1、3.4数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点选题明细表知识点、方法题号图表信息函数模型1,2,6,7函数模型的建立及应用3,5,8,9,10,11拟合函数模型4,12基础巩固1.如图所示,阴影部分的面积S是h的函数(0hH),则该函数的图像大致是(C)解析:由题图知,开始h=0时阴影部分面积最大,排除A,B,对应阴影部分的面积随着h的增大,减得越来越慢.故选C.2.有一直角墙角的平面图如图所示,两边的长度足够长,在点P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0a12),4 m,不考虑树的粗细,现在想用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为S,若将这棵树围在花圃
2、内,则函数S=f(a)(单位:m2)的图像大致是(C)解析:设AD=x,则16-x4,xa,得x12,xa,所以ax12.花圃的面积为y=x(16-x)=-(x-8)2+64,且0a12,ax12.当0a8时,花圃的面积的最大值ymax=S=64为定值;当8a12时,花圃的面积的最大值逐渐变小,且S64.观察各选项,知选C.3.我们定义函数y=x(x表示不大于x的最大整数)为“下整函数”;定义y=x(x表示不小于x的最小整数)为“上整函数”;例如4.3=4,5=5;4.3=5,5=5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过1小时,不超过2小时(包括2小时)收费
3、4元,依此类推.若李刚停车时间为x小时,则李刚应付费为(单位:元)(C)A.2x+1B.2(x+1)C.2xD.2x解析:如x=1时,应付费2元,此时2x+1=4,2(x+1)=4,排除A,B;当x=0.5时,付费为2元,此时2x=1,排除D.故选C.4.某种病菌经半小时繁殖为原来的2倍,且知这种病菌的繁殖规律为y=ek t(k为常数,t为时间,单位:时),y表示病菌个数,则k=;经过5小时,1个病菌能繁殖为个.解析:设病菌原来有1个,则半小时后为2个,得2=ek2,解得k=2ln 2,当t=5时,y=e(2ln 2)5=e10ln 2=210=1 024.答案:2ln 21 0245.202
4、1年某县对农民实行购买农资优惠政策.(1)若购买农资不超过2 000元,则不给予优惠;(2)若购买农资超过2 000元但不超过5 000元,则按原价给予9折优惠;(3)若购买农资超过5 000元,不超过5 000元的部分按原价给予9折优惠,超过5 000元的部分按原价给予7折优惠.该县家境较困难的一户农民预购买一批农资,有如下两种方案:方案一:分两次付款购买,实际付款分别为3 150元和 4 850元;方案二:一次性付款购买.若采取方案二购买这批农资,则比方案一节省元.解析:因为3 1500.9=3 5002 000,所以实际付款3 150元对应的原价为3 500元,又因为4 8505 000
5、0.9,所以实际付款4 850元对应的原价大于5 000元,设实际付款4 850元对应的原价为(5 000+x)元,所以5 0000.9+0.7x=4 850,解得x=500,所以两次付款的原价之和为3 500+5 500=9 000(元).若按方案二付款,则实际付款为5 0000.9+4 0000.7=7 300(元),所以节省的钱为(3 150+4 850)-7 300=700(元).答案:7006.如图,一个小孩将一只皮球从A处抛出去,它所经过的路线是某个二次函数图像的一部分,如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m,皮球经过路线的最高点B(8,9),则这个函数的表达式为,小孩将球抛出了
6、约m.(21.414,精确到0.1 m)解析:设y=a(x-8)2+9,将点A(0,1)代入,得a=-18.则y=-18(x-8)2+9=-18x2+2x+1,令y=0,得-18(x-8)2+9=0,(x-8)2=89,x=862,则C(8+62,0),所以OC=8+6216.5(m).答案:y=-18x2+2x+116.5能力提升7.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点用s1,s2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t表示时间,则与故事情节相吻合的图像是(B)解析:根据故事叙述
7、,乌龟和兔子所行的路程s1,s2与时间t的关系用图像表示,B符合题意.故选B.8.(多选题)如图,在等边三角形ABC中,AB=6.动点P从点A出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到A点,记P运动的路程为x,点P到此三角形中心O距离的平方为f(x),给出下列结论正确的有(AC)A.函数f(x)的最大值为12B.函数f(x)的最小值为6C.关于x的方程f(x)=kx+3最多有6个实数根D.当x=3时,f(x)能取得最大值解析:P在AB上运动时的函数解析式f(x)=|OP|2=3+(x-3)2(0x6),P在BC上运动时的函数解析式f(x)=|OP|2=3+(x-9)2(6x12),P在CA上运动时的
8、函数解析式f(x)=|OP|2=3+(x-15)2(12x18),f(x)=|OP|2=3+(x-3)2,0x6,3+(x-9)2,6x12,3+(x-15)2,12x18,如图,方程f(x)=kx+3最多有6个实数根,函数f(x)的最大值为12,最小值为3,当x=3时,f(x)能取得最小值.故选AC.9.某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x=3-2t+1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进
9、货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是万元.解析:由题意,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x=3-2t+1,即t=23-x-1(1x3),所以月利润为y=(321.5+t2x)x-32x-3-t=16x-t2-3=16x-13-x-52=45.5-16(3-x)+13-x45.5-216=37.5,当且仅当16(3-x)=13-x,即x=114时,等号成立,即该公司最大利润为37.5万元.答案:37.510.暴雨会冲刷城市的垃圾杂物一起进入下水道.据统计,在不考虑其他因素的条件下,某段下水道的排水量V(单位:m3/h)是
10、垃圾杂物密度x(单位:kg/m3)的函数.当下水道的垃圾杂物密度达到3 kg/m3时,会造成堵塞,此时排水量为0;当垃圾杂物密度不超过0.5 kg/m3时,排水量是80 m3/h;研究表明,当0.5x3时,排水量V是垃圾杂物密度x的一次函数.(1)当0x3时,求函数V(x)的表达式;(2)当垃圾杂物密度x为多大时,垃圾杂物量(单位时间内通过某段下水道的垃圾杂物量,单位:kg/h)f(x)=xV(x)可以达到最大?求出这个最大值.解:(1)因为当垃圾杂物密度不超过0.5 kg/m3时,排水量是80 m3/h,所以V(x)=80,0x0.5,因为当0.5x3时,排水量V是垃圾杂物密度x的一次函数,
11、所以设为V(x)=mx+n(m0),将(0.5,80),(3,0)代入,得0.5m+n=80,3m+n=0,解得m=-32,n=96,所以V(x)=-32x+96,0.5x3.所以V(x)=80,0x0.5,-32x+96,0.5x3.(2)由题意可得f(x)=xV(x)=80x,0x0.5,-32x(x-3),0.5x3,当0x0.5时,f(x)=80x单调递增,所以f(x)max=f(0.5)=40,即f(x)的最大值为40 kg/h.当0.5x3时,f(x)=32x(3-x)32(x+3-x2)2=72(当且仅当x=32时,等号成立).所以当垃圾杂物密度x=32 kg/m3时,f(x)取
12、得最大值72 kg/h.11.一种药在病人血液中的含量不低于2 g时,它才能起到有效治疗的作用,已知每服用m(1m12,且mR)g的药剂,药剂在血液中的含量y(单位:g)随着时间x(单位:h)变化的函数关系式近似为y=m3f(x),其中f(x)=104+x,0x6,4-x2,6x8.(1)若病人一次服用9 g的药剂,则有效治疗时间可达多少小时?(2)若病人第一次服用6 g的药剂,6 h后再服用3m g的药剂,要使接下来的2 h中能够持续有效治疗,试求m的最小值.解:(1)由题意,由m=9可得y=3f(x)=304+x,0x6,12-3x2,6x8.当0x6时,304+x2,解得x11,此时0x
13、6;当6x8时,12-3x22,解得x203,此时6x203.综上可得,0x203,所以病人一次服用9 g的药剂,则有效治疗时间可达203 h.(2)当6x8时,y=2(4-x2)+m104+(x-6)=8-x+10mx-2,由y=8-x,y=10mx-2(1m12,且mR)在6,8上均为减函数,可得y=8-x+10mx-2在6,8上单调递减,即有y8-8+10m8-2=5m3,由5m32,可得m65,可得m的最小值为65.应用创新12.某企业积极响应国家垃圾分类号召,在科研部门的支持下进行技术创新,新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量x(单位:t)最
14、少为70,最多为100.日加工处理总成本y(单位:元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=12x2+40x+3 200,且每加工处理1 t厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元.(1)该企业日加工处理量为多少吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低?此时该企业处理1 t厨余垃圾处于亏损还是盈利状态?(2)为了该企业可持续发展,政府决定对该企业进行财政补贴,补贴方式共有两种.每日进行定额财政补贴,金额为2 300元;根据日加工处理量进行财政补贴,金额为30x.如果你是企业的决策者,为了获得最大利润,你会选择哪种补贴方式进行补贴?为什么?解:(1)由题意可知,每吨厨余垃圾平均加工成本
15、为yx=x2+3 200x+40,x70,100.又x2+3 200x+402x23 200x+40=240+40=120,当且仅当x2=3 200x,即x=80时,每吨厨余垃圾的平均加工成本最低.因为100120,所以此时该企业处理1 t厨余垃圾处于亏损状态.(2)若该企业采用第一种补贴方式,设该企业每日获利为y1,由题可得y1=100x-(12x2+40x+3 200)+2 300=-12x2+60x-900=-12(x-60)2+900,因为x70,100,所以当x=70时,企业每日最大获利为850元.若该企业采用第二种补贴方式,设该企业每日获利为y2,由题可得y2=130x-(12x2+40x+3 200)=-12x2+90x-3 200=-12(x-90)2+850,因为x70,100,所以当x=90时,企业每日最大获利为850元.结论:选择第一种补贴方式,日加工处理量为70 t时,可以获得最大利润;选择第二种补贴方式,日加工处理量为90 t时,可以获得最大利润,还能够为社会做出更大贡献.由于最大利润相同,所以选择两种补贴方式均可.
