1、第1讲 函数不动点问题【典型例题】例1（2022上虞区二模）已知两函数和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则有可能是ABCD例2（2022道里区校级二模）设函数，为自然对数的底数），若曲线上存在点，使得，则的取值范围是A，B，C，D，例3（2022秋芒市校级期中）对于函数，若存在，使得成立，则称为函数的不动点已知函数恒有两个互异的不动点，则实数的取值范围为：例4（2022秋万州区校级月考）对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，（1）求证；（2）设，若，求集合；（3）若，且，求实数的取值范围【同步练习】1（2022浙江模拟
2、）若和都是定义在实数集上的函数，且方程有实数解，则不可能是ABCD2（2022春海珠区期末）设函数，为自然对数的底数），若曲线上存在点，使得，则的取值范围是ABC，D，3（2022秋湖北期中）设函数若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是A，B，C，D，4（多选题）（2022秋徐州期中）若和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则下列式子中可以为的是ABCD5（多选题）（2022秋金安区校级期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数
3、的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是A函数有3个不动点B函数至多有两个不动点C若函数没有不动点，则方程无实根D设函数，为自然对数的底数），若曲线上存在点，使成立，则的取值范围是，6（2022秋郫都区校级月考）设函数，为自然对数的底数）若曲线上存在，使得，则的取值范围是 7（2022上海开学）设函数，为自然对数的底数），若曲线上存在点，使成立，则的取值范围是 8（2022秋杭州期中）设集合，（1）若，求集合和（用列举法表示）；（2）求证：；（3）若，且，求实数的取值范围9对于函数，若存在实数，使得成立，则称为函数的一个不动点“已知函数存在不动点，且，求实数的取值范围10（2022春碑林
4、区校级期中）设函数，为自然对数的底数）若曲线上存在，使得，求的取值范围11（2022秋昌江区校级期中）对于函数，若存在，使得成立，则称为函数的不动点已知二次函数有两个不动点和4（1）求的表达式；（2）求函数在区间，上的最小值的表达式（3）在（2）的条件下，求不等式的解12（2022秋浏阳市期中）对于函数，若存在使得成立，则称为的不动点已知函数（1）若，求函数的不动点；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若图象上、两点的横坐标是函数的不动点，且、两点关于直线对称，求的最小值13（2022秋普兰店市校级期中）对于函数，若存在，使得成立，则称为的天宫一
5、号点已知函数的两个天宫一号点分别是和2（1）求，的值及的表达式；（2）当函数的定义域是，时，求函数的最大值14对于函数，若存在，使得成立，则称为的一个动点设函数（1）当，时，求的不动点；（2）若有两个相异的不动点，当时，求的取值范围；若且，求实数的取值范围15对于函数，若存在，使得成立，则称为的不动点已知二次函数，满足，且有两个不动点，记函数的对称轴为，求证：如果，那么第1讲 函数不动点问题【典型例题】例1（2022上虞区二模）已知两函数和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则有可能是ABCD【解析】解析：由，得，故，故有实数解对于，即，方程无解，不符合题意；对于，即，方程无解，不符合题意；对
6、于，即，方程有解，符合题意；对于，即，方程无解，不符合题意故选：例2（2022道里区校级二模）设函数，为自然对数的底数），若曲线上存在点，使得，则的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：曲线上存在点，函数在，上单调递增下面证明假设，则（c），不满足同理假设，则不满足综上可得：令函数，化为令，函数在，单调递增的取值范围是，故选：例3（2022秋芒市校级期中）对于函数，若存在，使得成立，则称为函数的不动点已知函数恒有两个互异的不动点，则实数的取值范围为：，且【解析】解：函数恒有两个互异的不动点，即有两个不等实根，整理得出，解得，且，故答案为：，且例4（2022秋万州区校级月考）对于函数，若，则称为
7、的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，（1）求证；（2）设，若，求集合；（3）若，且，求实数的取值范围【解析】（1）证明：，即则有，；（2）解：，若，则方程的两根是，3，即方程的两根是，3，即，解得，故，若，即，即，即解得：，3，；（3）解：，有实根，又，即的左边有因式，从而有，要么没有实根，要么实根是方程的根若没有实根，则；若有实根且实根是方程的根，则由方程，得，代入，有由此解得，再代入得，解得，故的取值范围是，【同步练习】1（2022浙江模拟）若和都是定义在实数集上的函数，且方程有实数解，则不可能是ABCD【解析】解：由，得，所以，得，所
8、以与是等价的，即有解也有解，也就是说有解的都是可能的题目要我们选不可能的，所以只能选无解的那个故选：2（2022春海珠区期末）设函数，为自然对数的底数），若曲线上存在点，使得，则的取值范围是ABC，D，【解析】解：法一：由题意可得，而由可知，当时，为增函数，时，不存在，使成立，故，错；当时，当，时，只有时才有意义，而（1），故错故选法二：显然，函数是增函数，从而以题意知，于是，问题转化为在，上有解由，得，分离变量，得，因为，所以，函数在，上是增函数，于是有（1），即，应选故选：3（2022秋湖北期中）设函数若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：由题意可得，曲线上存
9、在点，使得，存在，使成立，函数 在它的定义域内单调递增，下面证明假设，则（c），不满足，同理假设，则不满足，综上可得：，则问题等价于方程，有解，即在，有解，分离参数可得，令，所以函数在，上单调递增，所以（1），所以，故选：4（多选题）（2022秋徐州期中）若和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则下列式子中可以为的是ABCD【解析】解：因为，所以，则有解，对于，当时，方程有解，故选项正确；对于，当时，方程无解，故选项错误；对于，当，令，因为，由零点的存在性定理可知，在上存在零点，所以方程有解，故选项正确；对于，当时，为方程的解，所以方程有解，故选项正确故选：5（多选题）（2022秋金安区校级期
10、末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是A函数有3个不动点B函数至多有两个不动点C若函数没有不动点，则方程无实根D设函数，为自然对数的底数），若曲线上存在点，使成立，则的取值范围是，【解析】解：对于，令，则，所以在上单调递增，又，所以在上有且仅有一个零点，即有且仅有一个“不动点”，故选项错误；对于，因为至多有两个根，所以函数至多有两个“不动点”，故选项正确；对于，依题意，方程无实根无实
11、数根，即，当时，二次函数的图象开口向上，则恒成立，即，恒有，而，因此有恒成立，即方程无实根，所以函数没有不动点，则方程无实根，故选项正确；对于，点，在曲线上，则，又，即有，当时，满足，显然函数是定义域上的增函数，若，则，与矛盾，若，则，与矛盾，因此，当时，即当时，对，令，则，再令，则，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在，上恒成立，所以在，上单调递增，所以，（1），所以实数满足为自然对数的底数），故选项正确故选：6（2022秋郫都区校级月考）设函数，为自然对数的底数）若曲线上存在，使得，则的取值范围是 ，【解析】解：由已知可得，且，由已知存在，使得，则，所以，存在，使得，可得，因
12、为函数在，上单调递增，则，则，易知函数在，上单调递增若，则，不合乎题意；若，则，不合乎题意；若，则，合乎题意故存在，使得，可得，则，综上所述，实数的取值范围是，故答案为：，7（2022上海开学）设函数，为自然对数的底数），若曲线上存在点，使成立，则的取值范围是 ，【解析】解：，若曲线上存在点，使成立，则，下面证明在定义域内单调递增，在定义域上单调递增，假设，则（C），不满足，那么函数，即函数在，有解，即，令，则，严格增，又（1），所以，所以的取值范围是，故答案为：，8（2022秋杭州期中）设集合，（1）若，求集合和（用列举法表示）；（2）求证：；（3）若，且，求实数的取值范围【解析】解：（1）
13、因为函数，由可得方程，解得，所以，又，即方程，解得或或，所以（2）对任意，即满足，可得，即，所以（3）记，则关于的方程的解为方程组解的横坐标，两式相减可得，要使与有相同的解，则方程的解集与相同，所以方程无解，即无解，或其解为，所以，解得，所以实数的取值范围是9对于函数，若存在实数，使得成立，则称为函数的一个不动点“已知函数存在不动点，且，求实数的取值范围【解析】解：函数存在不动点，且，整理得，解得，解得实数的取值范围是，10（2022春碑林区校级期中）设函数，为自然对数的底数）若曲线上存在，使得，求的取值范围【解析】解：由题意可得，曲线上存在点，使得，存在，使成立，函数在它的定义域内单调递增，
14、下面证明，假设，则（c），不满足，同理假设，则不满足，综上可得：；故有在，上有解，即 在，上有解，令，则为在，上的值域，当，时，故函数在，上是增函数，故（1），即的取值范围是：，11（2022秋昌江区校级期中）对于函数，若存在，使得成立，则称为函数的不动点已知二次函数有两个不动点和4（1）求的表达式；（2）求函数在区间，上的最小值的表达式（3）在（2）的条件下，求不等式的解【解析】解：（1）由题意可得有两个根和4即的根为，4，所以，解得，所以；（2）的对称轴，开口向上，当即时，函数在，上单调递减，当时，函数在，上单调递增，当时，函数在，上先减后增，（1），故（3）由得，当时，故只要或，解得或，
15、此时，若或，则，即，解得或，此时或，综上，不等式的解集12（2022秋浏阳市期中）对于函数，若存在使得成立，则称为的不动点已知函数（1）若，求函数的不动点；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若图象上、两点的横坐标是函数的不动点，且、两点关于直线对称，求的最小值【解析】解：（1）若，代入化简得，解得、，则的不动点为，（2）由题意知，函数恒有两个相异的不动点，所以方程即恒有两个不等实根，则，即对任意实数恒成立，即，解得，所以，（3）因为、两点关于直线对称，所以与直线垂直，且中点在直线上，设，由（2）知，所以的中点，所以的中点易知易知，所以，即，由（
16、2），所以当且仅当，即时，13（2022秋普兰店市校级期中）对于函数，若存在，使得成立，则称为的天宫一号点已知函数的两个天宫一号点分别是和2（1）求，的值及的表达式；（2）当函数的定义域是，时，求函数的最大值【解析】解：（1）依题意得，（2），即解得的表达式为：（2）由（1）可知其对称轴当区间，在对称轴左侧时，即，也即时，的最大值为；当对称轴在，内时，即，也即时，的最大值为；当，在右侧时，即时，的最大值为，所以14对于函数，若存在，使得成立，则称为的一个动点设函数（1）当，时，求的不动点；（2）若有两个相异的不动点，当时，求的取值范围；若且，求实数的取值范围【解析】解：（1）依题意：，即，解得或，即的不动点为3或；（5分）（2），由，是方程的两相异根，且，区域如图所示令，则经过，经过，的取值范围是，（9分），（11分）又，要使有一根属于，则对称轴，（13分）由得，的取值范围是：，（15分）15对于函数，若存在，使得成立，则称为的不动点已知二次函数，满足，且有两个不动点，记函数的对称轴为，求证：如果，那么【解析】证明：二次函数，满足，即，设，由条件，得（2），（4）即，由可行域可得，
