1、重难点23 空间向量及其应用1.向量法求两条异面直线所成角的基本步骤：（1）建立合适的空间直角坐标系（2）求出各点的坐标，得出两直线的方向向量（3）利用向量夹角公式计算（4）判断所得夹角是两条直线所成角还是补角，并得出结论2.利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为：建立空间直角坐标系；求直线的方向向量；求平面的法向量；计算：设线面角为，则；作答.3.利用法向量求二面角大小的一般步骤：1）建立坐标系，写出点与所需向量的坐标；2）求出平面的法向量，平面的法向量3）进行向量运算求出法向量的夹角；4）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果：重点考查有关空间的线线角、线面角、
2、二面角与空间的距离的计算问题，2023年仍会是高考的热点，题型多为解答题的第2问.（建议用时：40分钟）一、单选题1正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为（）A60B90C45D1202如图，是直三棱柱，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（）ABCD3如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（）ABCD4如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,且，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）ABCD5如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）ABCD6在长方体中，则异面直线与所成角的
3、余弦值为ABCD二、填空题7如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是_8如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是_9如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是_ .10如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为 .三、解答题11如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，
4、BAD=60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值12已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和的中点，D为棱上的点 （1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?13如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且（1）求；（2）求二面角的正弦值14如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值 15如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值16在四棱锥中，底面是正方形，若（1
5、）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值17如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面，是的中点（1）证明：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值18如图，直三棱柱的体积为4，的面积为(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，平面平面，求二面角的正弦值重难点23 空间向量及其应用1.向量法求两条异面直线所成角的基本步骤：（1）建立合适的空间直角坐标系（2）求出各点的坐标，得出两直线的方向向量（3）利用向量夹角公式计算（4）判断所得夹角是两条直线所成角还是补角，并得出结论2.利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为：建立空间直角
6、坐标系；求直线的方向向量；求平面的法向量；计算：设线面角为，则；作答.3.利用法向量求二面角大小的一般步骤：1）建立坐标系，写出点与所需向量的坐标；2）求出平面的法向量，平面的法向量3）进行向量运算求出法向量的夹角；4）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果：重点考查有关空间的线线角、线面角、二面角与空间的距离的计算问题，2023年仍会是高考的热点，题型多为解答题的第2问.（建议用时：40分钟）一、单选题1正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为（）A60B90C45D120【答案】B【解析】设，则，与所成的角的大小是，故选：B2如图，是直三棱柱，点，分别是，的中点，若，则
7、与所成角的余弦值是（）ABCD【答案】A【解析】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，可得，此时，与所成角的余弦值是.故选：A3如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（）ABCD【答案】D【解析】建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，所以，故选：D4如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,且，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）ABCD【答案】A【解析】设CA2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得(2,2,1)，(0,2，1)，由向量的夹角公式得cos，5如图，在长方体ABCD-A1B
8、1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（0，2，1） =（-2，0，1）， =（-2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为6在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD【答案】C【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,
9、DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.二、填空题7如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是_【答案】【解析】试题分析：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，即异面直线A1M与DN所成角的大小是8如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是_【答案】【解析】方法一：异面直线所成角的向量公式设直线与所成角为，设是中点，由已知得，如图，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，由，作于，翻折过
10、程中，始终与垂直，则，因此可设，则，与平行的单位向量为，所以，所以时，取最大值故答案为：方法二：几何法由翻折过程可以看出D在以H为圆心，DH为半径的圆上运动，设E是圆H与平面ABC的交点， 易知E在CB上，且CE=1设直线AC与BD所成角为，则，设点在平面上的投影为，因此方法三：考虑纯几何运算由折叠过程可知，在以为圆心，为半径的圆上运动，且垂直圆所在的平面，如图,作于，则，与所成角即为，且，,要使最大只需最小，在中，为定值，即只要最短,，因此方法四：【最优解】利用三余弦定理前面过程同方法三, 与所成角即为，是点在平面上的投影，可知：观察得当与点重合时，和同时达到最小，和同时取最大，此时有最大值
11、，最后我们不难发现，其实在翻折过程中，那么，即当与重合时有最大值.9如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是_ .【答案】【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，1，0），D（0，1），M（0，1，0），（0，1，0），（1，1，0），（0，1），设（x，y，z）为平面ABCD的法向量，则，取y2，可得x2，z1，（2，2，1），M到截面ABCD的距离d故答案为.10如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为
12、，则的最大值为 .【答案】【解析】建立坐标系如图所示.设，则.设，则，由于异面直线所成角的范围为，所以.，令，则，当时取等号.所以，当时，取得最大值.三、解答题11如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）连接，分别为，中点为的中位线且又为中点，且 且 四边形为平行四边形，又平面，平面平面（2）设，由直四棱柱性质可知：平面四边形为菱形则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：，D（0，-1,
13、0）取中点，连接，则四边形为菱形且为等边三角形 又平面，平面 平面，即平面为平面的一个法向量，且设平面的法向量，又，令，则， 二面角的正弦值为：12已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和的中点，D为棱上的点 （1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）方法一：几何法因为，所以又因为，所以平面又因为，构造正方体，如图所示，过E作的平行线分别与交于其中点，连接，因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，易证，则又因为，所以又因为，所以平面又因为平面，所以 方法二 【最优解】：向量法因为三棱柱是直三棱柱，底面，又，平面所以两两
14、垂直以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，由题设（）因为，所以，所以 方法三：因为，所以，故，所以，所以（2）方法一【最优解】：向量法设平面的法向量为，因为，所以，即令，则因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为，则当时，取最小值为，此时取最大值为所以，此时 方法二 ：几何法如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角设，过作交于点G由得又，即，所以又，即，所以所以则，所以，当时，方法三：投影法如图，联结，在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则设，在中，在中，过D作的平行线交于点
15、Q在中，在中，由余弦定理得，当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为13如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且（1）求；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）；（2）【解析】（1）方法一：空间坐标系+空间向量法平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、，则，则，解得，故；方法二【最优解】：几何法+相似三角形法如图，连结因为底面，且底面，所以又因为，所以平面又平面，所以从而因为，所以所以，于是所以所以 方法三：几何法+三角形面积法如图，联结交于点N由方法二知在矩形中，有，所以，即令，因为M为的中点，则，由，得，解得，所以（2）
16、方法一【最优解】：空间坐标系+空间向量法设平面的法向量为，则，由，取，可得，设平面的法向量为，由，取，可得，所以，因此，二面角的正弦值为.方法二：构造长方体法+等体积法如图，构造长方体，联结，交点记为H，由于，所以平面过H作的垂线，垂足记为G联结，由三垂线定理可知，故为二面角的平面角易证四边形是边长为的正方形，联结，由等积法解得在中，由勾股定理求得所以，即二面角的正弦值为14如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为，为的中点，所以，且连结因为，所以为等腰直角三角形，且 ，由知由知，平面
17、（2）方法一：【通性通法】向量法如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 由已知得 取平面的法向量设，则设平面的法向量为由得 ，可取所以 由已知得 所以 解得(舍去)， 所以 又 ，所以 所以与平面所成角的正弦值为方法二：三垂线等积法由（1）知平面，可得平面平面如图5，在平面内作，垂足为N，则平面在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即设，则，在中，在中，由，得，则设点C到平面的距离为h，由，得，解得，则与平面所成角的正弦值为方法三：三垂线线面角定义法由（1）知平面，可得平面平面如图6，在平面内作，垂足为N，则平面在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角
18、，即同解法1可得在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结在中，因为，所以由平面，可得平面平面，交线为在平面内，由，可得平面，则为直线与平面所成的角设，则，又，所以直线与平面所成角的正弦值为方法四：【最优解】定义法如图7，取的中点H，联结，则过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）联结，则即为二面角的平面角，即，得联结，则为直线与平面所成的角在中，所以15如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）方法一：勾股运算法证明由题设，知为等边三角形，设，则，所以，又为等
19、边三角形，则，所以，则，所以，同理，又，所以平面；方法二：空间直角坐标系法不妨设，则，由圆锥性质知平面，所以，所以因为O是的外心，因此在底面过作的平行线与的交点为W，以O为原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，所以，故，所以，又，故平面方法三：因为是底面圆O的内接正三角形，且为底面直径，所以因为（即）垂直于底面，在底面内，所以又因为平面，平面，所以平面又因为平面，所以设，则F为的中点，连结设，且，则，因此，从而又因为，所以平面方法四：空间基底向量法如图所示，圆锥底面圆O半径为R，连结，易得，因为，所以以为基底，平面，则，且，所以故所以，即同理又，所
20、以平面（2）方法一：空间直角坐标系法过O作BC交AB于点N，因为平面，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，由，得，令，得，所以，设平面的一个法向量为由，得，令，得，所以故，设二面角的大小为，由图可知二面角为锐二面角，所以.方法二【最优解】：几何法设，易知F是的中点，过F作交于G，取的中点H，联结，则由平面，得平面由（1）可得，得所以，根据三垂线定理，得所以是二面角的平面角设圆O的半径为r，则，所以，在中，所以二面角的余弦值为方法三：射影面积法如图所示，在上取点H，使，设，连结由（1）知，所以故平面所以，点H在面上的射影为N故由射影面积法
21、可知二面角的余弦值为在中，令，则，易知所以又，故所以二面角的余弦值为16在四棱锥中，底面是正方形，若（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取的中点为，连接.因为，则，而，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为平面，故平面平面.（2）在平面内，过作，交于，则，结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.则，故.设平面的法向量，则即，取，则，故.而平面的法向量为，故.二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.17如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面，是的中点（1）证
22、明：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）取中点，连结，因为为的中点，所以,由得，又所以四边形为平行四边形， 又，故（2）由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则，,则因为BM与底面ABCD所成的角为45，而是底面ABCD的法向量，所以，即（x-1）+y-z=0又M在棱PC上,设由，得所以M，从而设是平面ABM的法向量，则所以可取.于是因此二面角M-AB-D的余弦值为18如图，直三棱柱的体积为4，的面积为(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，平面平面，求二面角的正弦值【答案】(1)(2)【解析】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，则，解得，所以点A到平面的距离为；（2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，又平面且相交，所以平面，所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得，所以，所以，则,所以的中点，则，,设平面的一个法向量，则，可取，设平面的一个法向量，则，可取，则，所以二面角的正弦值为.
