1、 2023年北京市中考数学一轮复习：解直角三角形一、单选题1（2022北京石景山一模）如图，ABC中，D，E分别为CB，AB上的点，若，则DE的长为（）AB2CD12（2022北京市十一学校模拟预测）如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点D停止图2是点P、Q运动时，的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是（）ABC6D123（2022北京房山一模）将宽为2 cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕AB的长是()AcmB2cmC4cmDcm4（2022北京清华附中一模）如
2、图，在RtABC中，ACB=90，如果AC=3，AB=5，那么sinB等于（）ABCD5（2022北京市广渠门中学模拟预测）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为15cm2，则sinABC的值为（）ABCD6（2020北京昌平二模）如图所示，边长为2的等边ABC是三棱镜的一个横截面一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC垂直，且入射光线和反射光线使MDK=FDK设BE的长为x，DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）ABCD7（2020北京海淀一模）如图，在平
3、面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为，且sincos，则点M所在的线段可以是（）AAB和CDBAB和EFCCD和GHDEF和GH8（2020北京市第三十五中学模拟预测）把三边的长度都扩大为原来的倍，则锐角的余弦值（ ）A扩大为原来的倍B缩小为原来的C扩大为原来的倍D不变9（2020北京市第一零一中学温泉校区一模）某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况，如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30，另一端B处的俯角为45若直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一
4、直线上，则雪道AB的长度为（）A200 米B（200+200）米C600 米D（200+20）米10（2020北京北外附中模拟预测）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tanABD=，则线段AB的长为（）AB2C5D10二、填空题11（2022北京门头沟一模）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，是市民周末休闲的好去处如图，如果该摩天轮的直径为88米，最高点距地面100米，匀速运行一圈所需的时间是18分钟但受周边建筑物影响，如果乘客与地面距离不低于34米时为最佳观景期，那么在摩天轮运行的一圈中最佳观景的时长为_分钟 12（2022北京市第七中学一模）如图，点在
5、线段上， ，如果， ，那么 的长是 _ 13（2022北京朝阳模拟预测）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长为_（结果保留根号）14（2022北京一七一中一模）在如图所示的正方形网格中，1_2（填“”，“”，“”）15（2022北京清华附中一模）2017年9月热播的专题片辉煌中国圆梦工程展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主
6、跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角CED为，那么用CE的长和的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD_（m）16（2021北京101中学三模）如图，ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sinACB的值为 _17（2021北京朝阳二模）利用热气球探测建筑物高度（如图所示），热气球与建筑物的水平距离AD=100m，则这栋建筑物的高度BC约为_m（，结果保留整数）18（2021北京石景山一模）如图，小石同学在两点分别测得某建筑物上条幅两端两点的仰角均为，若点在同一直线上，两点间距离为3米，则条幅的高为_米（结果可以保留根号）三、解答题19（2021北京中考真题
7、）如图，在四边形中，点在上，垂足为（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若平分，求和的长20（2021北京中考真题）计算：21（2020北京中考真题）计算：22（2022北京市三帆中学模拟预测）如图，菱形中，、相交于点，过点作，且，连接(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，当，求的值23（2022北京市第十九中学三模）如图，在四边形中，点在延长线上，与交于点(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若平分，求和的长24（2022北京房山二模）已知：如图，在四边形中，垂足为M，过点A作，交的延长线于点E(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求的长25（2022北京朝阳二模）计算26（2022北京
8、平谷二模）如图，在中，连接AC，点E是AB中点，点F是AC的中点，连接EF，过E作EGAF，交DA的延长线于点G(1)求证：四边形AGEF是平行四边形；(2)若，连接GF，求GF的长27（2022北京丰台二模）计算：28（2022北京密云二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC平分，点E为AD边中点，过点E作AC的垂线交AB于点M，交CB延长线于点F(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；(2)若，求AC的长29（2022北京东城二模）如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求菱形的边长参考答案1D【分析】先根据三边长判断各角的度数，
9、然后利用等腰三角形“三线合一”求出，再，最后根据全等三角形的性质求出DE的长【详解】解：ABC中， ， ， ， ， ，又，故选：D【点睛】本题考查了直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据特殊三角函数值求解度，三角形外角的性质，根据三角形三边确定三角形各角的度数是解本题的关键2B【分析】根据题意计算得；再结合题意，得当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系；当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，从而得a对应动点Q和点C重合；通过计算，即可得到答案【详解】解：动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，一共用6
10、秒钟，AB=16=6，四边形ABCD为平行四边形，AB=CD=6，当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系，当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，a对应动点Q和点C重合，如图：动点Q以每秒4个单位的速度从点B出发，如图，过点C作，交于点E ，即故选：B【点睛】本题考查了平行四边形、函数图像，二次函数、一次函数、三角函数,与三角形高有关的计算等知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、三角函数的性质，从而完成求解3A【分析】由图中条件可知纸片重叠部分的三角形ABO是等边三角形，此三角形的高是AM=2，求边长，利用锐角三角函数可求【详解】解：如图，作AMOB
11、，BNOA，垂足为M、N，长方形纸条的宽为2cm，AM=BN=2cm，OB=OA，AOB=60，AOB是等边三角形，在RtABN中，AB=cm故选A【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定及解直角三角形的运用关键是由已知推出等边三角形ABO，有一定难度4A【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinB的值【详解】在RtABC中，ACB=90，AC=3，AB=5，sinB= 故选A【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键5C【详解】分析：先根据扇形的面积公式S=LR求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可详解：设圆锥的母线长为R，由题意得15=3R，解得R=5，圆锥
12、的高为4，sinABC= 故选C点睛：本题考查了圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比6A【分析】根据题意可证出是直角三角形，利用直角三角形的边角关系用x表示出CF、DF，最后利用三角形的面积公式可知y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，观察选项图像即可得出答案【详解】解：由题可知，等边三角形ABC的边长为2MEAB，是直角三角形，又 DKBC，MDK=FDK，是直角三角形，即则y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，且过点故选：A【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，从图形的面积公式入手，用自变量表示边的长度，直接代入公式求出因变量与自变量的函数关系是解题的
13、关键7D【分析】如图，当点M在线段AB上时，连接OM根据正弦函数，余弦函数的定义判断sin，cos的大小当点M在EF上时，作MJOP于J判断sin，cos的大小即可解决问题【详解】如图，当点M在线段AB上时，连接OMsin=，cos=，OPPM，sincos，同法可证，点M在CD上时，sincos，如图，当点M在EF上时，作MJOP于Jsin=，cos=，OJMJ，sincos，同法可证，点M在GH上时，sincos，故选：D【点睛】考查了正方形的性质和解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题8D【分析】根据相似三角形的性质解答【详解】三边的长度都扩大为原来的3倍，则
14、所得的三角形与原三角形相似，锐角A的大小不变，锐角A的余弦值不变，故选：D【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键9B【分析】在RtACD中，由tanA，可知（米），在RtBCD中，由B45知BDCD200米，根据ABAD+BD可得答案【详解】解：由题意知，A30，B45，CD200米，在RtACD中，tanA，（米），在RtBCD中，B45，BDCD200米，ABAD+BD200+200（米），故选：B【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握解直角三角形的应用-仰角俯角问题是解题的关键.10C【详解】分析：根据菱形
15、的性质得出ACBD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可详解：四边形ABCD是菱形，ACBD，AO=CO，OB=OD，AOB=90，BD=8，OB=4，tanABD=，AO=3，在RtAOB中，由勾股定理得：AB=5，故选C点睛：本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键1112【分析】先计算出圆的底端距离地面的距离为12，从而得到圆的底部到弦的距离为22，从而计算出弦所对的圆心角，用弧长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可【详解】解：如下图所示， 根据题意，得OC=44，CD=AD
16、-AC=100-88=12，ED=34，CE=ED-CD=34-12=22，OE=OC-CE=44-22=22，在直角三角形OEF中，sinOFE=，OFE=30，FOE=60，FOB=120，圆转动的速度为， 最佳观赏时长为=12（分钟），故答案为：12【点睛】本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角函数，解题的关键是熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数12【分析】由已知条件，根据同角的余角相等得，根据得，求出，得出，利用和勾股定理即可得的长【详解】解：，设的长是x，即，解得或（舍去负值），故答案为：【点睛】本题考查三角函数-正切，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解
17、决问题13【分析】如图（见解析），先在中，解直角三角形可求出CF的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得DE的长，从而可得CE的长，然后根据线段的和差即可得【详解】如图，过A作，交DF于点E，则四边形ABFE是矩形由图中数据可知，在中，即解得是等腰三角形则的长为故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键14【分析】由正切的定义可得出tan1=，tan2=，由且1，2均为锐角可得出12，此题得解【详解】在RtABE中，tan1；在RtBCD中，tan2，且1，2均为锐角，tan1tan2，12故答案为：【点睛】本题考查了解直
18、角三角形，由正切的定义找出tan1tan2是解题的关键151154cos【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题【详解】解：由题意可得，BD2CEcos2577cos1154cos，故答案为1154cos【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答16【分析】作辅助线BD使ACB直角三角形BCD中，然后用正弦函数的定义即可【详解】解：作如图所示的辅助线，则BDAC，BC，BD，sinACB，故答案为：【点睛】本题主要考查正弦的概念，根据题意得出相应边长是解题的关键17270【分析】分别在与中求得BD与CD长度，BC=BD+CD，即可求出BC长度【
19、详解】在中，=100（米）在中，（米）（米）故答案为：270【点睛】本题主要考查锐角三角函数在实际应用中求解，能找见不同直角三角形中的等量关系是解题关键183【分析】过点C作CEAB，交BD于点E，可得四边形ABEC是平行四边形，在直角中，利用锐角三角函数的定义，即可求解【详解】过点C作CEAB，交BD于点E，小石同学在两点分别测得某建筑物上条幅两端两点的仰角均为，CAO=DBO=60，ACBD，四边形ABEC是平行四边形，CE=AB=3，DEC=60，BODO，ECDO，在直角中，CD=ECtan60=3，故答案是：3【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是
20、解题的关键19（1）见详解；（2），【分析】（1）由题意易得ADCE，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由可进行求解问题【详解】（1）证明：，ADCE，四边形是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形是平行四边形，平分，EF=CE=AD，【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键20【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解【详解】解：原式=【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值
21、、零次幂及二次根式的运算是解题的关键215【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案【详解】解：原式=【点睛】本题考查的是负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同类二次根式，掌握以上的知识是解题的关键22(1)见解析(2)【分析】（1）证，再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论；（2）由锐角三角函数定义得，则，再由勾股定理得，然后由锐角三角函数定义即可得出结论（1）证明：四边形是菱形，四边形是平行四边形，又，平行四边形是矩形；（2）解：如图，四边形是菱形，在中，由（1）可知，四边形是矩形，【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边
22、形的判定与性质、菱形的性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键23(1)见解析(2)5，8【分析】（1）先证，再由，即可得出结论；（2）由锐角三角函数定义得，再由平行四边形的性质得，然后证，则，进而证，得（1）证明：，四边形是平行四边形；（2），由（1）可知，四边形是平行四边形，平分，即，【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三角函数定义、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键24(1)证明见解析(2)6【分析】（1）先证明AEBD，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；（2）
23、先根据平行四边形的性质和锐角三角函数求得CE的长，再利用勾股定理求出AE的长即可求得BD的长（1）解：ACBD，ACAE，AEBD，又ABDC，四边形ABDE是平行四边形（2）解：四边形ABDE是平行四边形，BD=AE，E=ABD，则CE=10，在RtEAC中，BD=6【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键25【分析】分别根据二次根式的性质，45角的三角函数值，负整数指数幂及绝对值的性质进行化简，最后再由二次根式的运算法则合并即可【详解】解：原式 故答案为：【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握二次根式的性质，45角的三角
24、函数值，负整数指数幂定义及绝对值的性质是解题的关键26(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行四边形的性质可得ADBC，再由三角形中位线定理可得EFBC，从而得到EGAF，即可求证；（2）过点E作EMDG于点M，过点F作FNDG于点N，可得EM=FN，再由三角形中位线定理可得EF=6，然后根据四边形AGEF是平行四边形，可得AG=EF=6，GE=AF，GE=AF=5，根据，可得FN=EM=3，从而得到AN=4，再由勾股定理，即可求解(1)解：在平行四边形中，ADBC，点E是AB中点，点F是AC的中点，EFBC，EFAD，即EFAG，EGAF，四边形AGEF是平行四边形；(2)如图，过点E作EM
25、DG于点M，过点F作FNDG于点N，EFAD，EM=FN，四边形ABCD是平行四边形，AD=BC=12，点E是AB中点，点F是AC的中点，四边形AGEF是平行四边形，AG=EF=6，GE=AF，F是AC的中点，AF=5，GE=AF=5，EMDG，EMG=90，EM=3，FN=EM=3，FNDG，GN=AG+AN=10，【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键27【分析】原式第一项利用绝对值的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项化为最简二次根式，第四项利用零指数幂法则计算即可得到结果【详解】解：原式= =
26、 =【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键28(1)见解析；(2)【分析】（1）根据平行线性质得DAC=ACB，根据角平分线定义得DAC=BAC，进而得出BCA=BAC，推出BA=BC，最后证得结果；（2）连接BD，根据平行四边形的判定证明四边形EFBD是平行四边形，再求得BC及的值，最后求得AC的长(1)证明四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DAC=ACB，AC平分，DAC=BAC，BCA=BAC，BA=BC，平行四边形ABCD是菱形；(2)连接BD，平行四边形ABCD是菱形，ACBD，DEBF，ACEF，EFBD，四边形EFBD是平行四边形，OBC=F，DE=BF
27、=2，点E为AD边中点，AD=4，BC=AD=4，OBC=F，【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的性质及判定、等腰三角形的判定及性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定及性质29(1)见解析；(2)边长为5【分析】由AFDBFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；（2）根据菱形的性质得出，由各角之间的数量关系得出，根据题意得出，再利用勾股定理得出EC的长，然后根据直角三角形斜边上的中线即可得出结果（1）证明：四边形是平行四边形，是的中点，在与中，AD=BE，四边形是平行四边形，四边形是菱形；（2）解：四边形是菱形，EB=BC=BD=，菱形的边长为5【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型25
