1、 专题专题 12 12 反比例函数反比例函数 一、单选题一、单选题 1 （2022 郴州）如图，在函数 =2( 0) 的图象上任取一点 A，过点 A 作 y 轴的垂线交函数 = 8( 0且 1） ，过点、的直线与两坐标轴相交于、两点，连接、，则下列结论中成立的是（ ） 点、在反比例函数 =的图象上； 成等腰直角三角形；0 0 时 0 C图象与 轴的交点是 (0，12) D 随 的增大而减小 7 （2021 南县）正比例函数 y2x 与反比例函数 y 2 的图象或性质的共有特征之一是（ ） A函数值 y 随 x 的增大而增大 B图象在第一、三象限都有分布 C图象与坐标轴有交点 D图象经过点（2，
2、1） 8 （2021 娄底）根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数 =+ （a 为常数且 0， 0 ）的性质表述中，正确的是（ ） y 随 x 的增大而增大；y 随 x 的增大而减小；0 1 ；0 1 A B C D 9 （2021 娄底）用数形结合等思想方法确定二次函数 = 2+ 2 的图象与反比例函数 =2 的图象的交点的横坐标 0 所在的范围是（ ） A0 014 B14 012 C12 034 D34”“=”或“ 0 时，均有 1 0) 和 2= 2( 0) ， 点M 为 y 轴正半轴上一点，N 为 x 轴上一点，过 M 作 y 轴的垂
3、线分别交 1,2 的图象于 A、B 两点，连接 AN，BN，则ABN 的面积为 . 三、综合题三、综合题 21 （2022 湘西）如图，一次函数 yax+1（a0）的图象与 x 轴交于点 A，与反比例函数 y的图象在第一象限交于点 B（1，3） ，过点 B 作 BCx 轴于点 C （1）求一次函数和反比例函数的解析式 （2）求ABC 的面积 22 （2022 长沙）若关于 x 的函数 y，当 12 +12时，函数 y 的最大值为 M，最小值为 N，令函数 =2，我们不妨把函数 h 称之为函数 y 的“共同体函数”. （1）若函数 = 4044，当 = 1时，求函数 y 的“共同体函数”h 的值
4、； 若函数 = + （ 0，k，b 为常数） ，求函数 y 的“共同体函数”h 的解析式； （2）若函数 =2 （ 1），求函数 y 的“共同体函数”h 的最大值； （3）若函数 = 2+ 4 + ，是否存在实数 k，使得函数 y 的最大值等于函数 y 的“共同体函数”h的最小值.若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由. 23（2022 岳阳）如图， 反比例函数 =( 0)与正比例函数 = ( 0)的图象交于点(1，2)和点，点是点关于轴的对称点，连接，. （1）求该反比例函数的解析式； （2）求 的面积； （3）请结合函数图象，直接写出不等式 的解集. 24 （2022 湘潭）已知 A
5、（3，0） 、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接 AB. （1）如图，点 P 在线段 AB 上，以点 P 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点 P 的反比例函数表达； （2）如图，点 N 是线段 OB 上一点，连接 AN，将AON 沿 AN 翻折，使得点 O 与线段 AB 上的点 M 重合，求经过 A、N 两点的一次函数表达式. 25 （2022 株洲）如图所示，在平面直角坐标系中，点 A、分别在函数1=2( 0， 0)的图象上， 点在第二象限内， 轴于点， 轴于点， 连接、 ， 已知点 A 的纵坐标为2. （1）求点 A 的横坐标； （2）记四边形的面积为 S，若点的横坐标为 2，试用
6、含的代数式表示 S. 26 （2022 衡阳）如图，反比例函数 = 的图象与一次函数 = + 的图象相交于 (3，1) ， (1，) 两点. （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）设直线 交 轴于点 ，点 ， 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形 是平行四边形，求点 的坐标. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：令 AB 与 y 轴的交点为 C， 点 A、B 分别在反比例函数 y=2、y=8上， SAOC=1，SBOC=4， SAOB=SAOC+SBOC=5. 故答案为：B. 【分析】令 AB 与 y 轴的交点为 C，根据反比例函数系数 k 的几何意义可
7、得 SAOC=1，SBOC=4，相加即可. 2 【答案】D 【解析】【解答】解： 点(，1)、(1，)的横纵坐标的积为， 点、在反比例函数 =的图象上；故符合题意； 设过点(，1)、(1，)的直线为： = + ， + = 1 + = ， 解得： = 1 = + 1， 直线 PQ 为： = + + 1， 当 = 0时， = + 1， 当 = 0时， = + 1， 所以： = = + 1， = 90， 所以 是等腰直角三角形，故符合题意； 点(，1)、(1，)（ 0且 1） ， 点(，1)、(1，)在第一象限，且 P，Q 不重合， 0 90， 故符合题意； (，1)，(1，)，而 PQ 在直线 =
8、 + + 1上， 如图， 显然是随的增大先减小，再逐渐增大，故不符合题意； 故答案为：D. 【分析】由题意可得点 P、Q 在反比例函数 y=的图象上，据此判断；表示出直线 PQ 的解析式，分别令 x=0、y=0，求出 y、x，可得 OA=OB=m+1，据此判断；由题意可得点 P、Q 在第一象限，且P，Q 不重合，据此判断；画出直线 PQ 的图象，结合图象可判断. 3 【答案】B 【解析】【解答】解：设 A（x，y） ，则 OB=x，AB=y， A 为反比例函数 y=1图象上一点， xy=1， SABO=12ABOB=12xy=12 1=12. 故答案为：B. 【分析】设 A（x，y） ，则 O
9、B=x，AB=y，根据点 A 在反比例函数图象上可得 xy=1，由三角形的面积公式可得 SABO=12xy，据此计算. 4 【答案】D 【解析】【解答】解：设(，1)， BDy 轴 SBCD=12 1=5， 解得： = 11 故答案为：D. 【分析】设 B（m，1） ，则 BD=m，BCD 的边 BD 上的高线为1，接下来根据三角形的面积公式就可求出 a 的值. 5 【答案】D 【解析】【解答】 ， = ， 平分 ， = ， = ，则 = = ，即 为等腰三角形， 过 点做 于点 . 则 垂直平分 ， = =12 = 3 ， = 90 ， = ， = = 90 ， ， = ，6=3 ， =18
10、 ， 在 中， ， 6 ， 故 关于 的函数图象是 D. 故答案为：D. 【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义可证得ACD=CAD，利用等角对等边可证得CD=AD=y，过点 D 作 DEAC 于点 E，由等腰三角形的性质，可推出 DE 垂直平分 AC，可求出 AE的长；再证明是ABCAED，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于 x，y 的方程，然后将方程转化为函数解析式，可知此函数是反比例函数且 x6，观察各选项中的图象，可得到符合题意的选项. 6 【答案】A 【解析】【解答】解：由图象可得： 1 0 ，即 1 ， A、图象与 x 轴没有交点，正确，故符合题意； B、当 0 1 时，
11、0 ，错误，故不符合题意； C、图象与 y 轴的交点是 (0， 2) ，错误，故不符合题意； D、当 1 时，y 随 x 的增大而减小，且 y 的值永远大于 0，错误，故不符合题意； 故答案为：A. 【分析】由函数解析式知 y0，故图象与 x 轴无交点，据此判断 A；当 0 0 时，图象位于第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，图象位于第一、三象限，y 随 x 的增大而减小；当 k 0， 0 ， 随着 x 的增大， + 也会随之增大， + 随着 x 的增大而减小， 此时 + 越来越小，则 1 + 越来越大， 故随着 x 的增大 y 也越来越大. 因此正确，错误； 0， 0 ，
12、0 + 1 ， 0 1 + 1 ， 故 0 0， 0，可得随着 x 的增大 + 越来越小， 则 1 + 越来越大， 据此判断； 由于 0， 0， 可得 0 + 1 ，即得 0 1 + 1 ，据此判断. 9 【答案】D 【解析】【解答】解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图： 由图知，显然 12 0 0 ， 此时反比例函数图象在二次函数图象的上方， 34 0 1 故答案为：D. 【分析】在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，根据函数图象进行判断即可. 10 【答案】D 【解析】【解答】解：A（ 12 ，y1） ，B（2，y2）为反比例函数 =1 图象上的两点， y12，y2 12
13、， 动点 P（x，0）在 x 轴的正半轴上运动，|APBP|AB， 延长 AB 交 x 轴于点 P，当点 P 在点 P时，PAPBAB 达到最大值， 设直线 AB 的函数解析式为 ykxb， 12 + = 22 + =12 ，得 = 1 =52 ， 直线 AB 的函数解析式为 yx 52 ， 当 y0 时，x 52 ， 当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时点 P 的坐标是（ 52 ，0） ， 故答案为：D. 【分析】延长 AB 交 x 轴于点 P，当点 P 在点 P时，PAPBAB 达到最大值，最大值为 AB 的长，先求出 A、B 坐标，再求出直线 AB 的解析式，求出 y=0 时 x
14、的值，即得点 P 坐标. 11 【答案】1（答案不唯一） 【解析】【解答】 反比例函数 y2的图象分支在第二，四象限， k-20 解之：k2. k 的值可用是 1. 故答案为：1（答案不唯一）. 【分析】观察函数图象可知 反比例函数 y2的图象分支在第二，四象限，可得到 k-20，解不等式求出 k 的取值范围，可得到 k 的值. 12 【答案】4 【解析】【解答】解：100 2.2 = 200 1.1 = 220 1 = 400 0.55 = 220 = 220 V， I=220 当电阻 = 55 时， =22055= 4 A. 故答案为：4. 【分析】将 R=100、I=2.2 代入 I=中
15、可得 U 的值，据此可得 R 与 I 的关系式，然后将 R=55 代入求解可得 I 的值. 13 【答案】3 【解析】【解答】解：设 BC 交 x 轴于 E，如图， x 轴为矩形 ABCD 的一条对称轴，且矩形 ABCD 的面积为 6， 四边形 DOEC 是矩形，且矩形 DOEC 面积是 3， 设 C（m，n） ，则 OE=m，CE=n， 矩形 DOEC 的面积是 3， mn=3， C 在反比例函数 y=的图象上， n=，即 k=mn， k=3. 故答案为：3. 【分析】设 BC 交 x 轴于 E，根据矩形的对称性可得矩形 DOEC 面积是 3，设 C（m，n） ，则 OE=m，CE=n，根据
16、矩形的面积公式可得 mn=3，根据点 C 在反比例函数图象上可得 mn=k，据此可得 k 的值. 14 【答案】（ 1 +， 1 + ） 【解析】【解答】解：过 B1作 B1M1x 轴于 M1，如图所示： 易知 M1（1，0）是 OA1的中点， A1（2，0） ， 可得 B1的坐标为（1，1） ， B1O 的解析式为：yx， B1OA1B2， A1B2的表达式一次项系数与 B1O 的一次项系数相等， 将 A1（2，0）代入 yx+b， b2， A1B2的表达式是 yx2， 与 y=1（x0）联立，解得 B2（1+2，1+2） ， 仿上，A2（22，0） ， B3（2 +3，2 + 3） ， 以
17、此类推，点 Bn 的坐标为（ 1 +， 1 + ）. 故答案为： （ 1 +， 1 + ）. 【分析】过 B1作 B1M1x 轴于 M1，根据等腰直角三角形的性质可得 M1（1，0）是 OA1的中点，则A1（2， 0） ， B1（1， 1） ， 求出B1O、 A1B2的解析式， 联立反比例函数解析式求出x、 y， 可得B2（1+2， 1+2） ，同理可得 A2、B3的坐标，进而推出 Bn的坐标. 15 【答案】y 3 【解析】【解答】解：图象在第二、四象限， y 3 ， 故答案为：y 3 . 【分析】由反比例函数的图象在第二、四象限，可得 k0，据此解答. 16 【答案】m3 【解析】【解答】
18、解：比例函数 y 3 图象上的每一条曲线上，y 随 x 的增大而增大， m30， m3. 故答案为：m3. 【分析】由反比例函数的性质结合已知条件可得 m-3 【解析】【解答】解： 反比例函数的解析式为 =3 ，k0， 在每个象限内 y 随 x 的增大而减小， 12， 1 2 . 故答案为：. 【分析】反比例函数的解析式为 =3 ，由于 k0，可得在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，据此解答即可. 18 【答案】k 0 时， 1+ 1 0 ， 说明 A、B 两点同时位于第一或第四象限， 当 1 0 时，均有 1 2 ， 在该图象上，y 随 x 的增大而增大， A、B 两点同时位于第四象限，
19、 所以 k0， 故答案为：k0. 【分析】由点 A、B 的横坐标易知 A、B 两点同时位于第一或第四象限，结合已知根据反比例函数的性质可知 k 0，随的增大而增大， =2=4044324044122= 2022， 若函数 = + ，当 0时， 12 +12， = ( +12) + ， = ( 12) + ， =2=2， 当 0时， =2， 0， 1，函数在第一象限内，随的增大而减小， 12 1， 解得 32， 当 12 +12时， =212=421， =2+12=42+1， =2=12(42142+1) =2(2+1)2(21)(21)(2+1)=4(21)(2+1)=4421， 当 32时，
20、42 1随的增大而增大， 当 =32时，42 1取得最小值，此时取得最大值， 最大值为 =4(21)(2+1)=424=12 （3）解：对于函数 = 2+ 4 + = ( 2)2+ 4 + ， = 1 0，抛物线开口向下， 2时，随的增大而减小， 当 = 2时，函数 y 的最大值等于4 + ， 在 12 +12时， 当 +12 2时，即 32时， = ( 12)2+ 4( 12) + ， = ( +12)2+ 4( +12) + ， =2=12*( +12)2+ 4( +12) + ,( 12)2+ 4( 12) + -+ = 2 ， 的最小值为12（当 =32时） ， 若12= 4 + ，
21、解得 = 72， 但 2时，即 52时， = ( 12)2+ 4( 12) + ， = ( +12)2+ 4( +12) + ， =2= 2， 的最小值为12（当 =52时） ， 若12= 4 + ， 解得 = 72， 但 52，故 = 72不合题意，故舍去 当 12 2 +12时，即32 52时， = 4 + ， i)当2 ( 12) ( +12) 2时，即32 2时 = ( 12)2+ 4( 12) + =2=4+(12)24(12)2=12252 +258 对称轴为 =52，12 0，抛物线开口向上，在32 2上， 当 =2 时，有最小值18， 18= 4 + 解得 = 318 i i)
22、当 2 ( 12) ( +12) 2时，即2 52时， = 4 + ， = ( +12)2+ 4( +12) + ， =2=4+(+12)24(+12)2=12232 +98， 对称轴为 =32，12 0，抛物线开口向上，在2 0 时，y 随 x 的增大而增大，据此表示出 M、N，然后代入 h=2中进行计算可得 h 的值；同理可求出 k0 时 h 的值； （2）根据反比例函数的性质可得图象在第一象限内，y 随 x 的增大而减小，根据 x1 可得 t 的范围，根据函数的增减性可得 M、N，然后表示出 h，再结合二次函数的性质求解即可； （3）根据二次函数的性质可得：图象开口向下，分 t+122、
23、t-122t+12，确定出函数的最值，据此可得 M、N，进而可表示出 h，求出 h 的最小值. 23 【答案】（1）解：把点(1，2)代入 =( 0)得：2 =1， = 2， 反比例函数的解析式为 = 2 （2）解：反比例函数 =( 0)与正比例函数 = ( 0)的图象交于点(1，2)和点， (1， 2)， 点是点关于轴的对称点， (1，2)， = 2， =12 2 (2 + 2) = 4 （3）解：根据图象得：不等式 的解集为 1或0 1 【解析】【分析】 （1）将 A（-1，2）代入 y=中求出 k 的值，据此可得反比例函数的解析式； （2）易得 B（1，-2） ，根据点 C 是点 A 关
24、于 y 轴的对称点可得 C（1，2） ，则 CA=2，然后根据三角形的面积公式进行计算； （3）根据图象，找出反比例函数图象在正比例函数图象下方部分所对应的 x 的范围即可. 24 【答案】（1）解：设直线 AB 的解析式为：y=kx+b（k0） ， 则0 = 3 + = 4， 解得 = 43 = 4， y=-43x+4， P 分别与 x 轴和 y 轴相切， 设 P（a，a） ， a=-43a+4， 解得：a=127， P（127，127） ， 设反比例函数解析式为：y=， m=xy=127127=14449， y=14449； （2）解：AM=OA=3，AB=2+ 2=5， BM=AB-AM
25、=2， BMN=AOB=90 ，ABO=MBN， BMNBOA， =， 即3=24， 解得 MN=32， ON=NM=1.5， N(0，32)， 设经过 A、N 两点的一次函数表达式为 y=kx+32， 0=3k+32， 解得 k=-32， y=-12x+32. 【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出直线 AB 的解析式，设 P（a，a） ，将其代入解析式求出 P 点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式即可； (2)利用勾股定理求出 AB 长， 证明BMNBOA， 根据相似比的性质求出 MN 长， 则可得出 ON 长，从而得出 N 点坐标，再根据待定系数法求直线 AN 的解析式即可.
26、25 【答案】（1）解：将 y=-2 代入1=2( 0)中， 2 =2，解得： = 1， A（-1，-2）. （2）解：由题意可得 B（2，2） ， 轴， 轴， C（-1，2） ， = =12 12 =12(2 +2)(2 + 1) 122 1 = 3 +344 = 3 +2. 【解析】【分析】 （1）将 y=-2 代入 y1=2中求出 x 的值，据此可得点 A 的坐标； （2） 由题意可得 B（2，2） ，则 C（-1，2） ，然后根据 S=SABC-SPCQ进行解答. 26 【答案】（1）解：点 A 在反比例函数图象上， m=1 3=3， 反比例函数解析式为 =3； 点 B 在反比例函数图
27、象上， -n=3 解之：n=3 点 B（-1，3） ， 点 A，B 在一次函数图象上， 3+ = 1+ = 3 解之： = 1 = 2 一次函数解析式为 y=x-2. （2）解：由题 = 2 ，且四边形 为平行四边形，且 固定， ， 横坐标相同，设 (，3) ， (， 2) ， = 即 3 ( 2) = 2 ，解得 = 3 ， (3，3) 或 (3， 3) 【解析】【分析】 （1）将点 A 的坐标代入反比例函数解析式，可求出 m 的值，可得到反比例函数解析式；再将点 B 的坐标代入反比例函数解析式，可求出 n 的值，可得到点 B 的坐标；然后将点 A，B 的坐标代入一次函数解析式，可得到关于 k，b 的方程组，解方程组求出 k，b 的值，由此可得到一次函数解析式. （2） 由题意可知 OC=2， 再利用平行四边形的性质， 可知点 M， N 的横坐标相同， 因此设 (，3) ， (， 2) ，由 OC=MN，可得到关于 t 的方程，解方程求出 t 的值，即可得到点 M 的坐标.
