1、第14讲 双元同构、指对同构与二次同构思想【典型例题】例1设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是A，B，C，D，例2设实数，若对任意的，不等式成立，则实数的取值范围是A，BC，D例3已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值为ABCD例4已知函数（）求函数的单调区间；（）设，若对任意，且，都有，求实数的取值范围例5已知函数和有相同的最小值（1）求；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列例6已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）当时，函数、满足下面两个条件：方程有唯一实数解；直线与两条曲线和有四个不同的交点，从左到右依
2、次为，问是否存在1，2，3，4的一个排列，使得？如果存在，请给出证明；如果不存在，说明理由例7已知函数为常数）（1）讨论的单调性；（2）是的导函数，若存在两个极值点，求证：例8已知函数在处的切线与直线平行，函数（1）求实数的值；（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（3）设，是函数的两个极值点，证明：例9已知函数（1）求曲线在点，处的切线方程；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围【同步练习】一选择题1设，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为ABCD2已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为A，BC，D3若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为A，B，C，D4已知，
3、不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值为ABCD5若对任意，恒有，则实数的最小值为ABCD6已知不等式对恒成立，则实数的最小值为ABCD7已知不等式对恒成立，则正实数的最小值为ABCD二填空题8已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 9若对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是三解答题10已知函数（）求函数的单调区间；（）设，若对任意，且，都有，求实数的取值范围11已知函数（1）求函数的极值；（2）求证：若对恒成立，则；（3）设，对任意的，都有成立，求实数的取值范围12已知函数，（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，且对任意，都有，求实数的取值范围13已知函数和有相同的最大值（1）
4、求；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列14已知函数和有相同的最大值（1）求；（2）证明：存在直线与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列15已知函数和（1）分别求函数和的最大值；（2）证明：曲线和有唯一交点，且直线与两条曲线和共有三个不同的交点，从左向右的三个交点的横坐标成等比数列16已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：17已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：18已知函数，（1）当，讨论在上的零点个数；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围19已知函
5、数（1）当时，求的单调区间；（2）设，证明：当时，有两个极值点，并求的取值范围20已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，且，都有成立，求实数的取值范围21已知函数为常数）有两个极值点（1）求实数的取值范围；（2）设的两个极值点分别为，若不等式恒成立，求的取值范围22已知函数为常数）有两个极值点（1）求实数的取值范围；（2）设的两个极值点分别为，若不等式恒成立，求的最小值23函数，是的导函数（1）若，证明：；（2）若，且对任意，恒成立，求实数的取值范围24已知函数（1）当函数在处的切线斜率为时，求的单调减区间；（2）当时，求的取值范围25已知函数为常数）（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若
6、存在两个极值点，且，证明：26函数，（）对任意，恒成立，求的取值范围；（）若，对任意，恒成立，求的取值范围第14讲 双元同构、指对同构与二次同构思想【典型例题】例1设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：依题意，即，即，设，则在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立，设，易知函数在单调递增，在单调递减，则故选：例2设实数，若对任意的，不等式成立，则实数的取值范围是A，BC，D【解析】解：法一：原问题等价于，设，则，令，可得，由指数函数和反函数在第一象限的图象，可得和有且只有一个交点，设为，当时，单调递增，当时，单调递减，即有在处取得极小值，且为最小值即有，
7、可得，则当时，不等式恒成立，则的最小值为所以实数的取值范围为，法二：，令，则在上单增，当时，当时，原不等式等价于，当时，所以，当，时，结合的单调性知，恒成立，即在，上恒成立，令，易知在，递增在，递减，所以故选：例3已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值为ABCD【解析】解：不等式可化为，即，则，设，则，时，是增函数，所以由，得，所以时，恒成立设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以（e），所以，所以的最小值是故选：例4已知函数（）求函数的单调区间；（）设，若对任意，且，都有，求实数的取值范围【解析】解：（）已知函数，当时，函数定义域为，恒成立，此时，函数在单调递增；当时，函数定义域
8、为，恒成立，此时，函数在单调递增（）时，函数定义域为，在，上递增，而在，上递减，不妨设，则，即，等价于即令等价于函数在，上是减函数，令即，即在，恒成立，分离参数，得，令，在，递减，（1），又，又，故实数的取值范围为，例5已知函数和有相同的最小值（1）求；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列【解析】解：（1）定义域为，若，则，无最小值，故，当时，当时，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，故，的定义域为，令，解得，当时，函数在上单调递减，当时，函数在，上单调递增，故，函数和有相同的最小值，化为，令，则，恒成立，在上单调递增，又
9、（1），（a）（1），仅有此一解，（2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增，设，则，当时，所以函数在上单调递增，因为（1），所以当时，（1）恒成立，即在时恒成立，所以时，因为，函数在上单调递增，（1），函数在上单调递减，所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为，此时可作出函数和的大致图象，由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，直线必经过点，即，因为，所以，即，令得，解得或，由，得，令得，解得或，由，得，所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，因为，所以，所以，成等差数列存在直线，其与两条曲线和
10、共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列例6已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）当时，函数、满足下面两个条件：方程有唯一实数解；直线与两条曲线和有四个不同的交点，从左到右依次为，问是否存在1，2，3，4的一个排列，使得？如果存在，请给出证明；如果不存在，说明理由【解析】解（1），当时，函数在上单调递减；当时，对于，函数单调递减；，函数单调递增；证明：（2）由，当时，；当时，又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，（1）；由，知当时，；当，又，可知在上单调递减，在上单调递增，（e），令，即当时，；当时，结合条件中方程有唯一实数解，知：当时，当，时，综上，画出函数，的简图：
11、其中，则，即，得，由，得，由，因此，所以，所以存在满足条件的一个排列，如，使例7已知函数为常数）（1）讨论的单调性；（2）是的导函数，若存在两个极值点，求证：【解析】解：（1），令，得：，当时，在上单调递减；当时，令，即，即，由于，当时，在区间，单调递增，在，单调递减；（2），是的两个极值点，是，即的两个根，要证明，由于就是证明：，即证：令，则，在区间上单调递增，当时，恒成立，即成立原结论成立例8已知函数在处的切线与直线平行，函数（1）求实数的值；（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（3）设，是函数的两个极值点，证明：【解析】（1）解：函数，则，因为处的切线与直线平行，则切线的斜率
12、为（1），解得；（2）解：由（1）可得，函数，则，因为函数存在单调递减区间，则在上有解，因为，设，则，所以只需或，解得或，故实数的取值范围为；（3）证明：由题意可知，因为有两个极值点，所以，是的两个根，则，所以，所以要证，即证，即证，即证，即证，令，则证明，令，则，所以在上单调递增，则（1），即，所以原不等式成立例9已知函数（1）求曲线在点，处的切线方程；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围【解析】解：（1），所以又，所以曲线在点，处的切线方程为（2）解法，令，则，令，则，所以是增函数，又，（1），由零点存在定理及是增函数，知存在唯一的，使得，当时，单调递减，当，时，单调递增，所以法1（
13、同构法）：由，得，即，令，则，是增函数，又，所以，两边取自然对数，得，即，所以，由，得，于是，即所以实数的取值范围是，法2（换元法）：由，得，令则两式左右分别相加，得，又是增函数，所以，所以由，得，由，得，于是，即所以实数的取值范围是，解法，先证明：，当且仅当时取等号，令，则所以；，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，所以所以，当且仅当时取等号，因此，当且仅当时取等号，令，则，（1），又为增函数，由零点存在定理，知存在唯一的，使得，所以的最小值为，由题意，又，所以，即，所以实数的取值范围是，【同步练习】一选择题1设，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为ABCD【解析】解：对任意
14、的，不等式恒成立，即恒成立，函数与函数互为反函数，原问题等价于，则，设，则，令，解得，易知，故故选：2已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为A，BC，D【解析】解：恒成立，令，易得在上单调递增，实数的取值范围为故选：3若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为A，B，C，D【解析】解：令，则，不等式恒成立，当时，恒成立；当时，令，在，单调递增，即等价于，在，恒成立即，在，恒成立令，则，可得在递增，在递减，（e），的取值范围为故选：4已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值为ABCD【解析】解：即为，设，则上式对任意的实数恒成立，显然是上的增函数，故选：5若对任意，恒有，则实数
15、的最小值为ABCD【解析】解：由不等式，可得，设，则，故在上单调递减，在上单调递增，因此（1），因此在上单调递增，由得，即，设，易得当时，函数单调递减，当时，函数 单调递增，从而，故故选：6已知不等式对恒成立，则实数的最小值为ABCD【解析】解：不等式在上恒成立，即在上恒成立，即 在上恒成立设函数，则，所以在上单调递减，在上单调递增，即 在上恒成立时，根据选项，只需讨论的情况，当 时，函数 在上单调递减，则；则 ，两边取为底的对数，得，即 ，设函数，则，所以在上单调递增，在上单调递减，则（e），即故选：7已知不等式对恒成立，则正实数的最小值为ABCD【解析】解：函数在上为增函数，而原不等式即为
16、，即，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故的最大值是（e），故选：二填空题8已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 【解析】解：由，移项得，即，两边同时加得，即，设，则，所以单调递增，所以，即设，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，（1），所以故实数的取值范围为，9若对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是【解析】解：设，则恒成立，由，令，则恒成立，为增函数，令得，当时，当时，在递减，在，递增，故在处取得最小值，故最小值，因为，则，恒成立，得，又（当且仅当时等号成立），即，的取值范围是，故答案为：，三解答题10已知函数（）求函数的单调区间；（）设，若对任意，且，都有，
17、求实数的取值范围【解析】解：（）当，函数定义域为，恒成立，此时，函数在单调递增；当，函数定义域为，则，恒成立，此时，函数在单调递增；（）时，在，上递增，在，上递减，不妨设，则，等价于有，即，令，等价于函数在，上是减函数，即在，恒成立，分离参数，得，令，在，递减，（1），又，故实数的取值范围为，11已知函数（1）求函数的极值；（2）求证：若对恒成立，则；（3）设，对任意的，都有成立，求实数的取值范围【解析】解：（1），若，则在上恒成立，在上单调递增，原函数无极值；若，则当时，当时，在上为减函数，在上为增函数，则的极小值为（a）；证明：（2）由（1）知，当时，函数在上是增函数，而（1），当时，与恒
18、成立相矛盾，不满足题意；当时，函数在上是增函数，在上是减函数，（a）（1），当时，（a）（1），此时与恒成立相矛盾；解：（3）由（2）可知，当时，函数在，上是增函数，又函数在，上是减函数，不妨设，则，即设，则等价于函数在区间，上是减函数，在，上恒成立，即在，上恒成立，即不小于在，内的最大值而函数在，是增函数，的最大值为，又，12已知函数，（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，且对任意，都有，求实数的取值范围【解析】解：（1）时，（1），（1），则曲线在处的切线方程是：；（2）当时，故函数在，上是增函数，又函数在，上是减函数不妨设则，即，设，则等价于函数在区间，上是减函数，因为，所以在，上
19、恒成立，即在，上恒成立，即不小于在，内的最大值，而函数在，是增函数，所以的最大值为，所以，又，所以，13已知函数和有相同的最大值（1）求；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列【解析】解：（1），又与有相同的最大值，且与的符号草图分别为：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，两函数的最大值（1）与（e）相等，即，又，；（2）证明：根据（1）知当直线过两函数的交点时，满足题意，设，直线与在的左边交点为，直线与在的右边交点为，则，且，即，又，且在上单调递增，又，即，又，且在上单调递减，成等比数列故原命题得证14已知函数和有
20、相同的最大值（1）求；（2）证明：存在直线与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列【解析】解：（1）的定义域为，且，当时，函数为增函数，无最大值，故，当时，递增；当时，递减；所以，的定义域为，且，当时，递增；当时，递减；所以，又和有相同的最大值，所以，解得，又，所以；证明：（2）由（1）可知：在递增，在递减，且，在递增，在递减，且，和的图象如图所示：设和的图象交于点，则当直线经过点时，直线与两条曲线和共有三个不同的交点，则，且，因为，所以，即，因为，且在递增，所以，所以，因为，所以，即，因为，且在递减，所以，所以，所以，即，所以得，成等比数列15已知函数和（1）
21、分别求函数和的最大值；（2）证明：曲线和有唯一交点，且直线与两条曲线和共有三个不同的交点，从左向右的三个交点的横坐标成等比数列【解析】解：（1）由，得，所以在上，单调递增，在上，单调递减，所以（1），由，得，所以在上，单调递增，在上，单调递减，所以（e），综上所述，和的最大值均为（2）证明：由（1）可得函数和的图像如下：与的图像有唯一交点，设，则，且，即，因为，所以，即，因为，在上单调递增，所以，因为，即，因为，在上单调递减，所以，即，所以，又因为，所以，所以，所以从左到右的三个交点的横坐标成等比数列16已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：【解析】解：（1），设，当时，则
22、，在上单调递增，当时，的零点为，且，令，得，或，令，得，在，上单调递减，在，单调递增，当时，的零点为，在上单调递增，在，上单调递减（2）证明：由（1）知，当时，存在两个极值点，不妨设，则，要证：，只要证，只需要证，即证，设，设函数，在上单调递减，则（1），又，则，则，从而17已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：【解析】解：（1）当时，此时在上单调递减；当时，由解得或，是增函数，此时在和单调递减，在单调递增（2）由（1）知，不妨设，令，在上是减函数，即18已知函数，（1）当，讨论在上的零点个数；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围【解析】解：（1）当时，则，令，解
23、得，当，在单调递减，当，在单调递增，所以是的极小值点同时也是最小值点，即，当，即时，在上没有零点；当，即时，在上只有1个零点；当，即时，因为，所以在只有一个零点，又因为（b），令，则，令，解得，当，在单调递增，当，在单调递减，又，所以对，所以（b），即，所以（b），所以在内只有一个零点，所以在上有两个零点综上所述，当时，在上有两个零点；当时，函数在上没有零点；当时，函数在上有一个零点（2）恒成立，即，所以，构造，所以，则在上单调递增，只需，即恒成立，令，当时，所以在单调递减，当时，所以在单调递增，所以（2），即，又，所以19已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）设，证明：当时，有两个极值点，
24、并求的取值范围【解析】解：的定义域是，（1）时，令，解得：，令，解得：，或，由，故在递增，在，递减；（2），则，令，故，故，令，则，令，则（2），时，故，即的取值范围是，20已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，且，都有成立，求实数的取值范围【解析】解：（1）由题意得，当时，在单调递减，当时，在单调递减，当时，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在，递减，在，递增；综上：时，在单调递减，时，在递增，在，递减，在，递增；（2）当时，由（1）可知在，递减，不妨设，则，故，即对任意的，成立，故在，单调递增，则对，恒成立，令，令，解得：，令，解得：，故在，递增，在，递减，故，故21已知函数为常数）
25、有两个极值点（1）求实数的取值范围；（2）设的两个极值点分别为，若不等式恒成立，求的取值范围【解析】解：（1）由题设知，函数的定义域为，且有两个不同的正根，即两个不同的正根，则，是的两个极值点，符合题意，；（2），令，则，在上单调递减，的取值范围是，22已知函数为常数）有两个极值点（1）求实数的取值范围；（2）设的两个极值点分别为，若不等式恒成立，求的最小值【解析】解：（1）由题设知，函数的定义域为，且有两个不同的正根，即两个不同的正根，则，是的两个极值点，符合题意，；（2），令，则，在上单调递减，不等式恒成立，是的最小值23函数，是的导函数（1）若，证明：；（2）若，且对任意，恒成立，求实数
26、的取值范围【解析】（1）证明：，令，则，所以在，单调递增，所以，所以在，单调递增，所以，时，即时，（2）解：，令，则式等价于，当时，所以为增函数，又因为，所以，所以，令，所以在上单调递减，所以（e），故，综上，24已知函数（1）当函数在处的切线斜率为时，求的单调减区间；（2）当时，求的取值范围【解析】解：（1）定义域为，因为，所以在处的切线斜率为，所以，所以，令，则，0极小值由表可知：的单调减区间为和（2）由题对任意恒成立，所以对任意恒成立，方法一：所以对任意恒成立，所以对任意恒成立，令，则对任意恒成立，因为，所以在上单调增，所以对任意恒成立，所以，令，因为，所以在上单调减，所以（1），所以，
27、即，所以的取值范围是，方法二：设，则，所以在单调递增，又（1），若，则（1），所以恒成立，所以在单调递增，又（1），所以恒成立，符合题意若，则（1），不符合题意，舍去综上所述，所以的取值范围是，25已知函数为常数）（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若存在两个极值点，且，证明：【解析】解：（1），设，当时，成立，则有，所以函数在单调递增，当时，由得或（舍，由得，令，解得：（舍或，故时，故在递增，时，在，单调递增，在单调递减，综上：当，时，函数在的单调递增，当时，函数在，单调递增，在单调递减；（2）证明：由（1）知函数的两个极值点，满足，不妨设，则在，上是减函数，故，令，则，又，即，解得，故，设，则，在，上为增函数，所以26函数，（）对任意，恒成立，求的取值范围；（）若，对任意，恒成立，求的取值范围【解析】解：（）令，又，要让在，上恒成立，则函数在，上单调递增，故在，上恒成立，则，即，当时，符合题意故实数的取值范围为，；（），即，由恒等式，可得，令，则在上恒成立，易知函数在上单调递增，所以只需，即，令，在上单调递增，在上单调递减，综上，实数的取值范围为
