1、4. 1直线的方向向量与平面的法向量一、单选题(本大题共8小题,共40分。)1. 已知一直线经过点A(2,3,2),B(-1,0,5),下列向量中不是该直线的方向向量的为( )A. B. C. D. 2. 已知平面的一个法向量是(2,1,1), / ,则下列向量可作为平面的一个法向量的是( )A. (4, 2,2)B. (2, 0, 4)C. (2,1,5)D. (4,2,2)3. 在平行六面体中,O是和的交点,以,为空间的一个基底,则直线OA的一个方向向量为( )A. B. C. D. 4. 若两个向量,则平面的一个法向量为( )A. B. C. D. 5. 如图,在正方体中,以为原点建立空
2、间直角坐标系,分别在棱,上,且,则下列向量中,能作为平面的法向量的是( )A. B. C. D. 6. 已知平面内有一个点A(2,-1,2),的一个法向量为,则下列点P中,在平面内的是 ( )A. (1,-1,1)B. C. D. 7. 设直线l的方向向量是,平面的法向量是,则“”是“l / ”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,ABBC,用一平面截该三棱锥分别与棱AB,PB,PC,AC相交于点D,E,F,G,如图所示,记向量为平面的一个法向量,下列四个命题中,假命题是()A. 若,则B. 若,则C.
3、 若,则D. 若,则二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)9. 在如图所示的坐标系中,为正方体,则下列结论中正确的是( )A. 直线的一个方向向量为(0,0,1);B. 直线的一个方向向量为(0,1,1);C. 平面的一个法向量为(0,1,0);D. 平面的一个法向量为(1,1,1).10. 已知是直线的方向向量,是平面的一个法向量,若,则A. B. C. D. 11. 在四棱锥中,底面,底面为正方形,给出下列命题,其中正确的命题是( )A. 为平面的法向量B. 为平面的法向量C. 为直线的方向向量D. 直线的方向向量一定是平面的法向量12. 下列命题是真命题的
4、有A. 直线l的方向向量为,直线m的方向向量为,则l与m垂直B. 直线l的方向向量为,平面的法向量为,则C. 平面,的法向量分别为,则/D. 平面经过三点,向量是平面的法向量,则三、填空题(本大题共5小题,共25.0分)13. 平面的一个法向量(0,1,1),如果直线l平面,则直线l的单位方向向量是.14. 在平面ABC中,若,且a为平面ABC的法向量,则,.15. 在空间直角坐标系中,已知三点,若向量与平面垂直,且,则的坐标为16. 已知平面的一个法向量是=(1,-1,2),且点A(0,3,1)在平面上,若P(x,y,z)是平面上任意一点,则向量=,点P的坐标满足的方程是17. 如图,在正三
5、棱锥S-ABC中,点O是ABC的外心,点D是棱BC的中点,则平面ABC的一个法向量可以是,平面SAD的一个法向量可以是四、解答题(本大题共3小题,共36.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)18. (本小题12.0分)正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱A1D1、 A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求:(1)平面BDD1B1的一个法向量;(2)平面BDEF的一个法向量19. (本小题12.0分)如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD / BC,ABC=,SA平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系.(1)求平面ABCD的一个法向量
6、;(2)求平面SAB的一个法向量;(3)求平面SCD的一个法向量.20. (本小题12.0分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD为正方形且PDAD,E,F分别是PC,PB的中点(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量;(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】B9.【答案】ABC10.【答案】BC11.【答案】BCD12.【答案】AD13.【答案】或14.【答案】1 015.【答案】或16.【答案】(x,y-3,z-1)x-y+2z+1=017.【答案】18
7、.【答案】解:设正方体ABCD- A1 B1 C1 D1的棱长为2,则,(1)设平面BDD1B1的一个法向量为,则,即,令,则,平面BDD1B1的一个法向量为;(2),设平面BDEF的一个法向量为,令,得,平面BDEF的一个法向量为.19.【答案】解:以点 A为原点, AD、 AB、 AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系:则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(,0,0),S(0,0,1).(1)SA平面ABCD,=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.(2)ADAB,ADSA,ABSA=A,AB,SA平面SAB,AD平面SAB,=(,0,
8、0)是平面SAB的一个法向量.(3)在平面SCD中,=(,1,0),=(1,1,-1).设平面SCD的法向量是=(x,y,z),则,得方程组令,则,=(2,-1,1).所以=(2,-1,1)是平面SCD的一个法向量.20.【答案】解:(1)取AD的中点M,连接MF,EF.E,F分别是PC,PB的中点,EF / BC且EFBC又BC / AD且BCAD,EF / AD且EFAD则由EF / DM且EFDM知四边形DEFM是平行四边形MF / DE.就是直线DE的一个方向向量(2)PD平面ABCD,PDBC又BCCD,PDCD=D,BC平面PCDDE平面PCD,DEBC又PDCD,E为PC中点,DEPC,又PCBC=C,从而DE平面PBC是平面PBC的一个法向量由(1)可知,就是平面PBC的一个法向量