1、 第第 4 章相似三角形解答题专练章相似三角形解答题专练 一解答题（共一解答题（共 20 小题）小题） 1 （1）已知线段 a2，b9，求线段 a，b 的比例中项 （2）已知 x：y4：3，求的值 2如图，ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图 （1）在图甲中以点 A 为位似中心，作ABC 的位似图形，使得与ABC 的位似比为 1：2 （2） 在图乙中作出ABC 的相似三角形， 使得该三角形的顶点都在格点上， 且与ABC 相似比为 1： 2 3 （2022 秋温州期中）如图，已知ABCADE，AB15，BD3，BC12，求 DE 的长 4 （2021 秋鹿城区校级期中）铁
2、路道口的栏杆如图，其 A，B 两端到旋转支点 C 的距离分别为 AC1.2m，BC15m栏杆在水平状态下到地面的距离 CD 为 1.3m，栏杆绕点 C 转动，当 A 端下降至离地距离 AE为 0.9m 时，求此时 B 端到地面的距离（BF）为多少米？ 5 （2021 秋温州校级期中）如图，在等腰ABC 中，ABAC，点 P 在 BA 的延长线上，PB3PA，点 D在 BC 边上，BPDACP （1）求证：PDPC； （2）求的值 6 （2022 秋温州期中）如图，E 是半圆 O 上一点，C 是的中点，直径 AB弦 DC，交 AE 于点 F （1）求证：CFAF （2）连结 OE，当 AB4，O
3、ECD 时，求 EF 的值 7 （2021 秋鹿城区校级期中）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，F 为上一点，= ，连结 CF 分别交 AB，AD 于点 G，H （1）求证：FHGH （2）若 AH：CH3：4，且 AF15，求 GB 的长 8 （2021 秋鹿城区校级期中）我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形在如下 99 的方格中已给出格点三角形 ABC 和格点 D，请根据下列要求在方格中画图 （1）在图 1 中，作与ABC 相似的格点DEF，且满足 SDEF2SABC （2）在图 2 中，作与ABC 相似的格点PEF，使点 D 为斜边 EF 的三等分点 9 （2021
4、 秋鹿城区校级期中）如图，在 66 的正方形网格中，ABC 的三个顶点都在格点上，请按要求画出格点三角形（顶点都在格点上） ，并填空： （1）在图中，画出一个DEF，使DEFABC（相似比不为 1） ； （2）在图中，画出一个APB，使P=12ACB DEF 与ABC 的相似比为 ，满足条件的点 P 有 个 10 （2021 秋鹿城区校级期中）如图 1，四边形 ABCD 中，ABDBCD90，DB 平分ADC，若CD4，AD6 （1）求 BD 的长 （2）如图 2，过点 B 作 BMCD 交 AD 于 M，连接 CM 交 DB 于 N求 DN 的长 11 （2021 秋乐清市期末）如图，ABC
5、 是格点三角形（三角形的三个顶点都在格点上） ，每个小正方形的边长均为 1 （1）在图（1）中将ABC 绕点 C 逆时针旋转 90，得到CDE （2）在图（2）中找格 P，使以格点 P、C、B 为顶点的三角形与ABC 相似，但不全等，请画出一个符合条件的三角形 12 （2021 秋温州期末）如图，在 66 的正方形网格中，点 A，B，C 均在格点上，请按要求作图 （1）在图 1 中画一个格点ADE，使ADEABC （2）在图 2 中画一条格点线段 BP，交 AC 于点 Q，使 CQ2AQ 13 （2021 秋温州期末）如图，四边形 ABCD 内接于半圆 O，AB 是直径，C 是的中点，延长 A
6、D，BC交于点 E （1）求证：CECD （2）若 AB5，BC= 5，求 AD 的长 14 （2021 秋瑞安市期末）如图，在 66 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，点 A，B，C 均在格点上请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上 （1）在图 1 中以线段 AB 为边画一个ABD，使其与ABC 相似，但不全等 （2）在图 2 中画一个EFG，使其与ABC 相似，且面积为 8 15 （2021 秋瑞安市期末）如图，在 RtABC 中，C90，D 是 BC 上一点，连接 AD，ACD 的外接圆O 交 AB 于点 E，点 F 是上一点，且ADFABC，连接 AF，DF （1）
7、求证：= （2）当 E 为 AB 中点时，AF=52，AC2，求 BC 的长度 16 （2021 春永嘉县校级期末）如图，已知 C 是线段 AB 上的一点，分别以 AC、BC 为边在线段 AB 同侧作正方形 ACDE 和正方形 CBGF，点 F 在 CD 上，联结 AF、BD，BD 与 FG 交于点 M，点 N 是边 AC 上的一点，联结 EN 交 AF 与点 H （1）求证：AFBD； （2）如果=，求证：AFEN 17 （2021 春永嘉县校级期末）如图 1，在 88 方格纸中，ABC 的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点都在方格的顶点上 （1）请在图 2 中画一个
8、三角形，使它与ABC 相似，且相似比为 2：1； （2）请在图 3 中画一个三角形，使它与ABC 相似，且相似比为2：1 18 （2020 秋温州期末）如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 边中点，BE 的中垂线分别交 AB，BE，CD，BC的延长线于点 F，H，G，N，延长 FE 交 CD 的延长线于点 M （1）证明：ABECNG （2）连接 BG，当 ABCN 时，求EBG 的度数 （3）当 BCCN 时，求 AD：AB 的值 19 （2020 秋永嘉县校级期末）如图，已知在ABC 中，BCAB，BD 平分ABC，交边 AC 于点 D，E是 BC 边上一点，且 BEBA，过点 A 作
9、 AGDE，分别交 BD、BC 于点 F、G，联结 FE （1）求证：四边形 AFED 是菱形； （2）求证：AB2BGBC； （3）若 ABAC，BGCE，联结 AE，求的值 20 （2021 春永嘉县校级期末）如图，抛物线 y（x1）2+4 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，CDx 轴交抛物线另一点 D，连接 AC，DEAC 交边 CB 于点 E （1）求 A，B 两点的坐标； （2）求CDE 与BAC 的面积之比 参考答案解析参考答案解析 一解答题（共一解答题（共 20 小题）小题） 1 （1）已知线段 a2，b9，求线段 a，b 的比例中项
10、（2）已知 x：y4：3，求的值 【解答】解： （1）设线段 x 是线段 a，b 的比例中项， a3，b6， x23618， x= 32（负值舍去） 线段 a，b 的比例中项是 32 （2）设 x4k，y3k， =343= 13 2如图，ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图 （1）在图甲中以点 A 为位似中心，作ABC 的位似图形，使得与ABC 的位似比为 1：2 （2） 在图乙中作出ABC 的相似三角形， 使得该三角形的顶点都在格点上， 且与ABC 相似比为 1： 2 【解答】解：如图： （1）ABC即为所求； （2）DEF 即为所求 3 （2022 秋温州期中）如图
11、，已知ABCADE，AB15，BD3，BC12，求 DE 的长 【解答】解：ABCADE， AB：ADBC：DE， AB15，BD3，BC12， 15： （15+3）12：DE， 解得 DE=725 4 （2021 秋鹿城区校级期中）铁路道口的栏杆如图，其 A，B 两端到旋转支点 C 的距离分别为 AC1.2m，BC15m栏杆在水平状态下到地面的距离 CD 为 1.3m，栏杆绕点 C 转动，当 A 端下降至离地距离 AE为 0.9m 时，求此时 B 端到地面的距离（BF）为多少米？ 【解答】解：如图，由题意可得：AC1.2m，BC15m，AA1.30.90.4m， AAAB，BBAB， AAB
12、B， AACBBC， =， 1.215=0.4， BB5， BF5+1.36.3（米） 5 （2021 秋温州校级期中）如图，在等腰ABC 中，ABAC，点 P 在 BA 的延长线上，PB3PA，点 D在 BC 边上，BPDACP （1）求证：PDPC； （2）求的值 【解答】 （1）证明：如图，ABAC， BACB， BPDACP， B+BPDACB+ACP， PDCB+BPD，PCDACB+ACP， PDCPCD， PDPC （2）解：如图，过点 D 作 DEAC 交 AB 于点 E， DEPPAC， EPDACP，PDCP， EPDACP（AAS） ， EPAC， EPAB， EPAEA
13、BAE， APBE， PB3PA， AB2AP2BE， BEAE， =1， 的值为 1 6 （2022 秋温州期中）如图，E 是半圆 O 上一点，C 是的中点，直径 AB弦 DC，交 AE 于点 F （1）求证：CFAF （2）连结 OE，当 AB4，OECD 时，求 EF 的值 【解答】 （1）证明：= ， BACEAC， ABDC， DCABAC， DCAEAC， CFAF （2）解：连结 OE、OC，OE 交 CD 于点 G，则 OCOA， OACOCA， 由（1）得OACFAC， OCAFAC， OCAF， CFOA， 四边形 OAFC 是菱形， AB4， OEOAFA2， OECD，
14、ABDC， AOEDGE90， AE= 2+ 2= 22+ 22=22， EFAEAF22 2， EF 的值为 22 2 7 （2021 秋鹿城区校级期中）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，F 为上一点，= ，连结 CF 分别交 AB，AD 于点 G，H （1）求证：FHGH （2）若 AH：CH3：4，且 AF15，求 GB 的长 【解答】 （1）证明：如图，连结 AC， AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E， = ，= ， DACD， = ， = ， DCFBAC， AGFACF+BACACF+DCFACD， FD， FAGF， AFAG， FADBAD， FHGH
15、（2）解：如图，连结 BC，设 BEm， 根据题意得 AF15，=34， AGAF15， FD，AHFCHD， AHFCHD， =34， CD=431520， CEDE=12CD10， BCEGCE，CECE，CEBCEG90， BCEGCE， GEBEm， BCECAE，CEBAEC， CEBAEC， =， BECECE2， m（15+m）102， 解得 m15，m220（不符合题意，舍去） ， GEBE5， GBGE+BE10， GB 的长为 10 8 （2021 秋鹿城区校级期中）我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形在如下 99 的方格中已给出格点三角形 ABC 和格点 D，请根据
16、下列要求在方格中画图 （1）在图 1 中，作与ABC 相似的格点DEF，且满足 SDEF2SABC （2）在图 2 中，作与ABC 相似的格点PEF，使点 D 为斜边 EF 的三等分点 【解答】解： （1）如图 1 中，DEF 即为所求； （2）如图 2 中，PEF 即为所求 9 （2021 秋鹿城区校级期中）如图，在 66 的正方形网格中，ABC 的三个顶点都在格点上，请按要求画出格点三角形（顶点都在格点上） ，并填空： （1）在图中，画出一个DEF，使DEFABC（相似比不为 1） ； （2）在图中，画出一个APB，使P=12ACB DEF 与ABC 的相似比为 2 ，满足条件的点 P 有
17、 6 个 【解答】解： （1）如图中，DEF 即为所求，相似比为2 （2）如图，点 P 即为所求满足条件的点 P 有 6 个， 故答案为：2，6 10 （2021 秋鹿城区校级期中）如图 1，四边形 ABCD 中，ABDBCD90，DB 平分ADC，若CD4，AD6 （1）求 BD 的长 （2）如图 2，过点 B 作 BMCD 交 AD 于 M，连接 CM 交 DB 于 N求 DN 的长 【解答】解： （1）DB 平分ADC， ADBBDC， 又ABDBCD90， ADBBDC， =， CD4，AD6， 6=4， 解得 BD26； （2）BMCD，DB 平分ADC， MBDBDC，BDCBDM
18、， MBDBDM， MBMD， 又MBD+MBAABD90，BDM+A90， MBAA， MBMA， MB=12AD3， BMCD， MNBCND， =， 34=， =47， BD26， DN=47DB=4726 =867， 即 DN 的长是867 11 （2021 秋乐清市期末）如图，ABC 是格点三角形（三角形的三个顶点都在格点上） ，每个小正方形的边长均为 1 （1）在图（1）中将ABC 绕点 C 逆时针旋转 90，得到CDE （2）在图（2）中找格 P，使以格点 P、C、B 为顶点的三角形与ABC 相似，但不全等，请画出一个符合条件的三角形 【解答】解： （1）如图（1）中，CDE 即
19、为所求； （2）如图（2）中，PCB 即为所求 12 （2021 秋温州期末）如图，在 66 的正方形网格中，点 A，B，C 均在格点上，请按要求作图 （1）在图 1 中画一个格点ADE，使ADEABC （2）在图 2 中画一条格点线段 BP，交 AC 于点 Q，使 CQ2AQ 【解答】解： （1）如图 1 所示，ADE 即为所求； （2）如图 2 所示，线段 BP 即为所求 13 （2021 秋温州期末）如图，四边形 ABCD 内接于半圆 O，AB 是直径，C 是的中点，延长 AD，BC交于点 E （1）求证：CECD （2）若 AB5，BC= 5，求 AD 的长 【解答】 （1）证明：连接
20、 AC， C 是的中点， = ， EACBAC，CDCB， AB 是直径， ACEACB90， 在ACE 与ACB 中， = = = ， ACEACB（ASA） ， BCEC， CDCE； （2）解：连接 BD， 由（1）知，CEBC= 5， BEBC+CE25， 四边形 ABCD 内接于半圆 O， ABC+ADC180， ADC+CDE180， ABCCDE， CECD， ECDEABC， AB 为直径， ADB90， BDE90， ACBBDE90，ABCE， ABCBED， =， 525=5， ED2， ACEACB， AEAB5， ADAEED523 14 （2021 秋瑞安市期末）如
21、图，在 66 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，点 A，B，C 均在格点上请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上 （1）在图 1 中以线段 AB 为边画一个ABD，使其与ABC 相似，但不全等 （2）在图 2 中画一个EFG，使其与ABC 相似，且面积为 8 【解答】解： （1）如图，ABD 即为所求； （2）如图，EFG 即为所求 15 （2021 秋瑞安市期末）如图，在 RtABC 中，C90，D 是 BC 上一点，连接 AD，ACD 的外接圆O 交 AB 于点 E，点 F 是上一点，且ADFABC，连接 AF，DF （1）求证：= （2）当 E 为 AB 中点时，AF
22、=52，AC2，求 BC 的长度 【解答】 （1）证明：ADFABC， BACDAF， CAD+BADBAD+EAF， CADEAF， = ； （2）解：连接 DE， = ， DFCE， E 为 AB 中点， CEAEBE=12AB， DF=12AB， ADFABC， =， AF=52，AC2， =54， 设 DF= 5x，BC4x， AB25x， 在 RtABC 中：AC2+BC2AB2， 4+16x220 x2， 解得 x1（负值舍去） ， BC4 16 （2021 春永嘉县校级期末）如图，已知 C 是线段 AB 上的一点，分别以 AC、BC 为边在线段 AB 同侧作正方形 ACDE 和正
23、方形 CBGF，点 F 在 CD 上，联结 AF、BD，BD 与 FG 交于点 M，点 N 是边 AC 上的一点，联结 EN 交 AF 与点 H （1）求证：AFBD； （2）如果=，求证：AFEN 【解答】解： （1）四边形 ACDE 和四边形 BCFG 都为正方形， ACDC，ACDBCD90，BCCF， 在AFC 和DBC 中， = = = ， AFCDBC（SAS） AFBD （2）AFCDBC， CAFCDB， CDBG， CDBMBG， CAFMBG， ACFBGM90， BGMACF， =， BGGFFC， =， =， ANFC， 在AEN 和CAF 中， = = = 90 =
24、AENCAF（SAS） ， ENAAFC， FAC+AFC90， FAC+ENA90， AHN90， AFEN 17 （2021 春永嘉县校级期末）如图 1，在 88 方格纸中，ABC 的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点都在方格的顶点上 （1）请在图 2 中画一个三角形，使它与ABC 相似，且相似比为 2：1； （2）请在图 3 中画一个三角形，使它与ABC 相似，且相似比为2：1 【解答】解： （1）如图 2 所示：A1B1C1即为所求； （2）如图 3 所示：A2B2C2即为所求 18 （2020 秋温州期末）如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 边中点，BE
25、 的中垂线分别交 AB，BE，CD，BC的延长线于点 F，H，G，N，延长 FE 交 CD 的延长线于点 M （1）证明：ABECNG （2）连接 BG，当 ABCN 时，求EBG 的度数 （3）当 BCCN 时，求 AD：AB 的值 【解答】解： （1）BEFN， BHF90， HFB+HBF90 在矩形 ABCD 中，ABCABCD90， HFB+N90，NCG90， HBFN，ANCG， ABECNG （2）如图 1，连接 EG， ABECNG， ABCN， ABECNG， AECG， E 为 AD 边中点， DEAECG FN 是 BE 的中垂线， EGBG DBCD90， RtDEG
26、RtCGB（HL） ， DGECBG CBG+CGB90， DGE+CGB90， BGE90， BGE 是等腰直角三角形， EBG45 （3）法 1：如图 2，连接 EN 交 CD 于点 P， FN 是 BE 的中垂线， ENBN， E 为 AD 边中点， =12 =12 =12， ADBC， DEPCNP， =12 设 DEa，则 BCCN2a，ENBNBC+CN4a， =13 =43， = 2 2=73， = = 3 = 7， =772=277 法 2： （略解）由CNGBNF 得= 2 易证得MEDFEA， DMAF，MEFE 设 CGa，则 MEFEBF2a，MFMG4a， CM5a，
27、 MC+BF7a，即 2AB7a， =72， = =32， = 2 2=72， = 2 = 7， =772=277 法 3： （如图，略解）作 GKAB 于点 K， 易证得MFGGFB， =， = 2 设 FKBKa，则 EFBF2a， = 22， 在 RtGKF 中， = 2 2=(22)2 2= 7， = = 7， =72， = 2 2=(2)2 (72)2=32， = + =72， =772=277 19 （2020 秋永嘉县校级期末）如图，已知在ABC 中，BCAB，BD 平分ABC，交边 AC 于点 D，E是 BC 边上一点，且 BEBA，过点 A 作 AGDE，分别交 BD、BC
28、于点 F、G，联结 FE （1）求证：四边形 AFED 是菱形； （2）求证：AB2BGBC； （3）若 ABAC，BGCE，联结 AE，求的值 【解答】解： （1）证明：如图， BD 平分ABC， ABFEBF， BABE，BFBF， ABFEBF（SAS） ， AFEF， 同理可得ABDEBD（SAS） ， ADED，ADBEDB， AGDE， AFDEDF， AFDADF， AFAD， AFFEEDDA， 四边形 AFED 是菱形 （2）证明：由（1）得ABFEBF， BAGBEF， 四边形 AFED 是菱形， ADFE， BEFC， BAGC， ABGCBA， ABGCBA， =，即
29、AB2BGBC （3）由（2）得，ABGCBA，ABAC， AGBG， GABGBA， AGC2GAB， BGCE， BECG， CGCA， CAGCGA， CAG2DAE， DAEABC， DEAACB， DAEABC， =（）2， AB2BGBC，ABBE，BGEC， BE2ECBC， 点 E 是 BC 的黄金分割点， =512， =352， EACC， CEAE， =352， =7352 20 （2021 春永嘉县校级期末）如图，抛物线 y（x1）2+4 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，CDx 轴交抛物线另一点 D，连接 AC，DEAC 交边 CB 于点 E （1）求 A，B 两点的坐标； （2）求CDE 与BAC 的面积之比 【解答】解： （1）令 y0，则（x1）2+40，解得 x11，x23， A（1，0） ，B（3，0） ； （2）CDAB，DEAC， CDEBAC 当 y3 时，x10，x22， CD2 AB4， =12， =（12）2=14
