1、2.1.3方程组的解集选题明细表知识点、方法题号二元(三元)一次方程组2,3,4,8由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组1,10二元二次方程组5,11方程组的实际应用与综合6,7,9,12基础巩固1.方程组2x-y=0,x2-y2+3=0的解集为(A)A.(1,2),(-1,-2) B.(1,2),(1,-2)C.(1,-2),(-1,2) D.(1,-2),(-1,-2)解析:由,得y=2x,将代入,得x2-(2x)2+3=0,解得x1=1,x2=-1,把x1=1代入,得y1=2;把x2=-1代入,得y2=-2,所以原方程组的解是x1=1,y1=2,x2=-1,y2=-2.故选A
2、.2.若二元一次方程3x-y=7,2x+3y=1,y=kx-9有公共解,则k的取值为(D)A.3B.-3C.-4D.4解析:解3x-y=7,2x+3y=1,得x=2,y=-1,代入y=kx-9得-1=2k-9,解得k=4.故选D.3.若|3a+b+5|+|2a-2b-2|=0,则2a2-3ab的值是(D)A.14B.2C.-2D.-4解析:因为|3a+b+5|+|2a-2b-2|=0,所以3a+b=-5,a-b=1,解得a=-1,b=-2,则2a2-3ab=2-6=-4.故选D.4.已知x,y,z是非负整数,且x+y+z=10,x+2y+3z=30,则x+5y+3z的取值范围是.解析:x+y+
3、z=10,x+2y+3z=30,3-,得2x+y=0,因为x,y是非负整数,所以x=y=0,z=10,所以x+5y+3z=30.答案:305.解方程组xy+3x+y+3=0,x24+y23=1.解:由得(x+1)(y+3)=0,即x=-1或y=-3.将x=-1代入,得y23=34,y=32,所以x=-1,y=32或x=-1,y=-32.将y=-3代入,得x24=-2无解.所以原方程组的解为x=-1,y=32或x=-1,y=-32.能力提升6.古代“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索.索比竿子长一托,折回索却量竿,却比竿子短一托.”其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果
4、将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.则绳索和竿的长分别为(C)A.30尺和15尺 B.25尺和20尺C.20尺和15尺 D.15尺和10尺解析:设竿长x尺,绳索长y尺,根据题意,得x=y-5,x-y2=5,解得x=15,y=20.所以绳索长20尺,竿长15尺.故选C.7.(多选题)给出以下说法,其中正确的为(BC)A.关于x的方程x+1x=c+1c的解是x=c(c0)B.方程组xy+yz=63,xz+yz=23的正整数解有2组C.已知关于x,y的方程组x+3y=4-a,x-y=3a,其中 -3a1,当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4-a的解D.以方程组y-2x=2,2x+y=3的解为坐
5、标的点(x,y)在第二象限解析:对于A,关于x的方程x+1x=c+1c的解是x=c或x=1c(c0),A错误;对于B,方程组xy+yz=63,xz+yz=23,因为x,y,z是正整数,所以x+y2,因为23只能分解为231,所以方程即为(x+y)z=23,所以z=1,x+y=23,将z=1代入原方程组可得xy+y=63,x+y=23,解得x=2,y=21或x=20,y=3.所以这个方程组的正整数解是(2,21,1)和(20,3,1),B正确;对于C,关于x,y的方程组x+3y=4-a,x-y=3a,解得x=1+2a,y=1-a,所以x+y=2+a,当a=1时,x+y=3,所以方程组的解也是方程
6、 x+y=4-a=3的解,C正确;对于D,解方程组y-2x=2,2x+y=3得x=14,y=52,所以点(14,52)在第一象限,所以D错误.故选BC.8.(2021上海高三二模)若关于x,y的方程组x+y=m,x+ny=1有无穷多组解,则m+n的值为.解析:因为方程组x+y=m,x+ny=1有无穷多组解,所以x+y=m与x+ny=1为同一方程,所以m=n=1,所以m+n=2.答案:29.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90,3a+9b+c=72,则3b+ca+2b=.解析:2a+13b+3c=90,3a+9b+c=72,3-得9a+27b+3c-2a-13b-3c=216-90,7
7、a+14b=126,所以a+2b=18,3-2得6a+39b+9c-6a-18b-2c=270-144,3b+c=18,所以3b+ca+2b=1818=1.答案:110.当m取什么值时,方程组2x2+2my2=2-m,x-y+1=0有两个相等的实数解?并求出这时方程组的解.解:由方程组2x2+2my2=2-m,x-y+1=0消去y,可得2x2+2m(x+1)2-2+m=0,即(2+2m)x2+4mx+3m-2=0,由方程组有两个相等的实数解,可得判别式=(4m)2-4(2+2m)(3m-2)=0,整理,得m2+m-2=0,解得m=1或-2,当m=1时,4x2+4x+1=0,解得x=-12,y=
8、12;当m=-2时,x2+4x+4=0,解得x=-2,y=-1.则m=1时,方程组的解为x=-12,y=12;m=-2时,方程组的解为x=-2,y=-1.应用创新11.解方程组3x2+xy+y2=15,3x2-31xy+5y2=-45.解:3+,得3x2-7xy+2y2=0,(3x-y)(x-2y)=0,3x-y=0或x-2y=0,将y=3x代入,得x2=1,所以x=1y=3或x=-1,y=-3,将x=2y代入,得y2=1,所以x=2y=1或x=-2,y=-1.所以原方程组的解为x=1,y=3或x=-1,y=-3或x=2,y=1或x=-2,y=-1.12.某水果市场将120吨水果运往各地商家,
9、现有甲、乙、丙三种车型供选择,每辆车的运载能力和运费如表所示.(假设每辆车均满载)车型甲乙丙汽车运载量/(吨/辆)5810汽车运费/(元/辆)400500600(1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送,需运费8 200元,则分别需甲、乙两种车型各几辆?(2)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆),已知它们的总辆数为16辆,你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗?解:(1)设需甲车型x辆,乙车型y辆,得5x+8y=120,400x+500y=8 200,解得x=8,y=10.故需甲车型8辆,乙车型10辆.(2)设需甲车型x辆,乙车型y辆,丙车型z辆,得x+y+z=16,5x+8y+10z=120,消去z得5x+2y=40,x=8-25y,因x,y是正整数,且不大于14,得y=5或10,由z是正整数,解得x=6,y=5,z=5或x=4,y=10,z=2.故有两种运送方案:甲车型6辆,乙车型5辆,丙车型5辆;甲车型4辆,乙车型10辆,丙车型2辆.
