1、1.6完全平方公式 我们上一节学习了平方差公式即(a+b)(a-b)=a 2-b 2，现在遇到了两个数的和的平方，即(a+b)2，这是我们这节课要研究的新问题 1 知识点 完全平方公式的特征 探究 计算下列各式，你能发现什么规律？(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=.(2)(m+2)2=.(3)(p1)2=(p1)(p1)=.(4)(m2)2=.p 2+2p+1 m 2+4m+4 m 2 4m+4 p 22p+1 我们来计算下列(a+b)2，(a b)2.(a+b)2=(a+b)(a+b)=a 2+ab+ab+b 2 =a 2+2ab+b 2.(ab)2=(ab)(ab)=a 2 ab
2、ab+b 2 =a 2 2ab+b 2.完全平方公式的数学表达式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2.(ab)2=a 22ab+b 2.完全平方公式的文字叙述：两个数的和（戒差）的平方，等于它们的 平方和，加上（戒减去）它们的积的2倍.公式的特点：4.公式中的字母a，b 可以表示数，单项式和多项式.(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2 1.积为二次三项式；2.其中两项为两数的平方和；3.另一项是两数积的2倍，且不左边乘式中间的符号相同.首平方，尾平方，积的2倍在中央 归 纳 例1 利用完全平方公式计算：(1)(2x3)2；(2)(4x+5y)2；(3)(m
3、na)2.解：(1)(2x3)2=(2x)222x 3+32 =4x 212x+9；(2)(4x+5y)2=(4x)2+24x 5y+(5y)2 =16x 2+40 xy+25y 2；(3)(mna)2=(mn)22mn a+a 2 =m 2n 22amn+a 2.例2 利运用完全平方公式计算：(1)(2x5)2；(2)(m2n)2；(3)导引：先将算式利用(ab)2(ba)2，(ab)2 (ab)2化为两数和戒差的平方形式，再利 用完全平方公式计算 解：(1)原式(2x5)2(2x)222x 552 4x 220 x25；(2)原式(m2n)2m 22m 2n(2n)2 m 24mn4n 2
4、；(3)原式 232).(43xy 2222332294()2().4433169xxyyxxyy总 结 在应用公式(ab)2a 22abb 2 时关键是弄清题目 中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式中的b，同时还要确定用两数和的完全平方公式还是两数差的 完全平方公式；解(1)(2)时还用到了互为相反数的两 数的平方相等 1 若代数式x 2kx25是一个完全平方式，则k_ 若x 26xk 是完全平方式，则k 等于()A9 B9 C9 D3 2 10戒10 A 3 小明计算一个二项式的平方时，得到正确结果a 210ab，但最后一项丌慎被污染了，这一项应是()A5b B5b 2 C25b 2
5、 D100b 2 C 2 知识点 完全平方公式 两数和的完全平方公式：两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数积的两倍 222()2abaabb+=+两数差的完全平方公式：两数差的平方等于这两数的平方和减去这两数积的两倍 222()2abaabb-=-+b b a a(a+b)a 2ab 2bab ab 2ab+两数和的完全平方公式：2ab(a+b)a a b b 两数差的完全平方公式：(ab)2()ab-2aab-222aabb ab-2b+ab ab b 2 例3 计算：(1)(2x1)2(3x1)2；(2)(ab)2(ab)2；(3)(xy)(xy)(x 2y 2)导引：对于(1)可分别
6、利用完全平方公式计算，再合并同类项；对于(2)可以把底数(ab)，(ab)分别看作一个整体，然后逆用积的乘方法则迚行计算；对于(3)先利用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方公式迚行计算(1)原式4x 24x1(9x 26x1)4x 24x19x 26x1 5x 210 x；(2)原式(ab)(ab)2 (a 2b 2)2a 42a 2b 2b 4；(3)原式(xy)(xy)(x 2y 2)(x 2y 2)2(x 42x 2y 2y 4)x 42x 2y 2y 4.解：例4 计算：(1)(x+3)2x 2；(2)(a+b+3)(a+b3)；(3)(x+5)2(x2)(x3).解：(1)
7、(x+3)2x 2=x 2+6x+9x 2=6x+9(2)(a+b+3)(a+b3)=(a+b)+3(a+b)3 =(a+b)232=a 2+2ab+b 29；(3)(x+5)2(x2)(x3)=x 2+10 x+25(x 25x+6)=x 2+10 x+25x 2+5x6 =15x+19.总 结 本题运用了整体思想求解对于平方式中若底数是三项式，通过添括号将其中任意两项视为一个整体，就符合完全平方公式特点；对于两个三项式戒四项式相乘的式子，可将相同的项及互为相反数的项分别添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，通过平方差公式展开再利用完全平方公式展开，最后合并可得结果 1 计算：(1)；
8、(2)；(3)(n+1)2n 2.21(2)2xy 21(2)5xyy(3)(n1)2n 2(n 22n1)n 22n1.解：222111(1)2222222xyxxyy 22124.4xxyy 222111(2)2222555xyxxyxyxx2222414.525x yx yx 在下列计算中，正确的是()Am 3m 2m 5 Bm 5m 2m 3 C(2m)36m 3 D(m1)2m 21 2 B 3 C 计算(ab)2等于()Aa 2b 2 Ba 2b 2 Ca 22abb 2 Da 22abb 2 3 知识点 完全平方公式的应用 例5 已知a 2b 213，ab6，求(ab)2，(ab
9、)2的值.导引：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平 方和不这两数积的两倍，再将条件代入求解 解：因为a 2b 213，ab6，所以(ab)2a 2b 22ab132625；(ab)2a 2b 22ab13261.总 结 在利用完全平方公式迚行计算时，经常会遇到这个公 式的如下变形：(1)(ab)22aba 2b 2；(2)(ab)2 2aba 2b 2；(3)(ab)2(ab)22(a 2b 2)；(4)(ab)2(ab)24ab.灵活运用这些公式的变形，往往可以解答一些特殊的 计算问题，培养综合运用知识的能力 利用整式乘法公式计算：(1)962；(2)(ab3)(ab3)1(1)96
10、2(1004)2 10022100442 9 216.(2)(ab3)(ab3)(ab)232 a 22abb 29.解：2 若(ab)2(ab)2A，则A 为()A2ab B2ab C4ab D4ab 若(x3)2x 2ax9，则a 的值为()A3 B3 C6 D6 3 C C 4 已知xy7，xy2，则x 2y 2的值为()A53 B45 C47 D51 若ab3，a 2b 27，则ab 等于()A2 B1 C2 D1 5 A B 6 若ab1，ab6，则ab 等于()A5 B5 C D5 已知a 4，则a 2 的值是()A4 B16 C14 D15 7 D 1a21a13C 8 若x 2
11、4x40，则3(x2)26(x1)(x1)的值为()A6 B6 C18 D30 B 若xy10，xy1，则x 3yxy 3的值是_ 9 98 如图，将完全相同的四张长方形纸片和一张正方形纸片拼成一个较大的正方形，则可得出一个等式为()A(ab)2a 22abb 2 B(ab)2a 22abb 2 Ca 2b 2(ab)(ab)D(ab)2(ab)24ab D 10 利用完全平方公式计算：(1)(xy)24(xy)(xy)4(xy)2；11(1)原式x 22xyy 24(x 2y 2)4(x 22xyy 2)x 26xy9y 2.解：(2)(3)2 01624 0322 0152 0152.21
12、60;60(3)原式2 016222 0162 0152 0152 (2 0162 015)21.解：222111(2)60602 60606060原原式式113 60023 602.36003600 已知(ab)225，ab6，则ab 等于()A1 B1 C1戒1 D以上都丌正确 易错点：对完全平方公式的特征理解丌透导致漏解 C 下列变形中，错误的是()(b4c)2b 216c 2；(a2bc)2a 24abc4b 2c 2；(xy)2x 2xyy 2；(4mn)216m 28mnn 2.A B C D A 1 下列计算正确的是()A(a2)(a2)a 22 B(a1)(a2)a 2a2 C
13、(ab)2a 2b 2 D(ab)2a 22abb 2 D 2 3(1)(x2)(y2)xy2(xy)412.因为xy3，所以xy23412.所以xy2.(2)因为xy3，xy2，所以x 2y 2(xy)22xy945.所以x 23xyy 253211.解：2232212.(1)(2()(3)xyxyxyxxyy若若 ，且且 求求：的的值值；的的值值4 222222222226902269030.33.()(31).33mmmnnnnmmnnnmnnnmmn若若 ，求求的的值值解解：因因为为 ，所所以以 所所以以 ，所所以以根根据据你你的的观观察察，探探究究下下面面的的问问题题：2222222
14、2()(1)448160(2)2221 0)23223410841yxxyyxxyxyyxyxyxyxyabcABCababcABCc若若 ，求求的的值值；若若 ，求求 的的值值；试试说说明明不不论论，取取什什么么有有理理数数，多多项项式式 的的值值总总是是正正数数；已已知知，是是不不等等边边三三角角形形的的三三边边长长，满满 足足，且且 是是三三角角形形的的最最大大 边边长长，求求 的的取取值值范范围围(1)原等式即为(x2)2(y4)20，所以x2，y4.所以(2)42.2yx22()(1)011.212(1)3.xyyyxxy原原等等式式即即为为 ，所所以以 ，所所以以 (3)22222
15、22222222232121 1(1)(1)1(1)0(1)0(1)(1)11.223xyxyxxyyxyxyxyxyxyxy ，因因为为，所所以以 的的最最小小值值为为所所以以不不论论，取取什什么么有有理理数数，多多项项式式 的的值值总总是是正正数数(4)2222221084110258160.(5)(4)0.54.59.ababaabbababcABCcc因因为为，所所以以 所所以以 所所以以 ，又又因因为为 是是三三角角形形的的最最大大边边长长，所所以以 的的取取值值范范围围为为 5 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数 学家杨辉(约13世纪)所著的详解九章算术一书中，用如 图所示的三角形解释二项和(ab)n 的展开式的各项系数，此 三角形称为“杨辉三角”(ab)0 (ab)1 (ab)2 (ab)3 (ab)4 (ab)5 根据“杨辉三角”请计算(ab)20的展开式中第三项的系数为()A2 017 B2 016 C191 D190 D 1.完全平方公式的特征：左边是二项式的平方，右 边是二次三项式，其中两项分别是公式左边两项 的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，可简记为“前平方、后平方，积的2倍在中央”2完全平方公式常见的变形公式有：(1)a 2b 2(ab)22ab(ab)22ab；(2)(ab)2(ab)24ab.
