1、2022-2023学年广东省珠海市高三（上）第二次联考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。）1. 已知集合A=xN|x2+x-60的解集为()A. (2,+)B. (0,12)C. (12,1)(2,+)D. (0,12)(2,+)7. 若不等式x2-lnx+ax0恰有两个整数解，则实数a的取值范围为()A. (ln33-3,ln22-2)B. (ln33-3,ln22-2C. ln33-3,ln22-2)D. ln33-3,ln22-28. 将函数y=sin2x的图象向右平移(0b0，则下列不等式恒成立的是()A. 1abc2C. 2a2cD. lga2lg(ab)10. 在A
2、BC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是()A. 若AB，则|cosB|cosA|B. 若a2+b2c2，则ABC为锐角三角形C. 等式c=acosB+bcosA恒成立D. 若A：B：C=1：1：4，则a：b：c=1：1：311. 如图，点M是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中的侧面ADD1A1上的一个动点(包含边界)，则下列结论正确的是()A. 存在无数个点M满足CMAD1B. 当点M在棱DD1上运动时，|MA|+|MB1|的最小值为3+1C. 在线段AD1上存在点M，使异面直线B1M与CD所成的角是30D. 满足|MD|=2|MD1|的点M的轨迹是一段圆弧1
3、2. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数纯音的数学模型是函数y=Asint，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+12sin2x，则下列结论正确的是()A. f(x)的图象关于直线x=对称B. f(x)在-4,4上是增函数C. f(x)的最大值为334D. 若f(x1)f(x2)=-2716，则|x1-x2|min=23三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=ex,x2log2(x2-1),x2，其中e是自然对数的底数，则ff(5)=_14. 三角形ABC中，|AB|=2，|AC|=22，BAC=45，
4、P为线段AC上任意一点，则PBPC的取值范围是_15. 已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且满足f(3-x)=f(x)，f(-1)=3，数列an满足a1=1，且an=n(an+1-an)(nN*)，则f(a2022)+f(a2023)=_16. 正四面体ABCD的棱长为1，棱AB/平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是_四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题10.0分)已知Sn是等差数列an的前n项和，且S9=-a5(1)若a3=4，求数列an的通项公式；(2)若a10，求当Sn取得最大值时n的值18.
5、 (本小题12.0分)已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x+1(1)若f()=3，且(0,)，求的值；(2)若对任意的x12,2，不等式f(x)m-3恒成立，求实数m的最小值19. (本小题12.0分)习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某水果树的单株产量U(单位：千克)与施用发酵有机肥费用30x(单位：元)满足如下关系：U(x)=x2+3,0x210x1+x,20，nN*(1)若2a2，a3，a2+2成等差数列，求an的通项公式；(2)设数列bn满足bn=1+an2，且b2=53，数列bn的前
6、n项和为Tn，证明：Tn4n-3n3n-1(nN*)21. (本小题12.0分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD/BC，ADC=PAB=90，BC=CD=12AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90()在平面PAB内找一点M，使得直线CM/平面PBE，并说明理由；()若二面角P-CD-A的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值22. (本小题12.0分)已知函数f(x)=aex-x-2，和g(x)=x-lna(x+2)+2(1)若f(x)与g(x)有相同的最小值，求a的值；(2)设F(x)=f(x)+g(x)+2lna-2有两个零点，求a的取值范围答案和解析1.【答
7、案】D【解析】解：A=xN|x2+x-60=xN|-3x0，解得-5x0等价为f(|log2x|)f(1)，可得|log2x|1，即为log2x1或log2x2或0xf(1)，再由函数的单调性和对数不等式的解法，可得所求解集本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于基础题7.【答案】B【解析】解：由题意，alnxx-x(x0)恰有两个整数解，设f(x)=lnxx-x(x0)，则f(x)=1-lnxx2-1=1-lnx-x2x2，令g(x)=1-lnx-x2(x0)，则g(x)=-1x-2x0，f(x)0，函数f(x)单增；当x(1,+)时，g(x)0，f(x)f
8、(3)=ln33-3，要使alnxx-x(x0)恰有两个整数解，则需f(3)af(2)，即ln33-30)恰有两个整数解，设f(x)=lnxx-x(x0)，运用导数可知当x(0,1)时，函数f(x)单增；当x(1,+)时，函数f(x)单减，进而利用图象得出实数a的取值范围本题考查利用导数研究函数，考查数形结合思想及转化思想，属于中档题目8.【答案】B【解析】解：将函数y=sin2x的图象向右平移(02)个单位长度得到f(x)的图象，即f(x)=sin2(x-)=(2x-2)，函数f(x)在区间0,3上单调递增，-22x-223-2，02，-2-223-22，得412，即124，由2x-2=k得
9、，x=+k2，即函数的零点坐标为(+k2,0)，由-512+k2-6，得-512-k2-6-k2，02，当k=-1时，123，综上可得12b0，故b-a0，则b-aab0，即1ab0，故a2ab0，y=lgx为(0,+)上的单调增函数，故lga2lgab，D正确故选：AD根据不等式性质，结合指数函数和对数函数的单调性，即可判断和选择本题主要考查了不等式的性质，属于基础题10.【答案】ACD【解析】解：ABabsinAsinBsin2Asin2Bcos2A|cosA，A正确；a2+b2c2，则C为锐角，但无法判断A，B是否为锐角，ABC不一定为锐角三角形，B错误；因为acosB+bcosA=2R
10、(sinAcosB+sinBcosA)=2Rsin(A+B)=2RsinC=c，C正确；A：B：C=1：1：4，则A=B=6，C=23，由正弦定理得a：b：c=sinA：sinB：sinC=12：12：32=1：1：3，D正确故选：ACD由三角形大边对大角及正弦定理，同角平方关系检验选项A；结合余弦定理检验选项B；结合和差角公式及正弦定理检验选项C；先求出A，B，C，然后结合正弦定理检验选项D本题主要考查了三角形大边对大角，正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题11.【答案】AD【解析】【分析】本题以命题真假判断为载体，考查了异面直线成角问题，属于中档题A根据直线垂直于
11、平面，则垂直于该平面上的所有直线判断；B作平面展开图，两点间连线以直线段最短判断；C用正切函数判断；D求点M轨迹方程判断【解答】解：对于A，当M点在A1D时，因为AD1平面A1DCB1，且CM平面A1DCB1，所以存在无数个点M满足CMAD1，所以A对；对于B，作平面展开图如图，|MA|+|MB1|的最小值为B1A=12+(1+2)23+1，所以B错；对于C，因为CD/AB，AB/A1B1，所以CD/A1B1，于是异面直线B1M与CD所成的角为A1B1M，tanA1B1M=A1MA1B1221=2233，所以A1B1M30，所以C错；对于D，建立如图所示的平面直角坐标系，D1(1,0)，设M(
12、x,y)，因为|MD|=2|MD1|，所以x2+y2=2(x-1)2+y2，整理得3x2+3y2-8x+4=0，所以点M的轨迹是一段圆弧，所以D对故选：AD12.【答案】BCD【解析】解：对于A，因为f(2-x)=sin(2-x)+12sin2(2-x)=-sinx-12sin2x=-f(x)，所以f(x)的图象不关于直线x=对称，故A错误；对于B，f(x)=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-1=(2cosx-1)(cosx+1)，当x-4,4时，cosx22，则f(x)0，所以f(x)在-4,4上是增函数，故B正确；对于C，因为y=sinx的周期为2，y=12sin2x的周期为，
13、所以f(x)=sinx+12sin2x的周期为2，不妨取一个周期0,2上求其最值，令f(x)=0得cosx=12或cosx=-1，当x(0,3)或x(53,2)时，12cosx0，所以f(x)在(0,3)和(53,2)上单调递增，当x(3,53)时，-1cosxf(0)=f(2)f(53)，所以f(x)max=f(3)=334，f(x)min=f(53)=-334，所以C正确；对于D，若f(x1)f(x2)=-2716，不妨取f(x1)=334，f(x2)=-334，因为f(3+2m)=334，f(53+2n)=-334，m，nZ，所以|x1-x2|min=23，故D正确故选：BCD对于A，通
14、过计算f(2-x)与f(x)的关系进行判断，对于B，利用导数判断，对于C，利用导数求其最值，对于D，由题意可知f(x1)，f(x2)分别为函数的最大值和最小值，再根据函数的周期性可求得结果本题考查三角函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题13.【答案】e2【解析】解：f(x)=ex,x2log2(x2-1),x2，f(5)=log24=2，又f(2)=e2，故ff(5)=e2故答案为：e2根据对数运算和指数运算，结合分段函数解析式，即可求解本题主要考查函数值的求解，属于基础题14.【答案】-12,4【解析】解：设PC=AC，0,1，则PA=(-1)AC，PBPC=(PA+AB)AC=(-1
15、)AC2+ABAC=8(-1)+222cos45=82-4=8(-14)2-120,1，当=14时，PBPC取得最小值，为-12；当=1时，PBPC取得最大值，为4PBPC的取值范围为-12,4故答案为：-12,4设PC=AC，0,1，则PA=(-1)AC，根据平面向量的混合运算法则可推出PBPC=8(-14)2-12，再结合二次函数的图象与性质即可得解本题考查平面向量在几何中应用，熟练掌握平面向量的混合运算法则是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题15.【答案】-3【解析】解：对数列an，由an=n(an+1-an)，可得an+1an=n+1n，则an=anan-1an-
16、1an-2a2a1a1=nn-1n-1n-2211=n，则a2022=2022，a2023=2023，因为f(x)为R上的奇函数，故f(x)=f(3-x)=-f(x-3)，又f(x-3)=-f(x-6)，故f(x)=f(x-6)，则f(x)是以6为周期的函数，又f(0)=0，f(1)=-f(-1)=-3，故f(a2022)+f(a2023)=f(2022)+f(2023)=f(0)+f(1)=0-3=-3故答案为：-3利用累乘法求得an，根据已知条件求得f(x)的周期，结合已知函数值，即可求得结果本题主要考查了数列的递推式，考查了函数的奇偶性和周期性，属于中档题16.【答案】24,12【解析】
17、【分析】本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，注意解题过程中的投影图的变化情况，是一个中档题首先想象一下，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果【解答】解：因为正四面体的对角线互相垂直，且棱AB/平面，当CD/平面，这时的投影面是对角线为1的正方形，此时面积最大，是212112=12当CD平面时，射影面的面积最小，此时构成的三角形底边是1，高是直线CD到AB的距离，为22，射影面的面积是24，故答案为：24,1217.【答案】解：(1)设等差数列an的首项为a
18、1，公差为d，根据题意有9a1+982d=-(a1+4d)a1+2d=4，解得a1=8d=-2，则an=8+(n-1)(-2)=-2n+10，故等差数列an的通项公式为an=-2n+10；(2)由S9=-a5，得9(a1+a9)2=-a5，即9a5=-a5，从而a5=0，即a1+4d=0，从而a1=-4d，则an=a1+(n-1)d=(n-5)d，因为a10，所以d0，由an0an+10得(n-5)d0(n-4)d0，解得4n5，又nN*，则n=4或n=5，所以当Sn取得最大值时n的值为4或5【解析】(1)利用等差数列前n项和以及通项公式的基本量，转化已知条件求得首项和公差，则问题得解；(2)
19、根据题意找到a1，d的关系，结合an0an+10即可求得满足题意的n本题主要考查等差数列的前n项和公式，考查转化能力，属于基础题18.【答案】解：(1)f(x)=23sinxcosx+2cos2x+1=3sin2x+cos2x+2=2sin(2x+6)+2，f()=3，2sin(2+6)+2=3，即sin(2+6)=12，又(0,)，2+6(6,136)，2+6=56，解得=3；(2)由(1)得f(x)=2sin(2x+6)+2，对任意的x12,2，不等式f(x)m-3恒成立，转化为f(x)maxm-3，x12,2，即2x+63,76，sin(2x+6)-12,1，从而1f(x)4，4m-3，
20、解得m7，故实数m的最小值为7【解析】(1)利用二倍角公式和两角和差的三角函数可得f(x)=2sin(2x+6)+2，结合题意可得sin(2+6)=12，求解即可得出答案；(2)由(1)得f(x)=2sin(2x+6)+2，题意转化为f(x)maxm-3，利用正弦函数的性质，即可得出答案本题考查正弦函数的性质和函数恒成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题19.【答案】解：(1)由题意可得，f(x)=75U(x)-30x-100，则f(x)=75x2-30x+125,0x2750x1+x-30x-100,2x5，化简得f(x)=75x2-30x+125,0x2650-75
21、01+x-30x,2x5(2)当0x2时，f(x)=75x2-30x+125，f(x)的对称轴为x=15，开口向上的抛物线，所以f(x)max=f(2)=365，当2x5时，f(x)=680-30(251+x+1+x)680-6025=380，当且仅当251+x=1+x，即x=4时，等号成立，综上所述，故当投入的肥料费用为304=120元时，单株水果树获得的利润最大，最大利润为380元【解析】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式和二次函数的性质是解本题的关键，属于中档题(1)根据已知条件，结合利润=收入-成本公式，即可求解(2)根据二次函数的性质和基本不等式的公式，分别求出0x2，20，
22、解得q=2,q=-12(舍去)，所以an=2n-1(nN*)证明：(2)由题意可知bn=1+an2=1+q2(n-1)，由b2=53可得1+q2=53，解得q=43,q=-43(舍去)，又1+(43)2(n-1)=1+(43)n-12(43)n-12，则1+(43)2(n-1)(43)n-1，即bn(43)n-1(nN*)，则b1+b2+bn1+43+(43)n-1=1-(43)n1-43，即Tn4n-3n3n-1(nN*)【解析】(1)首先利用Sn+1=qSn+1，得到an+2=qan+1(n1)，再结合2a2，a3，a2+2成等差数列，得出公比，从而求解(2)首先求出bn，再利用放缩法求解
23、不等式即可本题主要考查了等比数列的通项公式，考查了放缩法求解不等式，属于中档题21.【答案】解：()延长AB交直线CD于点M，点E为AD的中点，AE=ED=12AD，BC=CD=12AD，ED=BC，AD/BC，即ED/BC，四边形BCDE为平行四边形，即EB/CDABCD=M，MCD，CM/BE，BE平面PBE，CM平面PBE，CM/平面PBE，MAB，AB平面PAB，M平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M(M=ABCD)，使得直线CM/平面PBE()如图所示，ADC=PAB=90，即PAAB，且异面直线PA与CD所成的角为90，即PACD，又ABCD=M，AB，CD平面ABCD，AP
24、平面ABCDAD平面ABCD，PAAD，又ADCD，PACD，ADPA=A，AD，PA平面PAD，CD平面PAD，PD平面PAD，CDPD因此PDA是二面角P-CD-A的平面角，大小为45PA=AD不妨设AD=2，则BC=CD=12AD=1以A为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，P(0,0,2)，E(0,1,0)，C(-1,2,0)，EC=(-1,1,0)，PE=(0,1,-2)，AP=(0,0,2)，设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，则nPE=0nEC=0，可得：y-2z=0-x+y=0令y=2，则x=2，z=1，n=(2,2,1
25、)设直线PA与平面PCE所成角为，则sin=|cos|=|APn|AP|n|=292=13【解析】本题考查了线面平行的判定定理，以及利用空间向量求线面的夹角，同时考查了二面角，线面垂直的判定定理和性质定理，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题()延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=12AD，由BC=CD=12AD，可得ED=BC，已知ED/BC，可得四边形BCDE为平行四边形，即EB/CD.利用线面平行的判定定理证明直线CM/平面PBE即可()由ADC=PAB=90，异面直线PA与CD所成的角为90，以及ABCD=M，可得AP平面ABCD.利用线面垂直的
26、判定定理和性质定理可得CDPD，PAAD.因此PDA是二面角P-CD-A的平面角，大小为45，所以PA=AD，不妨设AD=2，则BC=CD=12AD=1.建立空间直角坐标系，可得P(0,0,2)，E(0,1,0)，C(-1,2,0)，利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出22.【答案】解：1)f(x)=aex-x-2，g(x)=x-lna(x+2)+2，定义域为x|x-2，则f(x)=aex-1=0，g(x)=1-1x+2=x+1x+2，当a0时，f(x)0，由f(x)=0得ex=1a，由f(x)0得x-lna，由f(x)0得x-lna，f(x)在(-lna,+)上单调递增，在
27、(-,-lna)上单调递减，当x=-lna时，f(x)取得极小值也是最小值，f(x)min=f(-lna)=lna-1；由g(x)=0得x=-1，当-2x-1时，g(x)-1时，g(x)0，g(x)在(-2,-1)上单调递减，在(-1,+)上单调递增，当x=-1时，g(x)取得极小值也是最小值，g(x)min=g(-1)=1-lna，f(x)与g(x)有相同的最小值，lna-1=1-lna，解得a=e，故a=e；(2)f(x)=aex-x-2，g(x)=x-lna(x+2)+2，F(x)=aex-ln(x+2)+lna-2(x-2,a0)，F(x)=f(x)+g(x)+2lna-2有两个零点，
28、aex-ln(x+2)+lna-2=0在(-2,+)上有两个根，即ex+lna+x+lna=ln(x+2)+x+2=eln(x+2)+ln(x+2)，令h(x)=ex+x，则h(x)=ex+10，h(x)在(-2,+)上单调递增，又h(x+lna)=h(ln(x+2)，x+lna=ln(x+2)，则题意转化为lna=ln(x+2)-x在(-2,+)上有两个根，令m(x)=ln(x+2)-x，则m(x)=1x+2-1=-x+1x+2，当m(x)0得-2x-1，当m(x)-1，m(x)在(-2,-1)上单调递增，在(-1,+)上单调递减，m(x)m(-1)=1，lna1，解得0ae，故实数a的取值
29、范围为(0,e)【解析】(1)分别求出f(x)，g(x)，利用导数讨论出函数的单调性，求出f(x)min=f(-lna)=lna-1，g(x)min=g(-1)=1-lna，根据题意即可得出答案；(2)题意转化为aex-ln(x+2)+lna-2=0在(-2,+)上有两个根，即ex+lna+x+lna=ln(x+2)+x+2=eln(x+2)+ln(x+2)，构造函数h(x)=ex+x，利用单调性得出x+lna=ln(x+2)，则lna=ln(x+2)-x在(-2,+)上有两个根，构造函数m(x)=ln(x+2)-x，利用导数得出单调性和最值，即可得出答案本题考查利用导数研究函数的最值和函数的零点与方程的根的关系，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题
