1、1 3.43.4 函数的应用函数的应用( (一一) ) 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题(重点、难点) 1.通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养. 2.借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养. 常见的几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)axb(a，b 为常数，a0) 二次函数模型 f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0) 分段函数模型 f(x) f1x，xD1f2x，xD2fnx ，xDn 1一个矩
2、形的周长是 40，则矩形的长 y 关于宽 x 的函数解析式为( ) Ay20 x,0 x10 By202x,0 x20 Cy40 x,0 x10 Dy402x,0 x20 答案 A 2一辆汽车在某段路程中的行驶路程 s 关于时间 t 变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( ) A一次函数模型 B二次函数模型 2 C分段函数模型 D无法确定 C 由 s 与 t 的图象，可知 t 分 4 段，则函数模型为分段函数模型 3某商店进货单价为 45 元，若按 50 元一个销售，能卖出 50 个；若销售单价每涨 1 元，其销售量就减少 2 个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_元 60
3、 设涨价 x 元，销售的利润为 y 元， 则 y(50 x45)(502x)2x240 x250 2(x10)2450， 所以当 x10，即销售价为 60 元时，y 取得最大值 一次函数模型的应用 【例 1】 某厂日生产文具盒的总成本 y(元)与日产量 x(套)之间的关系为 y6x30 000.而出厂价格为每套 12 元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒( ) A2 000 套 B3 000 套 C4 000 套 D5 000 套 D 因利润 z12x(6x30 000)，所以 z6x30 000，由 z0 解得 x5 000，故至少日生产文具盒 5 000 套 1一次函数模型的实际应用 一次
4、函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则 2一次函数的最值求解 一次函数求最值，常转化为求解不等式 axb0(或0)，解答时，注意系数 a 的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值 1.如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函数关系图象根据图象填空： 3 通话 2 分钟，需要付电话费_元； 通话 5 分钟，需要付电话费_元； 如果 t3，则电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函数关系式为_ 3.6 6 y1.2t(t3) 由图象可知，当 t3 时，电话费都是 3.6 元 由图象可知，当 t5 时，y6，需付
5、电话费 6 元 易知当 t3 时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，待定系数求得 y1.2t(t3) 二次函数模型的应用 【例 2】 某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，假设每箱售价不得低于 50 元且不得高于 55 元市场调查发现，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天销售 90 箱，价格每提高1 元，平均每天少销售 3 箱 (1)求平均每天的销售量 y(箱)与销售单价 x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 思路点拨 本题中平均每天
6、的销售量 y(箱)与销售单价 x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然 x50,55， xN， 但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题； 平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题 解 (1)根据题意，得 y903(x50)， 化简，得 y3x240(50 x55，xN) (2)因为该批发商平均每天的销售利润平均每天的销售量每箱销售利润 所以 w(x40)(3x240)3x2360 x9 600(50 x55，xN) (3)因为 w3x2360 x9 6003(x60)21 200， 所以当 x60 时，w 随 x 的增大而增大 又 5
7、0 x55，xN，所以当 x55 时，w 有最大值，最大值为 1 125. 所以当每箱苹果的售价为 55 元时，可以获得最大利润，且最大利润为 1 125 元 4 二次函数模型的解析式为 gxax2bxca0.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答. 2 A， B 两城相距 100 km， 在两地之间距 A 城 x km 处 D 地建一核电站给 A， B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于 10 km，已知每个城市的
8、供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比， 比例系数 0.25.若 A 城供电量为 20 亿度/月， B 城为 10 亿度/月 (1)把 A，B 两城月供电总费用 y(万元)表示成 x(km)的函数，并求定义域； (2)核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用最小 解 (1)由题意设甲城的月供电费用为 y1，则 y120 x2. 设乙城的月供电费用为 y2，则 y210(100 x)2， 甲、乙两城月供电总费用 y20 x210(100 x)2. 0.25， y5x252(100 x)2(10 x90) (2)由 y5x252(100 x)2152x2500 x25 000 152 x10
9、03250 0003， 则当 x1003时，y 最小 故当核电站建在距 A 城1003 km 时，才能使供电总费用最小 分段函数模型的应用 【例 3】 某公司生产一种产品，每年投入固定成本 0.5 万元，此外每生产 100 件这种产品还需要增加投资 0.25 万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为 500 件，当出售的这种产品的数量为 t(单位：百件)时，销售所得的收入约为 5t12t2(万元) (1)若该公司的年产量为 x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量 x 的函数； 5 (2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？ 解 (1)当 05 时，
10、产品只能售出 500 件 所以 f(x) 5x12x20.50.25x，05， 即 f(x) 12x24.75x0.5，05. (2)当 05 时，f(x)120.25510.75(万元) 故当年产量为 475 件时，当年所得利润最大 1分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏 2分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集 3分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论 3已知 A、B 两地相距 150 千米，某人开汽车以 60 千米/时的速度从 A 地到 B 地，在 B地停留 1 小时后再以 50 千米/时的速度返回 A 地 (1)把汽车离开 A 地的距离 x(千米)表示为
11、时间 t(小时)的函数； (2)求汽车行驶 5 小时与 A 地的距离 解 (1)汽车以 60 千米/时的速度从 A 地到 B 地需 2.5 小时，这时 x60t；当 2.5t3.5时，x150；汽车以 50 千米/时的速度返回 A 地需 3 小时，这时 x15050(t3.5)所求函数的解析式为 x 60t，0t2.5，150，2.5t3.5，50t325， 3.5t6.5. (2)当 t5 时，x50532575， 即汽车行驶 5 小时离 A 地 75 千米 6 1解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，
12、充分利用函数图形的直观性 2数学建模的过程图示如下： 1思考辨析 甲、乙两人在一次赛跑中，路程 s 与时间 t 的函数关系如图所示，判断下列说法的对错 (1)甲比乙先出发( ) (2)乙比甲跑的路程多( ) (3)甲、乙两人的速度相同( ) (4)甲先到达终点( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2向高为 H 的水瓶中注水，注满为止如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( ) A B C D B 图反映随着水深 h 的增加，注水量 V 增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小 7 3某人从 A 地出发，开汽车以 80 千米/小时的速度经 2 小时到达 B 地，在 B 地停留 2 小时，则汽车离开 A 地的距离 y(单位：千米)是时间 t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是_ 答案 y 80t，0t2，160，21 000 得，x7003，故每天至少需要卖出 234 张门票
