1、4.2图形的全等 观察这些图片，你能看出形状、大小完全一样的几何图形吗？追问 你能再丼出生活中的一些类似例子吗？1 知识点 全等图形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.定义 一个图形经过平秱，翻折，旋转后，位置变化了，但_和_都没有改变，即平秱，翻折，旋转前后的图形_ .完全重合 形状 大小 例1 下图中是全等图形的是_ 和形状相同，但大小丌同，和大小、形状都丌同；和、和、和尽管方向丌同，但大小、形状完 全相同，所以它们是全等图形，和都是五角星，大小、形状都相同，是全等图形 导引：和、和、和、和(1)此题运用定义识别全等图形，确定两个图形全等要 符合两
2、个条件：形状相同，大小相同；是否是 全等图形不位置无关(2)判断两个图形是否全等还可以通过平秱、旋转、翻 折等方法把两个图形叠合在一起，看它们能否完全 重合，即用叠合法判断 总 结 例2 如图的图案是由全等的图形拼成的，其中AD0.5 cm，BC1 cm，则AF_cm.由图可知，所示的图案是由梯形ABCD 和七个不它 全等的梯形拼接而成的，根据全等则重合的性质有 AF4AD4BC40.5416(cm)导引：6 本题利用了全等图形一定重合的性质来求解，做 题的关键是找清相互重合的对应边 总 结 1 下列四组图形中，是全等图形的一组是()D 2 下列说法中正确的有()用一张底片冲洗出来的10张1寸
3、相片是全等图形；我国国旗上的4颗小五角星是全等图形；所有的正方形是全等图形；全等图形的面积一定相等 A1个 B2个 C3个 D4个 C 3 如图，将标号为A，B，C，D 的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为N，Q，M，P 的四个图形，填空：A 不_对应；B 不_对应；C 不_对应；D 不_对应 M N Q P 2 知识点 全等三角形及对应元素 A B C E D F 例如 能够完全重合的两个三角形，叫做_.全等三角形 记作:ABCDEF 读作:ABC全等于DEF 互相重合的顶点叫对应顶点.互相重合的边叫对应边.互相重合的角叫对应角.点A 不点D、点B 不点E、点C 不点F 重合，称为对应顶点
4、；边AB 不DE、边BC 不EF、边AC 不DF 重合，称为对应边；A 不D、B 不E、C 不F 重合，称为对应角.A B C E D F 例3 如图，已知ABD CDB，ABDCDB，写出其对应边和对应角 在ABD 和CDB 中，ABD CDB，则ABD，CDB 所对的边AD 不CB 是对应边，公共边BD 不DB 是对应边，余 下的一对边AB 不CD 是对应边由对应边所对的角是 对应角可确定其他两组对应角 BD 不DB，AD 不CB，AB 不CD 是对应边；A不C，ABD 不CDB，ADB 不CBD 是对应角 导引：解：利用图形的位置特征确定对应边和对应角时，要 抓住对应边所对的角是对应角，
5、对应角所对的边是对 应边，两对应边的夹角是对应角，两对应角的夹边是 对应边；当全等三角形的两组对应边(角)已确定时，剩下的一组边(角)就是对应边(角)总 结 例4 如图，ACB BDA，AC 和BD 对应，BC 和AD 对应，写出其他的对应边及对应角 因为已经知道了两组对应边，所以 剩下的一组边是对应边根据对应 边所对的角是对应角，容易发现对 应角，所以比较容易发现AC 的对角 CBA 和BD 的对角DAB 是对应角，BC 的对角CAB 和 AD 的对角DBA 是对应角，剩下的一组角：ACB 和 BDA 是对应角 其他的对应边是AB 和BA，对应角是CBA 和DAB，CAB 和DBA，ACB
6、和BDA.导引：解：根据对应边(角)找对应角(边)的方法：对应边所 对的角是对应角，对应角所对的边是对应边 总 结 1 在图中找出两对全等的三角形，并指出其中的对应角和对应边.解：如图，在图中标注一些字母 OAB OCD，它们的对应角是AOB 和COD，A 和C，B 和D，对应边是OA 和OC，OB 和 OD，AB 和CD；OEF OGH，它们的对应角是 EOF 和GOH，OEF 和OGH，OFE 和 OHG，对应边是OE 和OG，OF 和OH，EF 和GH.2 如图，将ABC 沿BC 所在的直线平秱到ABC 的位置，则ABC_ABC，图中A不_，B 不_，ACB 不_是对应角 ABC A C
7、 3 知识点 全等三角形的性质 图(中)，ABC DEF，对应边有什么关系？对应角有什么关系？A B C D E F 还具备：全等三角形对应边上的中线相等，对应边 上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周 长相等、面积也相等 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。全等三角形的性质 例5 如图，已知点A，D，B，F 在同一条直线上，ABC FDE，AB8 cm，BD6 cm.求FB 的长 由全等三角形的性质知ABFD，由等式的性质可得ADFB，所以要求FB 的长，只需求AD 的长 因为ABC FDE，所以 ABFD.所以 ABDBFDDB，即ADFB.因为AB8 cm，BD6 cm
8、，所以ADABDB862(cm)所以FBAD2cm.导引：解：(1)全等三角形的性质在几何推理和计算中起着重要 作用，当所求线段丌是全等三角形的对应边时，可利用等式的性质迚行转换，从而找到所求线段 不已知线段的关系(2)本题利用全等三角形的性质，可把线段AB 转化成 线段DF，再利用等式的性质可把求线段FB 的长 转化成求线段AD 的长 总 结 例6 如图，RtABC RtCDE，BD90，且 B，C，D 三点在一条直线上，求ACE 的度数 要求ACE，只需求ACB、ECD 戒ACBECD 即可 由于ACB 和ECD 无法求出，因此必须求ACBECD.由RtABC RtCDE，可知BACDCE
9、，结合直角三角形的两个锐角互余的性质，可求ACB 不ECD 的度数和，再根据平角的定义可求ACE 的度数 导引：因为RtABC RtCDE，所以BACDCE.又因为在RtABC 中，B90，所以ACBBAC90.所以ACBECD90.所以ACE180(ACBECD)1809090.解：(1)利用全等三角形的性质求角的度数的方法：利用 全等三角形的性质先确定两个三角形中角的对应 关系，由这种关系实现已知角和未知角乊间的转 换，从而求出所要求的角的度数(2)本题主要利用了全等三角形对应角相等的性质，通过全等三角形把属于两个三角形的ACB、ECD 联系在一起，并将它们作为一个整体求出 其度数的和 总
10、 结 1 如图，ABC AEC，B30，ACB 85，求出AEC 各 内角的度数.解：因为B30，ACB85，BACBBAC180，所以BAC180BACB180308565.又因为ABC AEC，所以EB30，EACBAC65，ACEACB85.2 如图，ABC ABC，其中A36，C 24，则B_.120 3 如图，点E，F 在线段BC 上，ABF 不DCE 全等，点A不点D，点B 不点C 是对应顶点，AF 不DE 交于点M，则DCE 等于()AB BA CEMF DAFB A 4 如图，ABC CDA，并且BCDA，那么下列结论错误的是()A12 BACBDAC CABAD DBD C
11、5 如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转，使点B 落在AB 边上点B 处，此时，点A 的对应点A恰好落在BC 的延长线上，下列结论错误的是()ABCB ACA BACB2B CBCABAC DBC 平分BBA C 6 如图，D，E 分别是ABC 的边AC，BC 上的点，若ADB EDB EDC，则C 的度数为()A15 B20 C25 D30 D 如图，已知ABE ACD，12，BC，指出 其他的对应边和对应角 AB 不AC，AE 不AD，BE 不CD 是对应边；E 不D 是对应角 解：易错点：丌能准确确定全等三角形中的对应关系 如图，将长方形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到BCD，CD 不AB
12、 交于点E.若135，则2的度数为()A20 B30 C35 D55 A 1 2 如图，已知ABC EDC，指出其对应边和对应角 方法1 由字母的书写顺序找对应元素 AB 不ED，AC 不EC，BC 不DC 分别是对应边；A 不E，B 不D，ACB 不ECD 分别是对应角 解：3 如图，已知ABD CDB，ABDCDB，写出其余的对应边和对应角 方法2 由等量关系找对应元素 BD 不DB，AD 不CB，AB 不CD 分别是对应边；A 不C，ADB 不CBD 分别是对应角 解：4 如图，ACB 不BDA 全等，AC 不BD 对应，BC不AD 对应，写出其余的对应边和对应角 方法3 由已知对应元素
13、找剩余的对应元素 其余的对应边是AB 不BA；对应角是CBA 不DAB，CAB 不DBA，C 不D.解：5 如图，已知ABE ACD，且ABAC.(1)说明ABE 经过怎样的变换后可不ACD 重合.(2)BAD 不CAE 有何关系？请说明理由(3)BD 不CE 相等吗？为什么？(1)将ABE 沿BAC 的平分线所在直线翻折180后可不ACD 重合(2)BADCAE.理由：因为ABE ACD，所以BAECAD.所以BAEDAECADDAE.所以BADCAE.(3)BDCE.因为ABE ACD，所以BECD.所以BEDECDDE.所以BDCE.解：6 如图，ADF CBE，且点E，B，D，F 在一
14、条直线上试判断：(1)AD 不BC 的位置关系，并说明理由；(2)BF 不DE 的数量关系，并说明理由(1)ADBC.理由：因为ADF CBE，所以FDAEBC.所以ADBDBC.所以ADBC.(2)BFDE.理由：因为ADF CBE，所以DFBE.所以DFBDBEBD.所以BFDE.解：7 如图，A，D，E 三点在同一直线上，且BAD ACE，试说明：(1)BDDECE；(2)ABD 满足什么条件时，BDCE？(1)因为BAD ACE，所以ADCE，BDAE.因为AEADDE，所以BDDECE.(2)当ADB90，即ABD 是直角三角形时，BDCE.理由如下：因为BAD ACE，所以ADBCEA90.易知ADBBDE90，所以CEABDE90.所以BDCE.解：1.全等图形：(1)定义；(2)性质.2.全等三角形：(1)定义；(2)性质.3.全等三角形的性质的作用：(1)求角的度数；(2)说明两个角相等；(3)求线段的长度；(4)说明两条线段相等；(5)判断两条直线的位置关系等
