1、专题14 整式的乘法与因式分解新课标对单元考点的要求（1）能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）（2）乘法公式（a +b）（a b）= a2 - b2 （ab）2= a2 土 2ab+b2， 了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。（3）能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。（4）了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能对简单的分式进行加、减、乘、除运算。（5）了解代数推理。单元知识框架整合思维导图对单元考点解读考点1：整式的乘法1.同底数幂的乘法法则: (m,n都是正数)2.幂的
2、乘方法则：(m,n都是正数) 3.积的乘方：(ab)n=anbn 4. 整式的乘法法则（1） 单项式乘法法则：单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。（2）单项式与多项式相乘法则：单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。（3）多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。5.同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即 (a0,m、n都是正数
3、,且mn).在应用时需要注意以下几点:法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a0.任何不等于0的数的0次幂等于1,即。任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即( a0,p是正整数),;当a0时,a-p的值一定是正的; 当an).在应用时需要注意以下几点:法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a0.任何不等于0的数的0次幂等于1,即。任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即( a0,p是正整数),;当a0时,a-p的值一定是正的; 当a0时,a-p的值可能是正也可能是负的。运算要注
4、意运算顺序。6整式的除法法则（1）单项式除法单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；（2）多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。考点2：乘法公式1.平方差公式: 2.完全平方公式: 3.添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。考点3：分解因式1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2.分解因式的一般方法：（1）提公共因式法；（2）运用公式法；（3
5、）十字相乘法；（4）其他方法。3.分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式；(2)再看能否使用公式法；(3)看能不能用十字相乘法分解； 注意：(1)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解；（2）因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。注意：本单元需要重点理解记忆的问题：一、乘法公式的灵活记忆与使用1.记忆几个重要的乘法公式（1）(a+b)(a-b)=a2-b2 （2）(a+b)2=a2+2ab+b2 （3）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc（4）(a-b)2=a2-2ab+b2 （5）(a+b)(a2-ab
6、+b2)=a3+b3 （6）(a-b)(a2+ab+b2)=a3b3 2.乘法公式的灵活变式 位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 换式变化，xy+(z+m)xy-(z+m)=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2 增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x
7、2-2xy+y2-z2 连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4 逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2=(x-y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z) =2x(-2y+2z)=-4xy+4xz二、怎样熟练运用乘法公式1.明确公式的结构特征是正确运用公式的前提，如平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式2.要理解字母的广泛
8、含义。乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式如计算：（x+2y3z）2，若视a=x+2y，b=3z，则就可用（ab）2=a22ab+b2来解了。3.熟悉常见的几种变化.有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点常见的几种变化是：（1）位置变化. 如（3x+5y）（5y3x）交换3x和5y的位置后变为（5y+3x）（5y3x）就可用平方差公式计算了。（2）符号变化. 如（2m7n）（2m7n）变为（2m+7n）（2m7n）后就可用平方差公式求解了。（3）
9、数字变化. 如98102，992，912等分别变为（1002）（100+2），（1001）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了（4）系数变化. 如（4m+）（2m）变为2（2m+）（2m）后即可用平方差公式进行计算了（5）项数变化. 如（x+3y+2z）（x3y+6z）变为（x+3y+4z2z）（x3y+4z+2z）后再适当分组就可以用乘法公式来解了三、对于有难度的因式分解问题的方法与技巧因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考中比较常见的题型。对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的
10、具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。（1）巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。（2）巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。（3）巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。（4）展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。（5）巧用主元：对于含
11、有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。单元考点例题解析类型1：幂的乘方【例题1】（2022辽宁沈阳）下列计算结果正确是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分别利用幂的乘方法则，同底数幂的除法，积的乘方法则，完全平方公式分别求出即可A，故此选项计算错误，不符合题意；B，故此选项计算错误，不符合题意；C，故此选项计算错误，不符合题意；D，故此选项计算正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查幂的乘方法则，同底数幂的除法，积的乘方法则，完全平方公式，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底
12、数幂相除，底数不变，指数相减；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；与都叫做完全平方公式，为了区别，把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式类型2：乘法公式【例题2】（2022青海）下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解计算即可A.选项，3x2与4x3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；B.选项，原式= ，故该选项计算错误，不符合题意；C.选项，原式= ，故该选项计算错误，不符合题意；D.选项，原式=，故该选项计算正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了合并同类
13、项，完全平方公式，平方差公式，因式分解，注意完全平方公式展开有三项是解题的易错点类型3：整式的混合运算 【例题3】（2022广西北部湾）先化简，再求值，其中【答案】x3-2xy+x，1【解析】首先运用平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把x、y值代入计算即可【详解】解：=x(x2-y2)+xy2-2xy+x=x3-xy2+xy2-2xy+x=x3-2xy+x，当x=1，y=时，原式=13-21+1=1【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键类型4：分解因式【例题4】（2022辽宁沈阳）分解因式：_【答案】【解析】先提取公因式，然后
14、再利用完全平方公式进行因式分解即可=；故答案为：【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键单元核心素养达标检测（试卷满分120分，答题时间120分钟）一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1. （2022湖南长沙）下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据同底数幂的除法，合并同类项，单项式的乘法，完全平方公式逐项分析判断即可求解A. ，故该选项正确，符合题意；B. ，故该选项不正确，不符合题意；C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，单项式的乘法，完全
15、平方公式，掌握运算法则以及乘法公式是解题的关键2. （2022湖北鄂州）下列计算正确是（）A. b+b2b3B. b6b3b2C. （2b）36b3D. 3b2bb【答案】D【解析】根据积的乘方“把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”，合并同类项“把同类项的系数相减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变”，同底数幂的除法“底数不变，指数相减”进行计算即可得A、，选项说法错误，不符合题意；B、，选项说法错误，不符合题意；C、，选项说法错误，不符合题意；D、，选项说法正确，符合题意；故选D【点睛】本题考查了积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，解题的关键是掌握这些知识点3.（2022甘肃
16、兰州）计算：（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据完全平方公式展开即可原式= 故选：A【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键4.（2022福建）化简的结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可，故选：C【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，熟记幂的运算法则是解题的关键5.对于x-3xy = x(1-3y)，(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（ ）A都是因式分解B都是乘法运算C是因式分解，是乘法运算D是乘法运算，是因式分解【答案】C【解析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几
17、个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可x-3xy = x(1-3y)，从左到右的变形是因式分解；(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以是因式分解，是乘法运算故选：C【点评】此题考查了因式分解解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解6.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）Ax2 1 Bx22x1Cx2x1 Dx24x4【答案】D【解析】A不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式分解因式；B不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式分解因式；C不符合完全平方公式
18、的结构，不能完全平方公式分解因式；D符合完全平方公式的结构，能用完全平方公式分解因式；故选D7.（2022广西柳州）把多项式a2+2a分解因式得（）A. a（a+2）B. a（a2）C. （a+2）2D. （a+2）（a2）【答案】A【解析】运用提公因式法进行因式分解即可故选A【点睛】本题主要考查了因式分解知识点，掌握提公因式法是解题的关键8.已知二次三项式x2+bx+c分解因式为（x3）（x+1），则b+c的值为（ ）A1B1C5D5【答案】C【解析】二次三项式x2+bx+c分解因式为（x3）（x+1），x2+bx+c（x3）（x+1）x22x3，b2，c3，故b+c5故选C9.a4b6a3
19、b+9a2b分解因式得正确结果为( )Aa2b（a26a+9） Ba2b（a3）（a+3） Cb（a23）2 Da2b（a3）2【答案】D【解析】提公因式法与公式法的因式分解。要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，a4b6a3b+9a2b=a2b（a26a+9）=a2b（a3）2。故选D。10.运用乘法公式计算(x3)2的结果是（ ）Ax29Bx26x9Cx26x9Dx23x9【答案】C【解析】运用完全平方公式，(x3)2x223x32x26x9二、填空题（本大题有10个
20、小题，每空3分，共30分）1.（2022苏州） 计算： _【答案】a4【解析】本题须根据同底数幂乘法，底数不变指数相加，即可求出答案【详解】解：a3a，=a3+1，=a4故答案为：a4【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，在解题时要能灵活应用同底数幂的乘法法则，熟练掌握运算性质是解题的关键2.（2022苏州） 已知，则_【答案】24【解析】根据平方差公式计算即可，故答案：24【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据平方差公式进行因式分解再整体代入求值是解题的关键3. （2022贵州遵义）已知，则的值为_【答案】8【解析】根据平方差公式直接计算即可求解，故答案为：8【点睛】本题考查了因式分解的应用
21、，掌握平方差公式是解题的关键4. （2022广西北部湾）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法例如“已知，求代数式的值”可以这样解：根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是_【答案】【解析】先根据是关于x的一元一次方程的解，得到，再把所求的代数式变形为，把整体代入即可求值【详解】是关于x的一元一次方程的解，故答案为：14【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键5. （2022广东深圳）分解因式：=_【答案】【解析】利用平方差公式分解因式即可得到答案故答案为：【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，
22、掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键6.分解因式： 【答案】【解析】直接提取公因式，进而分解因式得出答案【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键7.分解因式： 【答案】【解析】先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解平方差公式：【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底8.分解因式：2a28b2 【答案】2（a+2b）（a2b）【解析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解2a28b2，2（a24b2），2（a+2b）（a2b）【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式
23、，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式9.因式分解：x32x2y+xy2 【答案】x（xy）2【解析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可原式x（x22xy+y2）x（xy）2【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键10.化简x2-(x+2)(x-2)的结果是_.【答案】4【解析】先根据平方差公式计算，后做减法，x2-(x+2)(x-2)= x2-( x2-4)=4，故答案为4三、解答题（本大题有6个小题，共60分）1.（8分）（2022苏州）已知，求的值【答案】，3【解析】先将代数式化简，根据可得，整体代入即可求解原式，原式【点睛】
24、本题考查了整式的乘法运算，代数式化简求值，整体代入是解题的关键2.（8分）分解因式：（2x+y）2（x+2y）2【答案】3（x+y）（xy）【解析】原式（2x+y+x+2y）（2x+yx2y）（3x+3y）（xy）3（x+y）（xy）3.（8分）化简：(21)(221)(241)(281)1【答案】216【解析】分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“21”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解原式=(21)(21)(221)(241)(281)1=(221)(221)(241)(281)1=2164.（8分）（2022湖南衡阳）先化简，再求值：，其中，【答案】，
25、【解析】利用平方差公式与多项式乘法法则进行化简，再代值计算原式，将，代入式中得：原式【点睛】本题考查多项式乘法与平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键5.（18分）（2022安徽）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，按照以上规律解决下列问题：（1）写出第5个等式：_；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明【答案】（1） （2），证明见解析【解析】【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明【小问1详解】解：观
26、察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：，故答案为：；【小问2详解】解：第n个等式为，证明如下：等式左边：，等式右边：，故等式成立【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键6（10分）多项式77x213x30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值.【答案】12【解析】此题考查了十字相乘法分解因式的知识注意ax2+bx+c（a0）型的式子的因式分这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）首先利用十字交乘法将77x213x30因式分解，继而求得a，b，c的值利用十字交乘法将77x213x30因式分解，可得：77x213x30=（7x5）（11x+6）a=5，b=11，c=6，则a+b+c=（5）+11+6=12
