1、2.3.2抛物线的综合应用一、单选题(本大题共6小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1. 已知直线与抛物线交于两点、,且两交点纵坐标之积为,则直线恒过定点( ).A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AKl,垂足为K,则AKF的面积是( )A. 4B. C. D. 83. 过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为60的直线l交抛物线于A,B两点,且|AF|BF|,则的值为()A. 3B. 2C. D. 4. 在直角坐标系xOy中,动点A在抛物线y2x上,点P满足,则点P的轨迹方程是( )
2、A. y2xB. y22xC. y24xD. y28x5. 设 F为抛物线的焦点, A, B, C为该抛物线上三点, A, B, C三点坐标分别为.若,则( )A. 9B. 6C. 4D. 36. 已知点O为坐标原点,点为抛物线C:y22px的焦点,动直线x-my-n0与抛物线C交于A,B两点,若OAOB,则( )A. m6B. n6C. mn6D. n6m二、多选题(本大题共3小题,共15.0分。在每小题有多项符合题目要求)7. 已知A,B为平面内两不同定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N.若2,其中为常数,则动点M的轨迹可能是( )A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线8.
3、 已知点A,B的坐标分别是,直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率分别为,下列命题是真命题的有( )A. 若,则M的轨迹是椭圆(除去两个点)B. 若,则M的轨迹是抛物线(除去两个点)C. 若,则M的轨迹是双曲线(除去两个点)D. 若,则M的轨迹是一条直线(除去一点)9. 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点,则( )A. 以线段AB为直径的圆与直线相离B. 以线段BM为直径的圆与y轴相切C. 当时,D. 的最小值为4三、填空题(本大题共6小题,共30.0分)10. 已知顶点在坐标原点,对称轴为轴的抛物线过点,则该抛物线的标准方程为;设F为该抛物线的焦点,A、B、C为该
4、抛物线上三点,若,则=11. 已知抛物线的方程是,直线l交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,若,则直线AB必过定点.12. 过抛物线=4x的焦点作两条互相垂直的弦AB,CD,则13. 已知点是抛物线的焦点,点是抛物线上的点,若平面上存在一点,满足,则点的轨迹方程是.14. 已知双曲线的实轴长为,虚轴的一个端点与抛物线的焦点重合,直线与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行,则p等于,双曲线方程为15. 已知抛物线的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点,抛物线的准线与y轴交于点M,当最大时,弦AB长度是 .四、解答题(本大题共3小题,共36.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)1
5、6. (本小题12.0分)已知抛物线C:y2=2px(p0)过点P(1,-2)()求抛物线C的方程,并求其准线方程;()过焦点F且斜率为2的直线l与抛物线交于A,B两点,求弦长|AB|.17. (本小题12.0分)如图,已知椭圆C1:+y2=1,抛物线C2:y2=2px(p0),点A是椭圆C1与抛物线C2的交点过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物线C2于点M(B,M不同于A)(1)若p=,求抛物线C2的焦点坐标;(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值18. (本小题12.0分)在平面直角坐标系xOy中,已知M(2,-1),N(0,1),动点P满足(1)求动点P的轨迹E
6、的方程;(2)过点N且不平行于x轴的直线l与轨迹E交于A,B两点,记直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,求的值1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】B7.【答案】ABD8.【答案】BCD9.【答案】ACD10.【答案】y2=8x1211.【答案】(0,2)12.【答案】13.【答案】14.【答案】415.【答案】816.【答案】解:()根据抛物线C:y2=2px(p0)过点P(1,-2),可得4=2p,解得p=2从而抛物线C的方程为y2=4x,准线方程为x=-1;()抛物线焦点坐标为F(1,0),直线l:y=2x-2设点A(x1,y1),B(x2,
7、y2),联立,得:4x2-12x+4=0,即x2-3x+1=0,则由韦达定理有:x1+x2=3,x1x2=1则弦长|AB|=17.【答案】解:(1)当p=,则=,则抛物线C2的焦点坐标(,0),(2)当直线l与x轴垂直时,此时点M与点A或点B重合, 不满足题意,由题意可设直线:,点,将直线的方程代入椭圆:得,M为线段AB的中点,点的纵坐标,将直线的方程代入抛物线:得,可得,因此,由,可得,即,得,当且仅当,时,等号成立,的最大值为.18.【答案】解:(1)设P(x,y),则,由,可得:化简得:,即动点P的轨迹E方程为,(2)由题意知直线斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1(),A(x1,y1),B(x2,y2),由得,,=,的值为-2.