1、6.4平面向量的应用【知识点梳理】知识点一：向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义。（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）。（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）。（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式。（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题。
2、知识点诠释：用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了。知识点二：向量在解析几何中的应用在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决。常见解析几何问题及应对方法：（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质。（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零
3、的等式，最终转换出关于点的坐标的方程。（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件。（4）夹角问题：利用公式。知识点三：向量在物理中的应用（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象。（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：力、速度、位移都是向量；力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；动量mv是数乘向量；功即是力F与所产生位移s的数量积。（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三
4、是把结果还原为物理结论。知识点四、余弦定理三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：余弦定理的变形公式：知识点五、利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； 已知三角形的三条边，求其三个角。知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.知识点六、正弦定理正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：知识点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明（为的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。 （4）利用正弦定理可以解
5、决下列两类三角形的问题：已知两个角及任意边，求其他两边和另一角；已知两边和其中边的对角，求其他两个角及另一边。知识点七、解三角形的概念一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角.在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角.知识点八、正弦定理在解三角形中的应用利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边
6、，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；知识点九：利用正、余弦定理解三角形已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论.在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类：若A为锐角时： 一解 一解 两解 无解 若A为直角或钝角时：知识点十：三角形的形状的判定特殊三角形的判定：（1）直角三角形 勾股定理：，互余关系：，；（2）等腰三角形，；用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）（1）在中，；（2）在中，；（3）在中，；知识点十一、解三角形
7、应用题的步骤解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.知识点十二、解三角形应用题的基本思路实际问题 画图 数学问题 解三角形 数
8、学问题的解 检验 实际问题的解【典型例题】类型一：向量在平面几何中的应用例1（2021全国高一课时练习）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直已知四边形是菱形，是其对角线求证：【详解】证明：设， 因为四边形为菱形，所以，又则，故所以.例2（2021全国高一课时练习）如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.【详解】设，则.由，可设，又，可设，综上，有，即，由于与不共线，则，解得，.同理，. .例3（2021全国高一课时练习）在平面直角坐标系中，已知A(3，4)，B(5，12)，O为坐标原点，的平分
9、线交线段AB于点D，求点D的坐标【详解】由题设，若，则，的平分线交线段AB于点D，且，即，解得.类型二：向量在解析几何中的应用例4（2019全国高一单元测试）已知在ABC中，.对于ABC所在平面内的任意一点O，动点P满足 ，0，+).试问动点P的轨迹是否过某一个定点?并说明理由.【解析】是.理由:如图，以为邻边作ABDC，设对角线AD，BC交于点E，则.由，得，.故共线.由可知动点P的轨迹是射线AE，故动点P的轨迹必过ABC的重心.例5（2021全国高一课时练习）已知点.求：（1）的值；（2）的大小；（3）点到直线的距离.【详解】解：（1）因为，所以，所以；（2），因为，所以；（3）因为，所以
10、，因为，所以在方向上的投影为，所以点到直线的距离为.例6（2019山西洪洞县第一中学校高三期中（理）在三角形ABC中，是线段上一点，且，为线段上一点（1）设，设，求；.（2）求的取值范围；（3）若为线段的中点，直线与相交于点，求【详解】（1）而，（2）在三角形中，不妨设，式，（3）为线段的中点不妨设，、M、D三点共线即类型三：向量在物理学的应用例7（2021全国高一课时练习）两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中、分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：（1），分别对该质点做的功；（2），的合力对该质点做的功.【详解】（1）根据题意，故对该质点
11、做的功（）；对该质点做的功（）.（2）根据题意，的合力，故，的合力对该质点做的功（）.例8（2021全国高一课时练习）如图所示，一个物体受到同一平面内三个力，的作用，沿北偏东的方向移动了，其中，方向为北偏东 ；，方向为北偏东；，方向为北偏西，求合力所做的功.【详解】如图建立平面直角坐标系，由题意可得，位移，所以，所以合力所做的功为，例9（2021全国高一课时练习）如图，重为的匀质球，半径为，放在墙与均匀的木板之间，端固定在墙上，端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小.【详解】设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，由已知得，由处于平衡状态，以为杠杆
12、支点，有.又，所以绳的拉力为.类型四：余弦定理的应用：例10（2022海南华侨中学高二期末）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，（1）求角A；（2）如果，求ABC的面积.【详解】解：（1）因为由正弦定理得，即，所以，所以.（2）又，所以，所以.例11（2022广东罗湖高三期末）设的内角、的对边分别为、，且（1）求角的大小；（2）若边上的高为，求【解析】（1）解：由余弦定理，得， 所以， 所以， 又因为，所以，则，因此，.（2）解：因为的面积，则， 由余弦定理，得，所以， 所以，.例12（2021四川乐山市教育科学研究所一模（理）已知的内角，所对的边分别为，且满足.（1）求角的大
13、小；（2）若，求的周长.【解析】（1）因为，所以，由余弦定理可得：，又因为，所以.（2）由已知所以，由已知及余弦定理得，即，所以，解得：或（舍），所以的周长为.类型五：正弦定理的应用：例13（2022新疆一模（理）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，且.（1）求；（2）若ABC的面积为，求边长a.【解析】（1）由，得即，由正弦定理，可得，即.（2），又，即边长.例14（2022云南昆明一模（理）已知的内角，的对边分别为，且满足；（1）从中选取两个作为条件，证明另外一个成立；（2）若为线段上一点，且，求的面积【解析】（1）“由”证明：因为，由正弦定理：，所以，；因为，所以，
14、由余弦定理得：“由”因为，由余弦定理得，因为，由正弦定理：，所以，所以，“由”因为，由余弦定理得，又，所以，所以三角形为等腰直角三角形，故, （2）由已知设，则，因为，所以，所以，根据正弦定理得：，则， .例15（2021贵州金沙高二期中）已知的内角，所对的边分别为，（1）若，求外接圆的半径；（2）若的周长为16，求【解析】（1）因为，所以，因为，所以，所以外接圆的半径为；（2）因为的周长为16，所以，因为，所以，因为，所以，解得类型六：利用正余弦定理判断三角形的形状例16（2021山东济南市章丘区第四中学高三期中）已知的内角，的对边分别为，且.（1）判断三角形的形状；（2）记线段上靠近点的三
15、等分点为，若，求.【解析】（1），由正弦定理得，整理得.由，可得，即三角形为等腰三角形.（2）设，则，由余弦定理得：，而，解得，.例17（2021山东师范大学附中高三期中）已知在中，内角，所对的边分别为，在条件；中任选一个，做出解答.（1）求角的大小；（2）若，试判断的形状.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】（1）选，则，；选，由正弦定理得：，；选由，根据正弦定理，有，即有，则有，又，所以，.（2）法一：因为，所以，所以，即，因为，所以，或，则，或，所以时，；时，；所以为直角三角形.法二：因为，所以，因为，所以，即，所以或，当时，解得；当时，；所以为直角三角形.类型七：正
16、余弦定理举例应用例18（2022河北保定高三期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得.在点测得塔顶的仰角为.（1）求与两点间的距离（结果精确到）；（2）求塔高（结果精确到）.【解析】（1）在中，由正弦定理得，则.（2）由正弦定理得，则.故塔高.例19（2021上海浦东新一模）某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，、为直线岸线，米，米，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知.（1）求岸线上点与点之间的直线距离；（2）如果线段上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段上的网箱每米可获得30元的经济收益.记，则这两段网箱获得的
17、经济总收益最高为多少？（精确到元）【解析】（1），岸线上点与点之间的直线距离为米.（2）中，（），设两段网箱获得的经济总收益为元，则 ，当，即时， （元）所以两段网箱获得的经济总收益最高约为55076元.例20（2021陕西西安一中高二期中）如图，在四边形中，已知，求【详解】过点作于，在Rt中，.在中，.又.在中，.类型八：解三角形范围与最值问题例21（2020陕西西安中学高三期末（理）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求角；（2）若，求的最小值【解析】（1）中，由正弦定理知， ，又 , ；（2）由（1）及得，所以,当且仅当时取等号，所以的最小值为.例22（2022广东番禺
18、高二期末）已知在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，求的面积S的最大值.【解析】（1）由正弦定理知：，又，则，故.（2）由，又，则，当且仅当时等号成立，的面积S的最大值为.例23（2021西藏昌都市第三高级中学高二期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求A；（2）若，求周长的最大值（1），由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，又，；（2），即，即，当且仅当时，等号成立.周长的最大值为.【同步练习】一、单选题1（2022北京石景山高三期末）在中，若，则（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式可得，进
19、而可得结果.【详解】因为，由正弦定理可得，由于，即，所以，得，故选：C.2（2022云南高二期末）初等数学的应用性发展，其突出的一点就是三角术的发展.三角术是人们为了建立定量的天文学，以便用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的.对于一切，三个内角，所对的边分别是a，b，c，始终满足：（其中，是外接圆的半径）.若的边长，外接圆半径，则等于（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】由正弦定理建立方程求解即可.【详解】解：由已知得，即，解得，故选：C.3（2022广西河池高二期末（理）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状为（ ）A等边三角形B直角三角
20、形C等腰三角形D等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】根据降幂公式，先得到，化简整理，再由正弦定理，得到，推出，进而可得出结果.【详解】由已知可得，即由正弦定理得：在中，从而有，即在中，所以由此得，故为直角三角形.故选：B.4（2022广西河池高二期末（理）在中，若，则等于（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】结合正弦定理以及二倍角公式化简整理即可求出结果.【详解】因为，结合正弦定理知，而，所以，即，由于，即，故，因此，故选：C.5（2022广西河池高二期末（理）已知三角形的边长分别为2，3，4，则它的最大内角的余弦值是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据三角形大边对大角可得边长为
21、4所对的角最大，结合余弦定理计算即可.【详解】设三角形三边分别为2、3、4，则最大，所以.故选：B6（2021广东深圳市龙岗区德琳学校高一期中）在中，角A，B，C对应的边分别为abc，若，则B等于（ ）ABC或D3【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理可求答案.【详解】由正弦定理可知，；因为，所以；因为，所以或（舍）.故选：A.7（2021天津一中高一期末）的内角的对边分别为则下列说法正确的个数是（ ）若，则若，则有两解若为钝角三角形，则若，则面积的最大值为A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理结合大边对大角定理可判断A选项的正误；利用正弦定理可判断B选项的正误；利用余
22、弦定理可判断C选项的正误；利用基本不等式余弦定理结合三角形的面积公式可判断D选项的正误【详解】对于选项，若，则，由正弦定理可得，所以，选项正确；对于B选项，则，所以，有两解，B选项正确；对于C选项，若为钝角三角形且为钝角，则，可得选项错误；对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得，即，当且仅当时，等号成立，所以，D选项正确故选：C8（2021贵州黔西高二期中（理）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）A有最小值，且最小值为B有最小值，且最小值为C有最大值，且最大值为D有最大值，且最大值为【答案】A【解析】【分析】由，得，然后结合余弦定理可求出的范围，再利用余弦的二倍角公式可求出
23、的范围【详解】因为，所以，则，从而，当且仅当时，等号成立，故有最小值，且最小值.故选：A二、多选题9（2021全国高一课时练习）设点M是所在平面内一点，下列说法正确的是（ ）A若，则的形状为等边三角形B若，则点M是边BC的中点C过M任作一条直线，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是的垂心D若，则点M在边BC的延长线上【答案】AB【解析】【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，以及数量积运算，一一判断即可.【详解】对于选线A，如图作的中点，连接，由，得，即，结合三角形性质易知，同理，故的形状为等边三角形，故A正确；对于选项B，由，得，即，因此点M是边BC的
24、中点，故B正确；对于选项C，如图当过点时， 由，得，则直线经过的中点，同理直线经过的中点，直线经过的中点，因此点M是的重心，故C错误；对于选项D，由，得，即，因此点M在边的延长线上，故D错.故选：AB.10（2021浙江高一期中）在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）A这艘船航行速度的大小为B这艘船航行速度的大小为C这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为D这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为【答案】BD【解析】【分析】根据题意作出图示，结合向量的平行四边形法则计算出船的速度以及船的航行方向和水流方向的夹角.【
25、详解】设船的实际航行速度为，水流速度为，船的航行速度为，根据向量的平行四边形法则可知：，设船的航行方向和水流方向的夹角为，所以，所以，故选：BD.11（2021全国高一课时练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则下列判断中正确的是（ ）A若，则该三角形有两解B若，则该三角形有两解C周长有最大值12D面积有最小值【答案】BC【解析】【分析】根据、选项给出的条件，利用正弦定理解出和，结合角度大小进行判断；，选项，根据余弦定理结合均值不等式即可判断【详解】解：对于，由，得，由于，所以，故为锐角，所以只有一组解，错误；对于，同理，由，可得，由于，所以，有两个解，则相应的有两个解，正确
26、；对于，由，得故，当且仅当时取等号，此时三角形周长最大，最大值为，此时三角形为等边三角形，故正确；对于，由推导过程知得，即，当且仅当时取等号，此时三角形面积最大，最大值为，故错误，故选：12（2021福建三明一中高三期中）随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所.如图，某公园内有一个以为圆心，半径为，圆心角为的扇形人工湖，、是分别由、延伸而成的两条健身步道.为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与相切于点，且与、分别相交于、，另两条是分别和湖岸、垂直的、(垂足均不与重合).在区域以内，扇形人工湖以外的空地铺
27、上草坪，则（ ）A点到点的直线距离是一个定值B新增步道的长度可以为C新增步道、长度之和可以为D当点为的中点时，草坪的面积为【答案】ABD【解析】【分析】设，则，其中，利用解三角形及三角变换变换公式逐项计算后可得正确的选项.【详解】设，则，其中.故，故.故，故A正确.又，而，故，因为，故，由基本不等式可得：，故，当且仅当时等号成立，的取值范围为，而，故B成立.,因为，故，故，故的取值范围为，故C不正确.当点为的中点时，故草坪的面积为，故D正确.故选：ABD.三、填空题13（2022广西玉林模拟预测（文）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则_.【答案】7【解析】【分析】根据正弦定理
28、、两角和的正弦公式，结合同角的三角函数关系式中商关系进行求解即可.【详解】，由正弦定理可得：，得，左右两边同时除以，可得.故答案为：14（2021广西玉林模拟预测（理）如图，无人机在离地面的高的A处，观测到山顶M处的仰角为，山脚C处的俯角为，已知，则山的高度为_.【答案】 m【解析】【分析】根据题中条件，先得到m，在中，根据正弦定理，即可得出结果.【详解】在中，由图知，即，在中，由正弦定理得，m，在中，.故答案为： m15（2022江苏盐城一模）在中，角的对边分别为.若，则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理以及基本不等式可求得答案.【详解】解：由余弦定理得，又，所以，因为，当且
29、仅当时取等号，所以，所以的最小值是，故答案为：.16（2021云南模拟预测（文）已知中，点，点，内角的对边分别为，面积为，且，则满足条件的点的轨迹长度为_【答案】【解析】【分析】根据正余弦定理、三角形面积公式及圆的周长公式直接可得解.【详解】如图，又，外接圆半径为，所以点的轨迹长度为，故答案为：.四、解答题17（2022广东潮州高三期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(1)求角B的大小；(2)若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=2，求面积的最大值【解析】(1)因为，所以由正弦定理得,所以，所以，所以，因为，所以，因为，所以(2)因为点D在边AC上，且AD=2DC，所以，所以,所
30、以，即，因为，所以，即，当且仅当时取等号，所以面积为，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为18（2022云南昆明一模（文）已知的内角，的对边分别为，且满足，(1)证明：；(2)若为线段上一点，且，求的面积【解析】(1)在中，因为，由余弦定理可得：.因为，所以.对于，由正弦定理可得：，所以，所以，所以，即；(2)由（1）可知为等腰直角三角形，其中，.因为为线段上一点，且，在中，由正弦定理得：，所以.所以的面积为: .19（2022广东东莞高三期末）的内角、的对边分别为、，已知.(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.【解析】(1)解：因为，由正弦定理得，即，由，得，因为，所以.(2)解：由，
31、得，解得，由，即，即.由，得，故，所以的周长为.20（2021贵州黔西高二期中（文）为了测量一个不规则湖泊两端C，D之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km的A，B两点，点B在点A的正东方向上，且A，B，C，D四点在同一水平面上.从点A处观测得点C在它的东北方向上，点D在它的西北方向上；从点B处观测得点C在它的北偏东30方向上，点D在它的北偏西60方向上.(1)求C，D两点之间的距离；(2)以点D为观测点，求点C的方位角.【解析】(1)解：由已知得，所以,.在中，由正弦定理得.同理，在中，所以，由正弦定理得.可以计算出，在中，所以.(2)解：如图所示，作，由（1）知，所以，即点C在点D的北
32、偏东75方向上.21（2022北京昌平高三期末）在中，.(1)求A；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上高线的长条件：；条件：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分【解析】(1)由余弦定理及，得.因为，所以.(2)选条件：由（1）知：，则，代入解得：，此时ABC 存在但不唯一，不合题意，舍去；选条件：.由正弦定理及，得.在中，设，由，得，解得.符合要求.设BC 边上高线的长为由，解得22（2022黑龙江哈尔滨三中高三期末（理）中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知.(1)求角A的大小；(2)求的取值范围.【解析】(1)由正弦定理得：，从而，因为，所以；(2)由得：，所以，因为，所以，结合正弦函数图象可得：，所以的取值范围为.学科网（北京）股份有限公司
