1、3.3函数的应用(一)选题明细表知识点、方法题号一次、二次函数模型2,5,6,8分段函数模型3,7,9,10不等式模型1,4,11,12基础巩固1.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2(0x240,xN*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(C)A.100台B.120台C.150台D.180台解析:依题意有3 000+20x-0.1x225x,0x240,xN*,解得150x240,且xN*,所以生产者不亏本时的最低产量是150台.故选C.2.某物体一天中的温度T(单位:)是关于时
2、间t(单位:h)的函数:T(t)=t3-3t+60,当t=0时,表示中午12:00,其前t值取负,其后t值取正,则上午8:00时的温度是(A)A.8 B.112 C.58 D.18 解析:求上午8:00时的温度,即求t=-4时函数的值,所以T(-4)=(-4)3-3(-4)+60=8().故选A.3.拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费(单位:元)由函数f(m)=3.71,04给出,其中m是不小于m的最小整数,例如2=2,1.21=2,那么从甲地到乙地通话5.5分钟的话费为(B)A.3.71元 B.4.24元C.4.7元 D.7.95元解析:由m是不小于m的最小整数可得5.5=6,所以f(5.5)
3、=1.06(0.55.5+1)=1.064=4.24.故选B.4.某公司一年购买某种货物900吨,现分次购买,若每次购买x吨,运费为9万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是(D)A.10B.15C.30D.45解析:由题知一年总运费为900x9=8 100x;所以一年的总运费与总存储费用之和为4x+8 100x24x8 100x=360,当且仅当4x=8 100x,即x=45时,等号成立,所以当x=45时,一年的总运费与总存储费用之和最小.故选D.5.若商品进价每件40元,当售价为50元/件时,一个月能卖出500件,通过市场调查发现,若每件商品的
4、单价每提高1元,则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高,则应将每件商品定价为元,最高月利润是元.解析:设销售定价为a元,那么就是提高了(a-50)元,则销售件数减少10(a-50)件,所以一个月能卖出的件数是500-10(a-50)件,每件商品的利润是(a-40)元,则一个月的利润y=(a-40)500-10(a-50)=-10a2+1 400a-40 000=-10(a-70)2+9 000,所以当a=70时,y取得最大值9 000.所以当每件商品定价为70元时,能获得最高月利润为 9 000元.答案:709 0006.甲、乙两地相距s km,汽车从甲地匀速行驶到乙地
5、,速度不得超过c km/h,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v km/h的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(单位:元)表示为速度v(单位:km/h)的函数,并指出函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大的速度行驶?解:(1)由关系式:运输总成本=每小时运输成本时间,得y=(a+bv2)sv,所以全程运输成本y(单位:元)表示为速度v(单位:km/h)的函数关系式是y=s(av+bv),v(0,c.(2)整理函数,得y=s(av+bv)=bsv+abv,由函数y=x+kx(k0)的单调性,得当abc时,
6、则v=ab时,y取最小值;当abc时,则v=c时,y取最小值.综上所述,为使全程运输成本y最小,当abc时,行驶速度应为v=ab km/h;当abc时,行驶速度应为v=c km/h.能力提升7.(2021江苏高一期末)依法纳税是每个公民应尽的义务,个人取得的所得应依照中华人民共和国个人所得税向国家缴纳个人所得税(简称个税).2019年1月1日起,个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定,计算公式为:个税税额=应纳税所得额税率-速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为:应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.其中,“基本减除费用”(免征额)为每年
7、60 000元,专项扣除指基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金等,税率与速算扣除数见表:级数全年应纳税所得额所在区间/元税率(%)速算扣除数10,36 000302(36 000,144 000102 5203(144 000,300 0002016 9204(300 000,420 0002531 9205(420 000,660 0003052 9206(660 000,960 0003585 9207(960 000,+)45181 920小王全年综合所得收入为200 000元,缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比
8、例分别是8%,2%,1%,9%,专项附加扣除是52 800元,依法确定的其他扣除是4 560元,那么小王应缴纳个税税额为(B)A.1 279.2元 B.1 744元C.3 079.2元 D.7 744元解析:专项扣除总额为200 000(8%+2%+1%+9%)=40 000(元),应纳税所得额为200 000-60 000-52 800-4 560-40 000=42 640(元),个税税额为42 64010%-2 520=1 744(元).故选B.8.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量以辆为单位).若该公司在两地共销售
9、15辆,要使获得的利润最大,则在甲地销售的车辆数为.解析:设公司在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,公司利润为L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-(x-192)2+30+1924=-(x-192)2+4814,所以当x=9或10时,L最大.答案:9或109.(2021浙江杭州高一期中)已知某条线路通车后,列车的发车时间间隔t(单位:min)满足2t20,经市场调研测算,列车载客量与发车时间间隔t相关,当10t20时,列车为满载状态,载客量为500人,当2t10时,载客量会减少,减少的人数与(10-t)的平方成正比,且发车时间间隔为2 min时的载客量为372人,
10、记列车载客量为p(t).(1)求p(t)的表达式,并求当发车时间间隔为5 min时,列车的载客量;(2)若该线路每分钟的净收益(单位:元)为Q(t)=8p(t)-2 656t-60.问:当发车时间间隔为多少时,该线路每分钟的净收益最大?并求出最大值.解:(1)由题设,当2t10时,令p(t)=500-k(10-t)2,而发车时间间隔为2 min时的载客量为372人,所以p(2)=500-k(10-2)2=372,解得k=2.所以p(t)=300+40t-2t2,2t10,500,10t20,故当t=5时,有p(5)=300+405-252=450.(2)由(1)知,Q(t)=260-16t-2
11、56t,2t10,1 344t-60,10t20,因为当2t10时,Q(t)260-216t256t=132,当且仅当t=4时,等号成立,所以当2t10时,Q(t)max=Q(4)=132;当10t20时,Q(t)单调递减,则Q(t)max=Q(10)=74.4.综上,发车时间间隔为4 min时,该线路每分钟的净收益最大,最大值为132元.10.经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(单位:件)与价格(单位:元)均为时间t(单位:天)的函数,且日销售量近似满足g(t)=80-2t,价格近似满足f(t)=20-12|t-10|.(1)试写出该种商品的日销售额y(单位:元)与时间
12、t(0t20)(单位:天)的函数表达式;(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.解:(1)y=g(t)f(t)=(80-2t)(20-12|t-10|)=(40-t)(40-|t-10|)=(30+t)(40-t)(0t10),(40-t)(50-t)(10t20).(2)当0t10时,y的取值范围是1 200,1 225,在t=5时,y取得最大值为1 225;当10t20时,y的取值范围是600,1 200,在t=20时,y取得最小值为600.故第5天,日销售额y取得最大值为1 225元;第20天,日销售额y取得最小值为600元.应用创新11.某工厂有旧墙一面长 14 m,现准备利用这
13、面旧墙建造平面图形为矩形,面积为126 m2的厂房.工程条件是:建1 m新墙的费用为a元;修1 m旧墙的费用是a4元;拆去1 m旧墙,用所得的材料建1 m新墙的费用为a2元.利用旧墙的一段x m(0x14)为矩形厂房的一面边长:(1)如何利用旧墙,即x为多少时建墙费用最省,最省费用是多少?(2)由于地理位置的限制,厂房另一边长(旧墙的临边)不能超过10 m,如何利用旧墙使总费用最省?解:(1)由题意知,利用旧墙一面的矩形边长为x m,则矩形的另一面边长为126x m,利用旧墙的一段x m(0x14)为矩形的一面边长,则修旧墙费用为ax4元,将剩余的旧墙拆得所得材料建新墙的费用为(14-x)a2
14、元,其余建新墙费用为(2x+2126x-14)a元,总费用为y=ax4+(14-x)a2+(2x+252x-14)a=7a(x4+36x-1)7a(2x436x-1)=35a,当且仅当x4=36x,即x=12时,等号成立,所以当x=12时,建墙费用最省,最省费用是35a元.(2)下面利用定义证明函数y=7a(x4+36x-1)在区间12.6,14上的单调性.任取x1,x212.6,14,且x1x2,即12.6x1x214,则y1-y2=7a(x14+36x1-1)-7a(x24+36x2-1)=74a(x1-x2+144x1-144x2)=7a4(x1-x2)+144(x2-x1)x1x2=7
15、a(x1-x2)(x1x2-144)4x1x2,因为12.6x1x214,则x1-x20,158.76x1x2196,所以y1-y20,即y1y2,所以函数y=7a(x4+36x-1)在区间12.6,14上单调递增,因此,当x=12.6时,即厂房另一边长(旧墙的临边)为10 m时,建墙费用最省.12.某企业为完成节能减排目标,要对其大型保温仓库外围建造保温层.已知建造的保温层使用寿命为40年,每厘米厚的保温层的建造费用为8千万元,仓库每年的电量消耗费用f(x)(单位:千万元)与保温层厚度x(单位:cm)满足关系式:f(x)=k8x+5(0x10),若无保温层,则每年电量消耗费用为8千万元,设g(x)为保温层建造费用与使用40年的电量消耗费用之和.(1)求f(x)和g(x)的表达式;(2)当所建保温层的厚度为多少时,总费用g(x)最小?并求出最小值.解:(1)当x=0时,f(0)=8,即k5=8,所以k=40,所以f(x)=408x+5,所以g(x)=8x+408x+540=8x+1 6008x+5(0x10).(2)g(x)=8x+1 6008x+5=8x+5+1 6008x+5-521 600-5=75,当且仅当8x+5=1 6008x+5,即x=358=4.375时取最小值.所以当所建保温层的厚度为4.375 cm时,总费用g(x)取得最小值,最小值为75千万元.
