1、重难点9 函数与导数的综合应用1.函数的单调性与导数的关系条件结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在(a，b)内单调递增f(x)0f(x)在(a，b)内单调递减f(x)0f(x)在(a，b)内是常数函数提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则2.函数的极值与导数条件f(x0)0x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0x0附近的左侧f(x)0图象形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点提醒：(1)函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f(x0)0，极值点是f(x)0的根
2、，但f(x)0的根不都是极值点(例如f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点)(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质极值点是函数在区间内部的点，不会是端点3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 2023年高考在导数综合应用方面，仍将以选填压轴题或解答题压轴题形式考查不
3、等式恒（能）成立问题与探索性问题、利用导数解证不等式、利用导数研究零点或方程解问题，重点考查分类整合思想、分析解决问题能力.（建议用时：40分钟）一、单选题1若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是ABCD2设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A函数有极大值 和极小值B函数有极大值 和极小值C函数有极大值 和极小值D函数有极大值 和极小值3函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（）ABCD4设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）ABCD5若函数在是增函数，则a的取值范围是ABCD6已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取
4、值范围为ABCD7已知函数有唯一零点，则ABCD18是定义在上的非负可导函数，且满足对任意正数a，b，若，则必有（）ABCD二、多选题9已知函数，则（）A有两个极值点B有三个零点C点是曲线的对称中心D直线是曲线的切线10设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（ ）A. B. C. D.11已知函数，给出下列四个结论中正确的是（ ）A.若，恰 有2个零点；B.存在负数，使得恰有1个零点；C.存在负数，使得恰有3个零点；D.存在正数，使得恰有3个零点12已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（）ABCD题号123456789101112答案三、填空题13函数的
5、单调递增区间是_14函数在区间的最小值是_.15设函数，若对于任意的，都有成立，则实数的值为_16已知函数，对于上的任意，有如下条件：； ； 其中能使恒成立的条件序号是 四、解答题17设函数(1)求的单调区间(2)若，k为整数，且当时，求k的最大值18已知函数f（x）x3ax2bxc在x与x1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围.重难点9 函数与导数的综合应用1.函数的单调性与导数的关系条件结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在(a，b)内单调递增f(x)0f(x)在(a，b)内单调递减f(x)0f(x)在(a，b
6、)内是常数函数提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则2.函数的极值与导数条件f(x0)0x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0x0附近的左侧f(x)0图象形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点提醒：(1)函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f(x0)0，极值点是f(x)0的根，但f(x)0的根不都是极值点(例如f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点)(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质极值点是函数在区间内部的点，不会是端点3.函数的最值与导数(1)
7、函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 2023年高考在导数综合应用方面，仍将以选填压轴题或解答题压轴题形式考查不等式恒（能）成立问题与探索性问题、利用导数解证不等式、利用导数研究零点或方程解问题，重点考查分类整合思想、分析解决问题能力.（建议用时：40分钟）一、单选题(共0分)1若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
8、ABCD【答案】D【解析】试题分析：，函数在区间单调递增，在区间上恒成立，而在区间上单调递减，的取值范围是故选D考点：利用导数研究函数的单调性.2设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A函数有极大值 和极小值B函数有极大值 和极小值C函数有极大值 和极小值D函数有极大值 和极小值【答案】D【解析】则函数增；则函数减；则函数减；则函数增；选D.3函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（）ABCD【答案】B【解析】，解得，再根据二次函数性质得在上，在上，所以函数在单调递增，在单调递减，所以，所以.所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是.故选：B.4设
9、是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）ABCD【答案】C【解析】由导函数的图象可得当时，,函数单调递增；当时，,函数单调递减；当时，,函数单调递增.只有C选项的图象符合.故选:C.5若函数在是增函数，则a的取值范围是ABCD【答案】D【解析】试题分析：由条件知在上恒成立，即在上恒成立函数在上为减函数，,故选D6已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为ABCD【答案】C【解析】，即，（1）当时，当时，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C7已知函数有唯一零点，则ABCD
10、1【答案】C【解析】因为，设，则，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.8是定义在上的非负可导函数，且满足对任意正数a，b，若，则必有（）ABCD【答案】A【解析】解：令，所以在上为常函数或递减,若在上为单调递减，所以，即，两式相乘得：所以，若在上为常函数，且，则，即，两式相乘得：所以，综上所述，故选：A二、多选题9已知函数，则（）A有两个极值点B有三个零点C点是曲线的对称中心D直线是曲线的切线【答案】AC【解析】由题，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确
11、；因，所以，函数在上有一个零点，当时，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.10设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（ ）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】令，求导得，当时，所以单调递增，且至少存在一个数使，至少存在一个数使，所以必有一个零点，即方程仅有一根，故D正确；当时，若，则，易知，在上单调递增，在上单调递减，所以，要使方程仅有一根，则或者
12、，解得或，故正确.所以使得三次方程仅有一个实 根的是ACD.11已知函数，给出下列四个结论中正确的是（ ）A.若，恰 有2个零点；B.存在负数，使得恰有1个零点；C.存在负数，使得恰有3个零点；D.存在正数，使得恰有3个零点【答案】ABD【解析】对于A，当时，由，可得或，A正确；对于B，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，存在，使得只有一个零点，B正确；对于C，当直线过点时，解得，所以，当时，直线与曲线有两个交点，若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，直线与曲线有一个交点，所以，此不等式无解，因此，不存在，使得函数有三个零点，C错误；对于D，考查直线与曲线相切于点
13、，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，D正确.故答案为：ABD.12已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（）ABCD【答案】BC【解析】方法一：对称性和周期性的关系研究对于，因为为偶函数，所以即，所以，所以关于对称，则，故C正确；对于，因为为偶函数，所以关于对称，由求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.方法二：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，
14、D错误，选BC.故选：BC.方法三：因为，均为偶函数，所以即，所以，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.三、填空题(共0分)13函数的单调递增区间是_【答案】【解析】由题意有令得,所以单调递增区间为.故答案为：14函数在区间的最小值是_.【答案】【解析】由，得，令，解得，单调递减极小值单调递增极大值单调递减又，所以函数的最小值为，故答案为：.15设函数，若对于任意的，都有成立，则实数的值为_【答案】【解析】当时，恒成立，；当时，由得
15、：，令，则，在上单调递增，；当时，由得：，由得：，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，；综上所述：实数的值为.故答案为：.16已知函数，对于上的任意，有如下条件：； ； 其中能使恒成立的条件序号是 【答案】【解析】函数显然是偶函数，其导数y=2x+sinx在0x时，显然大于0，是增函数，因此当时，函数也是递增的.：.当时，均不成立故答案为：四、解答题17设函数(1)求的单调区间(2)若，k为整数，且当时，求k的最大值【答案】(1)答案见解析 (2)2【解析】（1）函数的定义域是，当时，所以函数在上单调递增，当时，时， ，当，所以，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）由于，所以，故当， ，等价于令，则，由(1)可知，当时，函数在上单调递增，而，所以在存在唯一零点，故在存在唯一零点，设此零点为，则有，当时，当时，所以在上的最小时为，又由，可得，所以 ，由于等价于，故整数的最大值为2.18已知函数f（x）x3ax2bxc在x与x1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围.【答案】（1），单调递增区间为和 ，单调递减区间为；（2）或【解析】（1），在与时都取得极值，解得，令可解得或；令可解得，的单调递增区间为和 ，单调递减区间为；（2），由（1）可得当时，为极大值，而，所以，要使对恒成立，则，解得或.
