1、山西省大同市2023届高三上学期第二次学情调研数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知集合，则等于（ ）A B. C. D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），是的共轭复数，则等于（ ）A. B. C. D. 3. 已知空间中两个不同的平面，直线平面，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件4. 记为等比数列的前n项和若，则等于（ ）A. 7B. 8C. 9D. 105. 如图，在平行六面体中，点P在上，且，则（ ）A. B. C. D. 6. 已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为（ ）A. B
2、. C. D. 7. 若函数()在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则取值范围是A. B. C. D. 8. 若，其中，则（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知向量，则（ ）A. 若与垂直，则B. 若，则的值为C. 若，则D. 若，则与的夹角为4510. 设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）A. 的最小值为3B. 的最大值为1C. 的最小值为2D. 的最小值为211. 设是等差数列，是其前项的和，且，则下列结论正确的是（ ）A. B.
3、 与是的最大值C. D. 12. 如图，直三棱柱中，点P在线段上（不含端点），则（ ）A. 存点P，使得B. 的最小值为有C. 面积的最小值为D. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. _14. 函数在区间上为增函数，则实数的一个取值可以为_.15. 如图，已知外接圆为圆，为直径，垂直圆所在的平面，且，过点作平面，分别交于点，则三棱锥的外接球的体积为_.16. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题牛顿（Issac Newton，16431727）在流数法一书中给出了牛顿法：用“做切线”的方法求方程的近似解具体步骤如下：设r是函数的一个零点
4、，任意选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；过点作曲线的切线，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值一般地，过点作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值若，取作为r的初始近似值，则的正根的二次近似值为_若，设，数列的前n项积为若任意，恒成立，则整数的最小值为_四、解答题（本题共6小题，共70分）17. 已知函数（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）求在上最大值和最小值，并求出取得最值时x的值18. 在；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它
5、的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19. 已知等比数列的前n项和为，且，数列满足，其中（1）分别求数列和的通项公式；（2）若，求数列前n项和20. 方同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，大学毕业后回到家乡，利用所学专业进行自主创业，自主研发生产A产品经过市场调研，生产A产品需投入固定成本1万元，每生产x（单位：万元），需再投入流动成本（单位：万元），当年产量小于9万件时，当年产量不小于9万件时，已知每件A产品的售价为5元，若方同学生产的A产品当年全部售完（1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x的函数解析式；（
6、注：年利润年销售收入固定成本流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，方同学的A产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（注：取）21. 如图，在三棱锥中，平面平面BCD，O为BD的中点（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，且平面EBC与平面BCD的夹角为，求三棱锥的体积22. 已知函数（）.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在处的切线方程为，且当对于任意实数时，存在正实数，使得，求的最小正整数值.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出函数定义域化简集合B，再利用交集的定义求解
7、作答.【详解】依题意，而，所以.故选：D2. 已知复数满足（为虚数单位），是的共轭复数，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据共轭复数的定义结合复数的加法运算即可得解.【详解】解：由得，故选：A.3. 已知空间中的两个不同的平面，直线平面，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】两个不同的平面，直线平面，当时，或，不充分；当时，必要.故选：B.4. 记为等比数列的前n项和
8、若，则等于（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的性质可知，是等成比数列，由此列式计算即可.【详解】为等比数列的前n项和，等成比数列，故选：C5. 如图，在平行六面体中，点P在上，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于的表达式.【详解】由平面六面体法则可知，.故选：B.6. 已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设切点坐标为，根据导数几何意义可得切线方程，代入坐标原点可构造方程求得.【详解】由得：；设切点坐标为，则切线方程为：，切线过原点，
9、解得：，即切点横坐标为.故选：C.7. 若函数()在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意结合余弦函数的单调区间可得，由余弦函数的零点可得，即可得解.【详解】当时，又，函数()在区间上单调递减，即，解得；令，则，即，由，可得当且仅当时，又函数()区间上存在零点，解得；综上，的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查了余弦函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.8. 若，其中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将原等式转化为，利用导数证明可得，构造函数，再次利用导数研究的单调性，进而解对数不等
10、式即可.详解】由，得，（*）令，则，令，则函数在上是递增的，所以，由于，则，由（*）式可得，从而设函数，令，得函数在上是递增的，又，则，由，可得，则，所以故选：D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知向量，则（ ）A. 若与垂直，则B. 若，则的值为C. 若，则D. 若，则与的夹角为45【答案】ABD【解析】【分析】根据向量共线与垂直的坐标表示得到方程，计算即可判断A、B，再根据向量模及夹角的坐标表示计算判断C、D；【详解】解：因为，对于A：若与垂直，则，解得，故A正确；
11、对于B：若，则，解得，故B正确；对于C：若，则，解得，故C错误；对于D：若，则，设与的夹角为，则，因为，所以，故D正确；故选：ABD10. 设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）A. 的最小值为3B. 的最大值为1C. 的最小值为2D. 的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】根据基本不等式判断【详解】因为正实数m、n，所以，当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；因为，当且仅当m=n=1时取等号，故2即最大值为2，C错误；，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确.故选：ABD11. 设是等差数列
12、，是其前项的和，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. 与是的最大值C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】对于A，根据求和的定义，可得，结合等差数列公差的定义，可得答案；对于B，根据数列的通项公式，结合公差的取值范围，可得数列的单调性，易得答案；对于C，利用作差法，结合等差数列中等差中项的推论，可得答案；对于D，根据A的结论，可得答案.【详解】对于A，由，则，即，由，则，即，因为，所以，故A正确；对于B，由是等差数列，则可设，由A可知，是单调递减的数列，易知当时，；由，则，当时，故和是的最大值，所以B正确；对于C，则，故C错误；对于D，由A可知D正确.故选：ABD.12. 如图，直三棱柱中
13、，点P线段上（不含端点），则（ ）A. 存在点P，使得B. 的最小值为有C. 面积的最小值为D. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值【答案】ACD【解析】【分析】以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，其中点坐标，可设（），即可得出.对于A选项，要使，即，得到关于的方程，解方程即可；对于B选项，将和沿展开，连接，的最小值即的长度，利用锐角三角函数和两角和的余弦公式求出，再由余弦定理即可得到；对于C选项，设（），利用向量的夹角公式求得，由同角三角函数的平方关系得到，代入三角形面积公式：，结合二次函数的性质讨论最值即可；对于D选项，利用等体积法得，即可求解.【详解】由题意
14、得，即，又在直三棱柱中，底面，平面，平面，则以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系.因为，所以，则，设（），则，解得，所以，对于A选项，要使，即，解得，当，即在中点时，故A选项正确；对于B选项，如图所示，将和沿展开，如图所示，连接交于点，可知，当点与点重合时取得最小值，由题意得， 所以，则，在中，由余弦定理得，则，所以的最小值为，故B选项错误；对于C选项，设（），则，即，所以，则，因为，所以当时，取得最小值，故C选项正确；对于D选项，故D选项正确，故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何中的动点的相关线段的位置关系、线段长度、面积和体积的最值问题，意在考查学生
15、的空间想象能力和逻辑推理及转化思想的应用.解答本题关键在于建立空间直角坐标系，利用空间向量法解决空间的中的相关问题，同时对于转化思想的应用，利用两点之间线段最短求距离的最值，本题中B选项， 将和沿展开，利用两点之间的线段最短，求解即可.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. _【答案】1【解析】【分析】根据给定条件，利用指数、对数运算计算作答.【详解】.故答案为：114. 函数在区间上为增函数，则实数的一个取值可以为_.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据正切函数的单调性求出的取值范围，再写出一个正确答案即可.【详解】解：因为正切函数的单调递增区间为，又函数在区间上为增函
16、数，所以.故答案为：（答案不唯一）15. 如图，已知的外接圆为圆，为直径，垂直圆所在的平面，且，过点作平面，分别交于点，则三棱锥的外接球的体积为_.【答案】【解析】【分析】由线面垂直性质可知为中点，由此可得三棱锥的高；根据，可证得平面，得到，由线面垂直的判定和性质可证得，由此可得外接圆半径，由此可得所求外接球半径，代入球的体积公式可求得结果.【详解】平面，平面，；平面，平面，又，为中点，；为圆的直径，又，平面，平面，又平面，平面，平面，平面，的外接圆半径，三棱锥外接球半径，三棱锥外接球体积.故答案为：.16. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题牛顿（Issac Newton，1643
17、1727）在流数法一书中给出了牛顿法：用“做切线”的方法求方程的近似解具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；过点作曲线的切线，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值一般地，过点作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值若，取作为r的初始近似值，则的正根的二次近似值为_若，设，数列的前n项积为若任意，恒成立，则整数的最小值为_【答案】 . . 2【解析】【分析】根据题意得到，代入数据计算得到答案，计算，根据函数的单调性得到，计算得到答案.【详解】，切线方程为，故，当时，切线方程为，则，故，
18、函数为增函数，故，故，即，为整数，故答案为：；2【点睛】本题考查了函数，数列和导数的综合应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用零点存在定理确定范围是解题的关键.四、解答题（本题共6小题，共70分）17 已知函数（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）求在上最大值和最小值，并求出取得最值时x的值【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间是， （2）的最小值为，此时；的最大值为2，此时【解析】【分析】(1) 倍角公式及辅助角公式化简函数解析式得，利用周期公式计算周期，整体代入法求单调区间. (2) 由，有，结合正弦函数的图像和性质，即得出的最大值和最小值.【小问1详解】因为
19、，所以的最小正周期，令，得，所以的单调递增区间是，【小问2详解】由（1）知，因为，所以，所以，所以当，即时，取得最小值；当，即时，取得最大值218. 在；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】选，三角形存在，；选，三角形存在，或【解析】【分析】首先根据三角形面积公式及余弦定理，通过条件，求得，然后再利用正弦定理求得，最后根据即可求出的值.【详解】因为，由余弦定理，可得，由，得，又，所以选：由正弦定理得
20、，代入得，又，得A是一个小于C的锐角，故，此时三角形存在，所以选：由得，代入得，则当时，A是一个大于C的锐角，此时三角形存在，所以，当时，A是一个钝角，此时三角形存在，所以19. 已知等比数列的前n项和为，且，数列满足，其中（1）分别求数列和的通项公式；（2）若，求数列前n项和【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）由与的关系结合题意可求得等比数列的公比为q，进而得到，由累乘法可求得；（2）由错位相减法求解即可【小问1详解】设等比数列的公比为q，由，得，所以，即，故，当时，故，故数列的通项公式为；由得，故，以上个式子相乘得，故，验证也符合上式，所以【小问2详解】由，结合（1）可得，所以，
21、两式相减得，所以，故20. 方同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，大学毕业后回到家乡，利用所学专业进行自主创业，自主研发生产A产品经过市场调研，生产A产品需投入固定成本1万元，每生产x（单位：万元），需再投入流动成本（单位：万元），当年产量小于9万件时，当年产量不小于9万件时，已知每件A产品的售价为5元，若方同学生产的A产品当年全部售完（1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，方同学的A产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（注：取）【答案】（1） （2）当年产量约为20万件时，方同学的A产品所获年
22、利润最大，最大年利润为7万元【解析】【分析】（1）根据年利润年销售收入固定成本流动成本，分和两种情况建立函数关系式，再写出分段函数的形式；（2）分和两种情况分别用基本不等式与导数法求出最大值，即可得到结论.【小问1详解】因为产品售价为5元，则x万件产品销售收入为5x万元依据题意得，当时，当时，所以【小问2详解】当时，因为（当且仅当，即时取等号），所以，即当时，取得最大值为（万元）当时，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，取得最大值为（万元），当时，的最大值为7万元当年产量约为20万件时，房同学的A产品所获得的年利润最大，最大年利润为7万元21. 如图，在三棱锥中，平面平面BCD，O为BD的中
23、点（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，且平面EBC与平面BCD的夹角为，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，再得到线线垂直.（2）方法一，建立空间直角坐标系，由平面EBC与平面BCD的夹角为，向量法求出；方法二，由即为平面EBC与平面BCD的夹角，余弦定理几何法求得；再求三棱锥的体积.【小问1详解】证明： 因为，O是BD的中点，所以，因为平面ABD，平面ABD平面BCD，且平面平面，所以平面BCD因为平面BCD，所以【小问2详解】方法一 如图所示以O为坐标原点，OA为z轴，OD为y轴，垂直于OD且过点O的直线为x
24、轴，建立空间直角坐标系，则，设，则，所以，设为平面EBC的法向量，则由，令，有，则易知平面BCD的一个法向量为，设平面EBC与平面BCD的夹角为，则，解得又点C到平面ABD的距离为，所以，所以三棱锥的体积为方法二 如图所示，作，垂足为点G作，垂足为点F，连接EF，则因为OA平面BCD，所以EG平面BCD，则即为平面EBC与平面BCD夹角，因为，所以，由已知得，故，所以，由余弦定理得，因为，所以，则，所以三棱锥的体积为22. 已知函数（）.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在处的切线方程为，且当对于任意实数时，存在正实数，使得，求的最小正整数值.【答案】（1）答案见解析 （2）3【解析】【分析
25、】（1）求导后，分和两种情况讨论，但需注意定义域；（2）先根据题意，求出实数，再由，得到，构造新函数后，得，结合，得到的取值范围即可.【小问1详解】解：函数的定义域为，且.当时，则函数在上单调递增；当时，令，解得，所以，当时，时，.则函数在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】解：由（1）知，因为函数在处的切线方程为，所以，解得.所以，因为对于任意实数时，存在正实数，使得，所以，可得即，设，令函数，则，当时，单调递减；当时，单调递增，故，则，故.设函数，因为，可知函数在上单调递减，故，解得或(舍去)，故的最小正整数值为3.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题； (4)考查数形结合思想的应用
