1、3.33.3 函数的应用函数的应用( (一一) ) 学习目标 1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的 函数模型)的广泛应用.2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题 知识点 常见的几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)axb(a，b 为常数，a0) 二次函数模型 f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0) 分段函数模型 f(x) f1x，xD1 f2x，xD2 fnx，xDn 1一个矩形的周长是 40，则矩形的长 y 关于宽 x 的函数解析式为( ) Ay20 x, 0x10 By202x,0x20 Cy40 x,
2、0x10 Dy402x,0x20 答案 A 解析 由题意可知 2y2x40，即 y20 x， 又 20 xx，所以 00， 所以 y 是一个单调增函数，再由 250 x400 知， 当 x400 时，y 取得最大值， 此时 y1.64008001 440(元) 所以每天买进 400 份可使每月所获利润最大，获利 1 440 元 反思感悟 一次函数模型的特点和求解方法 (1)一次函数模型的突出特点是其图像是一条直线 (2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解 跟踪训练 1 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李 若超过规定的质量， 则需购买行李票，行李
3、费用 y(元)是行李质量 x(kg)的一次函数，其图像如图所示 (1)根据图像数据，求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？ 解 (1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykxb(k0) 由图像可知，当 x60 时，y6； 当 x80 时，y10. 所以 60kb6， 80kb10. 解得 k1 5，b6. 所以 y 与 x 之间的函数关系式为 y 1 5x6，x30， 0，x30. (2)根据题意，当 y0 时，x30. 所以旅客最多可免费携带行李的质量为 30 kg. 二、二次函数模型的应用 例 2 某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，假设
4、每箱售价不得低于 50 元且不得高于 55 元市场调查发现，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天销售 90 箱，价格每提高 1 元， 平均每天少销售 3 箱 (1)求平均每天的销售量 y(箱)与销售单价 x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解 (1)根据题意，得 y903(x50)， 化简，得 y3x240(50 x55，xN) (2)因为该批发商平均每天的销售利润平均每天的销售量每箱销售利润 所以 w(x40)(3x240)3x2360
5、x9 600(50 x55，xN) (3)因为 w3x2360 x9 6003(x60)21 200， 所以当 x0，则 0x13. y(52040 x)x20040 x2520 x200 40(x6.5)21 490,0x13. 易知，当 x6.5 时，y 有最大值 所以只需将销售单价定为 11.5 元，就可获得最大利润 三、分段函数模型的应用 例 3 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近 20 天内的日销售量(件)与价格(元)均为 时间 t(天)的函数，且日销售量近似满足 g(t)802t(件)，价格近似满足于 f(t) 151 2t，0t10， 251 2t，10t20. (1)试写
6、出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0t20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值 解 (1)由已知，由价格乘以销售量可得 y 151 2t 802t，0t10， 251 2t 802t，10t20， 即 y t210t1 200，0t10， t290t2 000，10t20. (2)由(1)知当 0t10 时，yt210t1 200(t5)21 225， 函数图像开口向下，对称轴为 t5，该函数在 t0,5上单调递增，在 t(5,10上单调递减， ymax1 225(当 t5 时取得)，ymin1 200(当 t0 或 10 时取得)； 当 10t20 时，yt
7、290t2 000(t45)225， 函数图像开口向上，对称轴为 t45，该函数在 t(10,20上单调递减，y1 200(当 t10 时 取得)，ymin600(当 t20 时取得)， 由知 ymax1 225(当 t5 时取得)， ymin600(当 t20 时取得)， 即日销售额 y 的最大值为 1 225 元，最小值为 600 元 反思感悟 应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏 (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集 (3)分段函数的最值求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论 跟踪训练 3 某医疗研究所开发一种新药，如果成人按
8、规定的剂量服用，据监测：服药后每 毫升血液中的含药量 y(g)与时间 t(h)之间近似满足如图所示的曲线 (1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式； (2)据测定： 每毫升血液中含药量不少于 4 g 时治疗疾病有效， 假若某病人一天中第一次服药 为上午 7：00，问一天中怎样安排服药时间(共 4 次)效果最佳？ 解 (1)依题意得 y 6t，0t1， 2 3t 20 3 ，1t10. (2)设第二次服药在第一次服药后 t1小时， 则2 3t1 20 3 4， 解得 t14， 因而第二次服药应在 11：00. 设第三次服药在第一次服药后 t2小时， 则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药
9、量的和， 即有2 3t2 20 3 2 3(t24) 20 3 4， 解得 t29 小时， 故第三次服药应在 16：00. 设第四次服药在第一次服药后 t3小时(t310)， 则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和2 3(t34) 20 3 2 3(t3 9)20 3 4， 解得 t313.5 小时， 故第四次服药应在 20：30. 1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中 给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( ) A310 元 B300 元 C390 元 D280 元 答案 B 解析 由图像知， 该一次函数的图像过(
10、1,800)， (2， 1 300)， 可求得解析式y500 x300(x0)， 当 x0 时，y300. 2某厂日产手套的总成本 y(元)与日产量 x(双)之间的关系为 y5x40 000.而手套出厂价格 为每双 10 元，要使该厂不亏本至少日产手套( ) A2 000 双 B4 000 双 C6 000 双 D8 000 双 答案 D 解析 由 5x40 00010 x，得 x8 000，即日产手套至少 8 000 双才不亏本 3某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为 L1x221x 和 L2 2x，其中 x 为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售 15 辆车，
11、则能获得的最大利润 为( ) A120.25 万元 B120 万元 C90.25 万元 D132 万元 答案 B 解析 设在甲地销售了 x 辆车， 则在乙地销售了(15x)辆车， 令总利润为 L， 则 Lx221x 2(15x)x219x30 x19 2 2481 4 . 因为 xN，所以当 x9 或 10 时，L 有最大值，Lmax120(万元)所以在甲地销售 9 辆车， 在乙地销售 6 辆车或在甲地销售 10 辆车，在乙地销售 5 辆车时可获得最大利润 120 万元 4 某人从 A 地出发， 开汽车以 80 千米/小时的速度经 2 小时到达 B 地， 在 B 地停留 2 小时， 则汽车离开
12、 A地的距离 y(单位： 千米)是时间 t(单位： 小时)的函数， 该函数的解析式是_ 答案 y 80t，0t2， 160，2t4 5用长度为 24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则 隔墙的长度为_m. 答案 3 解析 设隔墙的长为 x m，矩形面积为 S m2， 则 Sx 244x 2 x(122x)2x212x 2(x3)218,0x6， 所以当 x3 时，S 有最大值为 18. 1知识清单：实际问题中三种函数模型：一次函数模型，二次函数模型，分段函数模型 2方法归纳：待定系数法、均值不等式法、函数单调性法 3常见误区：解决函数的实际应用问题时易忽视函数的定义域
