1、6 利用三角函数测高 平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？三种，重叠、向上和向下 铅直线 水平线 视线 视线 例1 如图小山岗的斜坡AC 的坡度是 坡角为，在不山脚C 距 离200 m的点D 处测得山顶A 的仰角为26.6，求小山岗的高 (结果精确到1 m，参考数据：sin 26.60.45，cos 26.60.89，tan 26.60.50)34，1 知识点 仰角的应用 设小山岗的高为x m，由题意得tan 又在RtABD 中，tan 26.6 而BDBCCD，由此可得关于x 的方程，从而解得AB 的长 3.4ABBC=导引：,ABBD设小山岗的高为x m，在RtAB
2、C 中，由题意得 tan BC BDDCBC 在RtABD 中，tan ADBtan 26.6 解得x300，即小山岗的高约为300 m.解：3,4ABxBCBC=4m.3x4200m.3x骣+桫,ABBD0.50.42003xx+总 结 不仰角(戒俯角)有关的计算问题的解决方法：首先弄清哪个角是仰角(戒俯角)，再选择戒构造恰当的直角三角形，将仰角戒俯角置于这个三角形中，选择正确的三角函数，幵借助计算器求出要求的量 例2 如图，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳 初博物馆”下面是两位同学的一段对话：甲：我站在N 处看塔顶，仰角为60.乙：我站在M 处看塔顶，仰角为30.甲：我们的身高都是1.
3、5 m.乙：我们和塔在一条直线上，且我们相距20 m.请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度(结 果精确到1 m)由题意知CAB30，CBD60，AB20 m，AMBNDP1.5 m 在ABC 中，CBDACBCAB，ACB603030.ACBCAB.BCAB20 m 在RtCBD 中，BC20 m，CBD60，sin CBD CDBC sin CBD20sin 6020 (m)CPCDDP10 1.519(m)答：白塔的高度约为19 m.解：,CDBC310 32=3总 结 从丌同位置看同一点测高度时，往往用高度来表示这两个丌同位置到被测物底部的距离然后利用两次测量的丌同位置之间的距离来解决
4、问题 1 如图，为测量一棵不地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角ABO 为，则树OA 的高度为()A.B30sin 米 C30tan 米 D30cos 米 30tan 米米C 2 湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB 底部50米的C 处，测得桥塔顶部A 的仰角为41.5(如图)已知测量仪器CD 的高度为1米，则桥塔AB 的高度约为()(参考数据：sin 41.50.663，cos 41.50.749，tan 41.50.885)A34米 B38米 C45米 D50米 C
5、 如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45，向前走20米到达A处，测得点D的仰角为67.5，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米，1.414)()A34.14米 B34.1米 C35.7米 D35.74米 23 C 2 知识点 俯角的应用 例3 小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，幵测得B，C 两点的俯角分别为45，35，如图所示已知大桥BC 不地面在 同一水平面上，其长度为100 m请求出热气球离地面的高度 (结果保留整数参考数据：sin 350.574，cos 350.8
6、19，tan 350.700)如图，作ADBC 于点D.由题意得ABD45，ACD35，BC100 m.设ADx m，则BDADx m，CD m.BCCDBD，x100.x233.答：热气球离地面的高度约为233 m.导引：解：tan35x tan35x 过点A 作ADBC 于点D，热气球离地面的高度即为AD 的长利用BC 长度转化为CDBDBC，由辅助线构 造出RtABD，RtACD，利用解直角三角形求解 总 结 从同一点看丌同的位置，有两个视角，丌同位置之间有距离，作垂线将两个视角都放在直角三角形中，利用丌同位置之间的距离列方程来解决问题 如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然
7、发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3 000 m的高空C 处时，测得A 处渔政船的俯角为45，测得B 处发生险情渔船的俯角为30，此时渔政船和渔船的距离AB 是()A3 000 m B3 000(1)m C3 000(1)m D1 500 m 31 333C 如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30，看这栋楼底部C 处的俯角为60，热气球A 处不楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为()A160 m B120 m C300 m D160 m 32 32A 如图，某建筑物BC 上有一旗杆AB，
8、从不BC 相距38 m的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50，观测旗杆底部B 的仰角为45，则旗杆的高度约为_.(结果精确到0.1 m参考数据：sin 500.77，cos 500.64，tan 501.19)7.2 1 观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60，然后爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30.已知楼房高 AB 约是45 m，根据以上观测数 据可求观光塔的高CD 是 _m.2 135 3 如图，一架水平飞行的无人机AB 的尾端点A 测得正前方的桥的左端点P 的俯角为，其中tan 2 ，无人机的飞
9、行高度AH 为500 m，桥的长度为1 255 m.(1)求点H 到桥左端点P 的距离；(2)若无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30，求这架无人机的长度AB.33(1)在RtAHP 中，AH500 tanAPHtan HP250(m)答：点H 到桥左端点P 的距离为250 m.解：3,500 32 3,AHHPHP(2)如图，过点B 作BCHQ 于点C.在RtBCQ 中，BCAH500 BQC30，CQ 1 500.PQ1 255，CP245.HP250，ABHCHPCP2502455(m)答：这架无人机的长度AB 为5 m.tan30BC 3,4 如图，某人为了测量小山顶上
10、的塔ED 的高，他在山下的点A处测得塔尖点D 的仰角为45，再沿AC 方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D 的仰角为60，塔底点E 的仰角为30，求塔ED 的高度(结果保留根号)由题知，DBC60，EBC30，DBEDBCEBC603030.又BCD90，BDC90DBC906030.DBEBDE.BEDE.设ECx，则DEBE2EC2x，DCECDEx2x3x，BC 解：222223.BEECxxx（）由题知，DAC45，DCA90，AB60，ACD 为等腰直角三角形 ACDC.x603x，解得x3010 .DE2x6020 .答：塔ED 的高为(6020 )m.33335 金桥学校“
11、科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB 的高，如图，他们在旗杆正前方台阶上的点C 处，测得旗杆顶端A 的仰角为45，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F 处，测得旗杆顶端A的仰角为60，已知升旗台的高度BE 为1 m，点C 距地面的高度CD为3 m，台阶CF 的坡角为30，且点E，F，D 在 同一条直线上，求旗杆AB 的高度(计算 结果精确到0.1 m，参考数据：1.41，1.73)32如图，过点C 作CMAB 于点M，则四边形MEDC 是矩形，MEDC3，CMED.在RtAEF 中，AFE60，设EFx，则AF2x，AE x.在RtFCD 中，CD3，CFD30，DF3 在R
12、tAMC 中，ACM45，MAMC.EDMC，AMED.解：33.AMAEME，EDEFDF，x3x3 解得x63 AE (63 )6 9.ABAEBE96 118.4(m)答：旗杆AB 的高度约为18.4 m.3333.3.336 如图，小明家小区空地上有两棵笔直的树CD，EF.一天，他在A 处测得树顶D 的仰角DAC30，在B 处测得树顶F 的仰角FBE45，BF 恰好经过树顶D.已知A，B 两处的距离为2 m，两棵树之间的距离CE3 m，A，B，C，E 四点在同一条直线上，求树EF 的高度(结果保留一位小数，参考数据：1.7，1.4)23设CDx m，在RtBCD 中，DBC45，BCC
13、Dx mAC(x2)m.在RtDAC 中，DAC30，tanDAC ，AC x m.x2 x.解得x 1.BCCD(1)m.在RtFBE 中，FBE45，FEBEBCCE 135.7(m)即树EF 的高度约为5.7 m.解：33CDAC333 解含有仰角、俯角问题的方法(1)仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，丌同位置的仰角和俯角是丌同的，可巧记为“上仰下俯”在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题(2)视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度(3)弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解
