1、8.2 立体图形的直观图 【知识点梳理】知识点一：用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴和y轴， 两轴相交于点O，且使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平面(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半.知识点诠释：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线
2、段时，需要作辅助线段知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可(2)画z轴，z轴过点O，且与x轴的夹角为90，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；平行于x，z轴的长度不变【典型例题】类型一 水平放置的平面图形直观图的画法例1（2021全国高一课时练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定），并由此探寻直观图面积与原图形面积之
3、间的关系.（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形【解析】（1）解：根据斜二测画法的规则，可得：设，则，直观图中边边上的高为，因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.（2）解：根据斜二测画法的规则，可得：设，则，直观图中边边上的高为，因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.（3）解：根据斜二测画法的规则，可得：设，则，直观图中边边上的高为，因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.（4）解：根据斜二测画法的规则，可得：设，则，的边边上的高为，所以，同理可得，设五边形的面积为，直观图五边形的面积为，则.解题技巧（画水平放置的平面图形的直观图的注意事项） 在画水平放置的平面
4、图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段例2（2021全国高一课时练习）如图，已知点，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.【详解】由斜二测画法可知，在直观图中，所以.例3（2022全国高一）用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.【详解】解：（1）画，轴，使，在轴上截取，在轴上截取过作轴的平行线，且取线段长度为2，连接，则四边形的直观图即为四边形；（2）画，轴，使，在轴上截取，在轴过、分别作的平行线，与在轴上过作轴的平行线分别交于，连接，
5、则四边形的直观图即为四边形类型二 几何体的直观图画法例4.（2022全国高一）已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图【详解】【解】（1）画轴如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使xOy45，xOz90.（2）画下底面以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF6，在y轴上取线段GH，使得GH3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图（3）画上底面在z轴上截取线段OO14，过O1作O1xOx，O1yOy，使xO1y45，建立坐标系xO1y，在
6、xO1y中仿照（2）的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图（4）连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图如图）解题技巧： (画空间几何体的直观图的注意事项)(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x轴与y轴，两轴交于点O，且使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平面，再作z轴与平面xOy垂直(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x轴的线段并且长度不变(3)平行于y轴的线段画成平行于y轴的线段，且线段长度画成原来的一半(4)平行于z轴的线段画成平行于z轴的线段并且长度不变例5（2022全国高一）画底
7、面边长为2cm，高为3cm的正四棱柱的直观图【详解】例6（2021全国高二课时练习）用斜二测画法画出各棱长都为5的正三棱锥的直观图.【详解】分两个步骤完成：（1）先画出水平放置的边长为的正三角形的直观图：1在正三角形中，设的中点为，取中心为原点，过且与平行的直线为轴，以为轴建立直角坐标系，如图：，则，2作出斜坐标系，使， 在轴正半轴上取使，在轴负半轴上取点，使，过作轴的平行线，使得，连，则三角形就是水平放置的边长为的正三角形的直观图，如图：（2）过作轴，在轴正半轴上取点，使，连，可得各棱长都为5的正三棱锥的直观图，如图：类型三 与直观图还原有关的计算问题例7（2021山东聊城高一期末）如图，是
8、用斜二测画法画出的直观图，则的周长为（ ）ABCD【答案】C【详解】作出的直观图如下图所示：由图可得，因此，的周长为.故选：C.解题技巧（直观图还原注意事项） 由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点(1)直观图中任何一点距x轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45倍(2)S直观图S原图由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换例8（2021湖北省广水市实验高级中学高二期中）如图，边长为2的正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，则图形的面积是（ ）ABCD【答案】
9、A【详解】由三视图知原平面图形是平行四边形，且，所以面积为故选：A例9（2022全国高一）若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）ABCD【答案】C【详解】等腰梯形的面积 则原平面图形的面积.故选：C.例10（2022全国高一）正三角形的边长为1，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是（ ）ABCD【答案】D【详解】原图中：设是的中点，则，.直观图中：，所以.故选：D例11（2021全国高一课时练习）如图矩形ABCD的长为4cm，宽为2cm，O是AB的中点，它是水平放置的一个平面图形ABCD的直观图，则四边形ABCD的周长
10、为_cm；【答案】20【详解】由斜二测画法的规则知与轴平行或重合的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变；与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，且与轴平行的性质不变.还原出原图形如上图所示，其中cm，cmcm所以原图形的周长为cm例12（2021广东东莞市新世纪英才学校高一阶段练习）正方形的边长为1，利用斜二测画法得到直观图，其周长等于_【答案】3【详解】根据斜二测画法的原则可得：直观图中，x方向长度不变，y方向长度减半，如图所示：所以的周长为.故答案为：3【同步练习】一、单选题1（2021湖北高二阶段练习）如图，是水平放置的的直观图，则中边上的高等于（ ）A4BC2D【答案】A【分析】根据
11、直观图的作图方法即可求得答案.【详解】由题意可知，且，即OA边上的高为4.故选：A.2（2022全国高一）如图所示的是水平放置的三角形直观图，是中边上的一点，且离比离近，又轴，那么原的、三条线段中（ ）A最长的是，最短的是B最长的是，最短的是C最长的是，最短的是D最长的是，最短的是【答案】C【分析】由直观图画出原图即可求解.【详解】解：由题意，得到的原图如下图所示，其中，所以所以的、三条线段中最长的是，最短的是.故选：C.3（2022全国高一）已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，则原四边形的面积为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据直观图画出原图，可得原图形为直角梯形，
12、计算该直角梯形的面积即可.【详解】过点作，垂足为则由已知可得四边形为矩形，为等腰直角三角形，根据直观图画出原图如下：可得原图形为直角梯形，且，可得原四边形的面积为故选：B.4（2021河北衡水市冀州区第一中学高一期中）某平面七边形在斜二测画法下的直观图面积是，则该图形的原面积是（ ）.ABCD【答案】A【分析】根据平面图形的面积与斜二测画法所得直观图的面积之比是，计算即可得出答案.【详解】解：由于水平放置的平面图形的面积与斜二测画法所得直观图的面积之比是，所以用斜二测画法作一个平面七边形的直观图，则其原面积是直观图面积的倍，已知其直观图面积是，则该图形的原面积是.故选：A.5（2022全国高一
13、）如图，是水平放置的的直观图，则的面积是（ ）A6B12CD【答案】B【分析】由直观图和原图的之间的关系，和直观图画法规则，还原是一个直角三角形，其中直角边，直接求解其面积即可【详解】解：由直观图画法规则，可得是一个直角三角形，其中直角边，故选：B6（2022全国高一）如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（ ）ABCD【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则判断【详解】由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的边平行于y轴，故选：C.7（2021陕西西安市第八十九中学高一阶段练习）水平放置的有一边在水平线上，它的斜二测直观图是边长为2的正，则的面积是（ ）A
14、BCD【答案】C【分析】根据直观图和原图面积比的关系，即得解【详解】由题意，.且故故选：C8（2022上海高三专题练习）如图，用斜二测画法作ABC水平放置的直观图形得A1B1C1，其中A1B1B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在ABC中，下列四个结论中正确的是（ ）AABBCACBADBCCACADABDACADABBC【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则，将直观图还原，即可比较三条线段的长度关系.【详解】根据斜二测画法，把直观图形中的A1B1C1，还原成原图形，如图所示；为直角三角形，且，则.故选：C二、多选题9（2021全国高一课时练习）对于用斜二测画法所得的直观图，以下
15、说法错误的是（ ）A等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B正方形的直观图为平行四边形C梯形的直观图不是梯形D正三角形的直观图一定为等腰三角形【答案】ACD【分析】根据斜二测画法的原理，对四个选项逐一分析即可得到.【详解】由直观图的做法可知：原图形中的平行性质仍然保持，而相当长度和角的大小不一定与原来的相等.对于A：等腰三角形的直观图不再是等腰三角形，故A错误；对于B：因为正方形的对边平行，所以在直观图中仍然平行，故正方形的直观图为平行四边形成立.故B正确；对于C：梯形的上下底平行，在直观图中仍然平行；两腰不平行，在直观图中仍然不平行；所以梯形的直观图仍是梯形.故C错误；对于D: 正三角形的直观图不
16、是等腰三角形.故D错误.故选：ACD10（2021全国高一课时练习）已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积可能为（ ）A16B64C32D无法确定【答案】AB【分析】正方形的直观图是一个平行四边形，有一边长为4，分两种情况讨论，根据斜二测画法的原则，即可得结果.【详解】根据题意，正方形的直观图如图所示： 若直观图中平行四边形的边, 则原正方形的边长为，所以该正方形的面积为；若直观图中平行四边形的边,则原正方形的边长为，所以该正方形的面积为，故选：AB.11（2021全国高一课时练习）如图为一平面图形的直观图，则此平面图形不可能是选项中的（ ）ABCD【答案】
17、ABD【分析】根据直观图，画出原图形，即可得出答案.【详解】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于轴的边与底边垂直，原图形如图所示：即可判断不可能的为A，B，D.故选：ABD.12（2021全国高一专题练习）如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则下列说法正确的是（ ）A的边上的高为2B的边上的高为4CD【答案】BD【分析】过作轴，交轴于点，即可求出相关量，画出原图，即可判断.【详解】如图，过作轴，交轴于点，则可得，又与轴垂直，且，则,则在原图中，且，即的边上的高为4，又在上，可得.故选：BD.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是过作
18、轴，交轴于点，根据题意画出原图.三、填空题13（2021湖北丹江口市第一中学高二阶段练习）如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图，则在直观图中，梯形的高为_.【答案】【分析】由已知求出原图的面积，进而根据原图面积与直观图面积的关系，求出直观图的关系，设直观图的高为，结合直观图中梯形的两底长不变，构造关于的方程，可得答案【详解】解：四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，故的高为2，面积，故其直观图的面积，设直观图的高为，则，解得：，即在直观图中，梯形的高为.故答案为：.14（2021上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）如图，
19、若三角形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ABC的直观图.已知，三角形的面积为.则原平面图形ABC中BC的长度为 _ .【答案】【分析】利用三角形面积公式求出，再作出原平面图形，利用勾股定理计算可得；【详解】解：因为，且三角形的面积为，所以，所以，三角形的原平面图形如下所示：所以，且，所以；故答案为：15（2021上海复旦附中高二期中）已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，则原中的大小是_【答案】#【分析】根据斜二测画法，画出原几何图形，判断出原为等边三角形，从而可求的大小.【详解】根据斜二测画法，画出原几何体，如图，易知,，所以，所以原为等边三角形，所以.故答案为：
20、.16（2021全国高一课时练习）如下图所示,梯形是水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法),若,则四边形的面积是_.【答案】5【分析】根据斜二测画法知，四边形ABCD是上底为2下底为3，高的直角梯形，利用梯形公式即可求解.【详解】由直观图知，四边形ABCD中，ABCD,因为，所以，且,根据梯形面积公式，故填5.【点睛】本题考查直观图，斜二测画法，属于中档题. 解决直观图相关问题，需要利用斜二测画法联系原图形和直观图.四、解答题17（2021全国高一课时练习）画出底面边长为3cm、高为4.5cm的正三棱柱的直观图.【答案】答案见解析【分析】按照作直观图的步骤，画轴、画底面、画侧棱、成图结合直观
21、图的原理：横竖不变纵减半，保持平行线即可成图.【详解】一、画轴，如图：画轴、轴、轴，三轴相交于点，使得，；二、画底面，以为中点，在轴上取，在轴正半上截取，连接，则就是正三棱柱的底面；三、画侧棱、过点，分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4.5cm长的线段，；四、成图，顺次连接，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），即得正三棱柱的直观图.18（2021全国高一课时练习）已知圆柱的底面半径和高分别为2cm，3cm，画出该圆柱的直观图.【答案】答案见解析【分析】根据斜二测画法作几何体的直观图【详解】解：第一步：画轴：如图1，画轴，使得；第二步：画下底面，以点为中心，在轴上取线段，使
22、得cm，利用椭圆模板画椭圆，使其经过两点，这个椭圆就是圆柱的底面；第三步：画上底面，在上截取点，使得cm，过作平行于轴的轴，类似下底面的作法做出圆柱的上底面；第四步：成图，顺次连接，再去掉辅助线，将遮挡的部分改为虚线，就得的直观图，如图2.19（2021全国高一课时练习）如图所示的直观图直角梯形，求原图形的面积【答案】【分析】方法一：首先根据斜二测画法，对直观图进行还原原图形，然后计算原图形的面积即可；方法二：根据直观图面积与原图形面积之间的关系即可求解原图形的面积.【详解】方法一：如图，在直观图中，过点作，垂足为点，则在中，所以而四边形为矩形，所以所以由此可画出原图形如图，是一个直角梯形 在
23、原图形中，且，所以原图形的面积方法二：四边形的直观图面积，而原图形的面积，所以20（2021全国高一课时练习）如图，四边形是一个梯形， ，三角形为等腰直角三角形， 为的中点（1）画出梯形水平放置的直观图 （2）求这个直观图的面积.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）利用斜二测画法，画出梯形的直观图；（2）过点作于点，利用梯形的面积公式求解.【详解】（1）在梯形中， ，画出梯形的直观图，如图中梯形所示，（2）过点作于点.易得，所以梯形的高，所以梯形的面积为，即梯形水平放置的直观图的面积为.21（2021浙江温州高一期中）如图矩形是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中，（1）
24、画出平面四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；（2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积【答案】（1）平面图见解析，面积为；（2）体积为，表面积为.【分析】（1）根据斜二测画法所画的直观图与平面图的关系作出平面图形，然后根据面积公式求解出面积即可；（2）画出几何体的直观图，然后根据圆柱、圆锥的体积和表面积公式求解出旋转形成的几何体的体积及表面积.【详解】（1）平面四边形的平面图如下图所示：由直观图可知菱形的高为：，所以面积为；（2）旋转而成的几何体如下图所示：该几何体可以看成圆柱挖去一个同底的圆锥再加上一个同底的圆锥，由（1）可
25、知圆柱的底面圆半径为，母线长为，所以体积；所以表面积.22（2021全国高一课时练习）用斜二测画法得到的多边形的直观图为多边形，试探索多边形与多边形的面积之间有无确定的数量关系.【答案】有确定的数量关系【分析】先确定三角形的直观图和原始图的面积关系，再将多边形转化为三角形得到答案.【详解】设在中，为高边平行于轴，用斜二测画法得到其直观图为，则有，的高为，所以.当的三边都不与轴平行时，可过其中一个顶点作与轴平行的直线与对边相交，不妨设过点作与轴平行的直线交于点，则将分成和，由可知.对多边形，可连接，得到()个三角形，即，由知综上：可知多边形与其直观图多边形的面积之间有确定的数量关系.【点睛】本题考查了斜二测画法得到的直观图与原始图的面积关系，将多边形转化为三角形是解题的关键.
