率的取值范围；（2）若在曲线上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；（3）证明：不存在与曲线同时切于两个不同点的直线例8已知
2、函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，证明例9已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，证明：例10已知函数，其中，为自然对数的底数（1）若，当有唯一解时，求的值；（2）若不等式对恒成立，求的最小值【同步练习】一选择题1已知函数，则下列关于函数性质描述错误的是A函数有两个极值点B函数有三个零点C点是曲线的对称中心D直线与曲线的相切2已知函数，直线与曲线和分别相交于，两点，且曲线在处的切线与曲线在处的切线斜率相等，则的取值范围是ABC，D，3函数与的图象关于直线对称，分别是函数，图象上的动点，则的最小值为ABCD4已知函数经过点，且与的图象关于直线对称，分别是函数，上的动点，则的最小值是ABCD
3、5若正实数，满足，则ABCD6函数的图象与直线相切，则实数AB1C2D47已知直线分别与直线及曲线交于，两点，则，两点间距离的最小值为AB3CD二多选题8已知函数，则A有两个极值点B有三个零点C点是曲线的对称中心D直线是曲线的切线三填空题9已知，若恒成立，则的取值范围是10若直线为函数图象的一条切线，则的最小值为四解答题11已知函数，若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线（）求，的值；（）若对于任意，都有恒成立，求的取值范围12已知函数（）若函数在点，（1）处的切线斜率为，求的值；（）若函数存在减区间，求的取值范围；（）求证：若，都有13已知函数，（1）当，时，若存在过点的直线与曲线和都相切
4、，求实数的值；（2）当时，函数在上单调递增，求的最小值14已知函数（1）求的极大值点；（2）当，时，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围15已知函数（1）若是的极值点，求，并讨论的单调性；（2）当时，证明16已知函数（1）设是的极值点，求并讨论的单调性；（2）当为奇函数时，证明：恒成立17已知函数（1）设是的极值点，求函数在，上的最值；（2）若对任意，且，都有，求的取值范围（3）当时，证明18已知函数（）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；（）当时，证明：19已知函数，（）若直线是函数和的图象的公切线，求实数和的值；（）设，当时，存在两个零点，求的取值范围20已知函数，（1）若，曲线
5、在点，（1）处的切线与轴垂直，求的值；（2）在（1）的条件下，求证21已知函数（1）若曲线存在一条切线与直线垂直，求的取值范围；（2）证明：第11讲 导数中的切线问题与切线放缩【典型例题】例1若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于A或B或C或D或7【解析】解：设直线与曲线的切点坐标为，则函数的导数为，则切线斜率，则切线方程为，切线过点，即，解得或，若，此时切线的方程为，此时直线与相切，即，则，解得若，其切线方程为，代入得，消去可得，又由，即，解可得故或故选：例2若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是ABCD【解析】解：设，是公切线和曲线的切点，则斜率为，故切线方程为，整理得，设，是公切线和曲
6、线的切点，则切线斜率为，故切线方程为：，整理得：，其中，所以，将代入式整理后得，又，则，设，则，易知，所以在上单调递减，而，当时，故，即即为所求故选：例3若过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是ABCD【解析】解：设切点为，的导数为，可得切线的斜率为，由切线经过点，可得，化简可得，由题意可得方程有两解，设，可得，当时，递增；当时，递减可得在处取得最大值，即有，解得故选：例4若实数，满足，则ABCD【解析】解：根据题意，若实数，满足，则且，又由，当且仅当时等号成立，则有，变形可得，设，则其导数，当时，则在区间，上为增函数，当时，则在区间，上为减函数，则有（1），若，即，必有，又，所以，据
7、此分析选项：对于，正确；对于，错误；对于，错误；对于，错误；故选：例5已知函数，其中为自然对数的底数若不等式对恒成立，则的最小值等于【解析】解：函数，其中为自然对数的底数，当时，不可能恒成立，当时，不等式恒成立，的最大值为0，当时，单调递增，当，时，单调递减，由题意当时，取最大值0，可得，即，则，令，则，令，由，得，当，时，是增函数，时，是减函数，当时，取最小值时，时，当时，是减函数，当时，是增函数，时，取最小值，即得的最小值为故答案为例6已知函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是【解析】解：，曲线存在与直线垂直的切线，成立，故答案为：所以不存在一条直线与曲线同时切于
8、两点例7已知函数的图象为曲线（1）求过曲线上任意一点的切线斜率的取值范围；（2）若在曲线上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；（3）证明：不存在与曲线同时切于两个不同点的直线【解析】解：（1），则，即过曲线上任意一点的切线斜率的取值范围是，；（2）由（1）可知，解得或，由或得：；（3）设存在过点，的切线与曲线同时切于两点，另一切点为，则切线方程是：，化简得：而过，的切线方程是，由于两切线是同一直线，则有：，得，又由，即，即即，得，但当时，由得，这与矛盾例8已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，证明【解析】解：（1）的定义域为，当时，在上恒成立所以在上单调递
9、增，当时，时，单调递减，时，单调递增，综上，当时，在上单调递增，当时，在单调递减，在调递增（2）当时，令，则，令，恒成立，所以在上单调递增，因为，（1），所以存在唯一的，使得，即，当时，即，所以在上单调递减，当，时，即，所以在，上单调递增，所以，把代入得，当，时，所以，所以，所以时，例9已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，证明：【解析】（1）解：函数，则，当时，由，可得，由，可得，所以在上递增，在上递减；当时，由，由，可得或，由，所以在和上递增，在上递减；当时，由，可得，此时恒成立，所以在上递增；当时，由，由或，由，所以在和上递增，在上递减；当时，由（舍，由，可得，由，可得，所以在上递减
10、，在上递增（2）证明：要证，即证，由（1）知，当时，在上递减，在上递增，所以（1），令，则，令，则，所以在单调递减，又（1），所以存在，使得，当时，则单调递增，当，时，则单调递减，故，因为在上递减，所以，只要证，令（a），则，所以函数（a）在，上递增，故（a）（1）成立，所以原命题成立例10已知函数，其中，为自然对数的底数（1）若，当有唯一解时，求的值；（2）若不等式对恒成立，求的最小值【解析】解：（1），若，则，在上单调递增，不满足题意；若，则当时，当，时，在上单调递增，在，上单调递减，的极大值也是最大值为有唯一解，即；（2）函数，其中为自然对数的底数，当时，不可能恒成立，当时，不等式恒成立
11、，的最大值为0，当时，单调递增，当，时，单调递减，由题意当时，取最大值0，可得，即，则，令，则，令，由，得，当，时，是增函数，时，是减函数，当时，取最小值时，时，当时，是减函数，当时，是增函数，时，取最小值，即得的最小值为【同步练习】一选择题1已知函数，则下列关于函数性质描述错误的是A函数有两个极值点B函数有三个零点C点是曲线的对称中心D直线与曲线的相切【解析】解：对于函数，求导可得：，令，解得，可得下表：100单调递增极大值单调递减极小值单调递增则函数的极大值为，极小值为（1），即可作图如下：故、正确；由为奇函数，且是由向上平移1个单位得到的，故正确；令，解得，则，不在直线上，故错误，故选：
12、2已知函数，直线与曲线和分别相交于，两点，且曲线在处的切线与曲线在处的切线斜率相等，则的取值范围是ABC，D，【解析】解：，曲线在点处的切线与在点处的切线斜率相等，在有解，即在有解，令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，（e），的取值范围是，故选：3函数与的图象关于直线对称，分别是函数，图象上的动点，则的最小值为ABCD【解析】解：，函数的图象与关于直线对称，函数到直线的距离的最小值的2倍，即可的最小值直线的斜率，由，即，解得，此时对于的切点坐标为，过函数图象上点的切线平行于直线，两条直线间距离就是函数图象到直线的最小距离，此时，由函数图象的对称性可知，的最小值为故选：4已知函数经过点，且与
13、的图象关于直线对称，分别是函数，上的动点，则的最小值是ABCD【解析】解：函数经过点，函数的图象与关于直线对称，函数到直线的距离的最小值的2倍，即可的最小值直线的斜率，由，即，解得，此时对于的切点坐标为，过函数图象上点的切线平行于直线，两条直线间距离就是函数图象到直线的最小距离，此时，由函数图象的对称性可知，的最小值为故选：5若正实数，满足，则ABCD【解析】解：根据题意，设，其定义域为，其导数，在区间上，为减函数，在区间上，为增函数，则（1），则，即，又由，当且仅当时等号成立，而，变形可得：，即，又由，必有，解可得，分析选项可得正确，故选：6函数的图象与直线相切，则实数AB1C2D4【解析】
14、解：设切点为，的导数为，可得切线的斜率为，又，解得，故选：7已知直线分别与直线及曲线交于，两点，则，两点间距离的最小值为AB3CD【解析】解：联立方程组，解得，联立方程组，解得，令（a），则（a），当时，（a），当时，（a），（a）在上单调递减，在上单调递增，（a），当（a）时，取得最小值18的最小值为故选：二多选题8已知函数，则A有两个极值点B有三个零点C点是曲线的对称中心D直线是曲线的切线【解析】解：，令，解得或，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，且，有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项正确，选项错误；又，则关于点对称，故选项正确；假设是曲线的切线，设切点为，则，解得或，显然和均不在
15、曲线上，故选项错误故选：三填空题9已知，若恒成立，则的取值范围是，【解析】解：，当时，恒成立，则单调递增，不恒成立，当时，令，解得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，恒成立，设（a），（a），令（a），解得，当时，（a），函数（a）单调递减，当时，（a），函数（a）单调递增，（a），故答案为：，10若直线为函数图象的一条切线，则的最小值为0【解析】解：设切点为，函数的导数为，则切线的斜率为，解得，则，设，当时，递增；当时，递减则（1）取得极小值，且为最小值故答案为：0四解答题11已知函数，若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线（）求，的值；（）若对于任意，都有恒成立，求的取值范围【解析
16、】解：（）由题意知，而，故，从而，；（）由知，由恒成立得恒成立，设，则，由得，由得，即当时，取得极小值，同时也是最小值，此时，则12已知函数（）若函数在点，（1）处的切线斜率为，求的值；（）若函数存在减区间，求的取值范围；（）求证：若，都有【解析】解：（），（）因为函数存在减区间，有解，函数的定义域为，在有解，即在有解，故，解得；（）要证，只要证明，即证，令即证明在成立，恒成立，在单调递增，（1），在成立，命题得证13已知函数，（1）当，时，若存在过点的直线与曲线和都相切，求实数的值；（2）当时，函数在上单调递增，求的最小值【解析】解：（1）当，时，的导数为，设过点的切线与的切点为，与的切点为
17、，则，由，解得或，则切线的方程为或若，则，且，解得，；若，则，且，解得，综上可得，或（2）由题意在上恒成立，则，即有，即有，令，（当且仅当，即时取“” 即有的最小值为314已知函数（1）求的极大值点；（2）当，时，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围【解析】解：（1），令，得或，若，则当时，；当时，故在，上单调递增，在上单调递减，此时的极大值点为；若，则当时，；当时，故在，上单调递增，在上单调递减，此时的极大值点为；若，在上单调递增，无极值（2）设过点的直线与曲线相切于点，则，且切线斜率，所以切线方程为，因此，整理得，构造函数，则“若过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有三个不同的零点”
18、，与的关系如下表：100极大值极小值所以的极大值为，极小值为（1），要使有三个解，即且（1），解得，因此，当过点存在3条直线与曲线相切时，的取值范围是15已知函数（1）若是的极值点，求，并讨论的单调性；（2）当时，证明【解析】解：（1），是的极值点，得；当在时，递减，当在时，递增；（2）当时，故在上有唯一实数根，且当时，当，时，从而当时，取得最小值，另解：当时，令，当时，单调递减，当，时，单调递增，所以，即，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，故，取等条件不一致，故，即16已知函数（1）设是的极值点，求并讨论的单调性；（2）当为奇函数时，证明：恒成立【解析】（1）解：，是的极值点，解得函
19、数，其定义域为设，则，在上为增函数，又，当时，即；当时，在上为减函数；在上为增函数；（2）证明：，为奇函数，即，解得，则在上单调递增，在存在唯一实数根，且，当时，时，当时，函数取得最小值，即，方法二：令，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，再令，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，（1），问题得以证明17已知函数（1）设是的极值点，求函数在，上的最值；（2）若对任意，且，都有，求的取值范围（3）当时，证明【解析】解：（1），是的极值点，解得：，定义域是，设，则，在递增，又，时，即，时，即，在递减，在递增，在，递增，的最小值是（1），的最大值是（2）；（2）因为对任意，且
20、，都有，即都有，故函数在，上单调递增；在，上恒成立，又因为在，上单调递增，所以只要即；（3）证明：当，时，故只需证明当时，当时，函数在上为增函数，且，故在上有唯一实数根，且，当时，当，时，从而当时，取得最小值由，得，故，综上，当时，法二：，故，令，易证时“”成立），故时“”成立），故， “ “不同时成立），故，成立18已知函数（）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；（）当时，证明：【解析】（）解：，由是函数的极值点得（1），即，（2分）于是，由知在上单调递增，且（1），是的唯一零点（4分）因此，当时，递减；时，递增，函数在上单调递减，在上单调递增（6分）（）证明：当，时，又，（8分）取函数
21、，当时，单调递减；当时，单调递增，得函数在时取唯一的极小值即最小值为（1）（12分），而上式三个不等号不能同时成立，故（14分）19已知函数，（）若直线是函数和的图象的公切线，求实数和的值；（）设，当时，存在两个零点，求的取值范围【解析】解：（）设直线与函数的图象相切的切点为，由，可得，即，切点为，则，切线的方程为，设切线与的图象相切的切点为，由，则，且，解得，；（），当时，存在两个零点，可得方程有两个实数解，即有有两个实根，设，当时，递增；当时，递减，可得在时取得最小值，函数的图象如右图，可得当时，与的图象有两个交点，则所求的范围是，20已知函数，（1）若，曲线在点，（1）处的切线与轴垂直，求的值；（2）在（1）的条件下，求证【解析】解：（1）时，所以，可得切线的斜率为（1），可得；（2）证明：由（1）可得，要证只需证，设，令，得当时，递减；当时，递增，所以，即，所以21已知函数（1）若曲线存在一条切线与直线垂直，求的取值范围；（2）证明：【解析】解：（1）由，得，曲线存在一条切线与直线垂直，得或，即的取值范围为，；证明：（2），当时，当时，；设函数，当时，当，时，又，
