1、4. 1直线的方向向量与平面的法向量一、单选题（本大题共8小题，共40分。）1. 已知一直线经过点A(2，3，2)，B(-1，0，5)，下列向量中不是该直线的方向向量的为（ ）A. B. C. D. 2. 已知平面的一个法向量是(2，1,1)， / ，则下列向量可作为平面的一个法向量的是( )A. (4, 2，2)B. (2, 0, 4)C. (2，1，5)D. (4，2,2)3. 在平行六面体中，O是和的交点，以,为空间的一个基底，则直线OA的一个方向向量为（ ）A. B. C. D. 4. 若两个向量,则平面的一个法向量为（ ）A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，以为原点建立空
2、间直角坐标系，分别在棱，上，且，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（ ）A. B. C. D. 6. 已知平面内有一个点A(2，-1，2)，的一个法向量为，则下列点P中，在平面内的是 （ ）A. (1，-1，1)B. C. D. 7. 设直线l的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“l / ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，ABBC，用一平面截该三棱锥分别与棱AB，PB，PC，AC相交于点D，E，F，G，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列四个命题中，假命题是（）A. 若，则B. 若，则C.
3、 若，则D. 若，则二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9. 在如图所示的坐标系中,为正方体,则下列结论中正确的是( )A. 直线的一个方向向量为(0,0,1);B. 直线的一个方向向量为(0,1,1);C. 平面的一个法向量为(0,1,0);D. 平面的一个法向量为(1,1,1).10. 已知是直线的方向向量，是平面的一个法向量，若，则A. B. C. D. 11. 在四棱锥中，底面，底面为正方形，给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A. 为平面的法向量B. 为平面的法向量C. 为直线的方向向量D. 直线的方向向量一定是平面的法向量12. 下列命题是真命题的
4、有A. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直B. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，则C. 平面，的法向量分别为，则/D. 平面经过三点，向量是平面的法向量，则三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）13. 平面的一个法向量(0,1，1)，如果直线l平面，则直线l的单位方向向量是.14. 在平面ABC中，若，且a为平面ABC的法向量，则，.15. 在空间直角坐标系中，已知三点，若向量与平面垂直，且，则的坐标为16. 已知平面的一个法向量是=（1，-1，2），且点A（0，3，1）在平面上，若P（x，y，z）是平面上任意一点，则向量=，点P的坐标满足的方程是17. 如图，在正三
5、棱锥S-ABC中，点O是ABC的外心，点D是棱BC的中点，则平面ABC的一个法向量可以是，平面SAD的一个法向量可以是四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18. (本小题12.0分)正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、 A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：（1）平面BDD1B1的一个法向量；（2）平面BDEF的一个法向量19. (本小题12.0分)如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD / BC，ABC=，SA平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系.（1）求平面ABCD的一个法向量
6、；（2）求平面SAB的一个法向量；（3）求平面SCD的一个法向量.20. (本小题12.0分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为正方形且PDAD，E，F分别是PC，PB的中点(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】B9.【答案】ABC10.【答案】BC11.【答案】BCD12.【答案】AD13.【答案】或14.【答案】1 015.【答案】或16.【答案】（x，y-3，z-1）x-y+2z+1=017.【答案】18
7、.【答案】解：设正方体ABCD- A1 B1 C1 D1的棱长为2，则，（1）设平面BDD1B1的一个法向量为，则，即，令，则，平面BDD1B1的一个法向量为；（2），设平面BDEF的一个法向量为，令，得，平面BDEF的一个法向量为.19.【答案】解：以点 A为原点， AD、 AB、 AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(，0，0)，S(0，0，1).（1）SA平面ABCD，=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量.（2）ADAB，ADSA，ABSA=A，AB，SA平面SAB，AD平面SAB，=(，0，
8、0)是平面SAB的一个法向量.（3）在平面SCD中，=(，1，0)，=(1，1，-1).设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，则，得方程组令，则，=(2，-1，1).所以=(2，-1，1)是平面SCD的一个法向量.20.【答案】解：(1)取AD的中点M，连接MF，EF.E，F分别是PC，PB的中点，EF / BC且EFBC又BC / AD且BCAD，EF / AD且EFAD则由EF / DM且EFDM知四边形DEFM是平行四边形MF / DE.就是直线DE的一个方向向量(2)PD平面ABCD，PDBC又BCCD，PDCD=D,BC平面PCDDE平面PCD，DEBC又PDCD，E为PC中点，DEPC，又PCBC=C，从而DE平面PBC是平面PBC的一个法向量由(1)可知，就是平面PBC的一个法向量