1、浙江省杭州市2023-2024学年上学期九年级数学收心练习一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（）ABCD2下列式子中属于最简二次根式的是（）ABCD3罕见病“脊髓性肌萎缩症”治疗用药利司扑兰口服液在2023年医保谈判中经两轮“砍价”，从63800元/瓶降至3900元/瓶，成功进入医保目录设这两轮谈判药物价格平均下降率为x，则可列方程为（）A3900（1+x）263800B63800x23900C3900（1x）263800D63800（1x）239004下列各点在反比例函数图象上的是（）A（2，3）BCD（6，1）5用反证法证明“
2、在直角三角形中至少有一个锐角小于或等于45”，应假设两个锐角（）A都大于45B都小于45C都不大于45D都不小于456已知一组数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数为6，则另一组数据x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均数为（）A5B6C7D不确定7如图，在ABCD中，CD6，CEAB，垂足为E点F在CE上，CF4，连结AF，BF，点M，N分别是AF，BC的中点，连结MN，则MN的长为（）A3BC4D8已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c0，及函数，y2cx+b （a，b，c为常数，且ac0），则（）A若方程ax2+bx+c0有解，则函数y1，y2的图象一定有交点B若方程
3、ax2+bx+c0有解，则函数y1，y2的图象一定没有交点C若方程ax2+bx+c0无解，则函数y1，y2的图象一定有交点D若方程ax2+bx+c0无解，则函数y1，y2的图象一定没有交点9如图，已知四边形ABCD中，ACBD，AC6，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则EF的长是（）A3BCD10定义符号mina，b的含义为：当ab时mina，bb；当ab时mina，ba如：min1，33，min4，24则minx2+1，x的最大值是（）ABC1D0二.认真填一填（本题有6个小题，每个小题4分，共24分）11一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 12若代数式
4、有意义，则实数x的取值范围是 13若关于x的一元二次方程ax2+bx10有一个根为2，则2ab 14将抛物线y3x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的新的抛物线的解析式为 15如图，ABCD的面积为18，点E在BC上，点F，G在AD上，则图中阴影部分的面积为 16如图，等腰ABC的面积为100，底边BC在x轴上，腰AB交y轴于点D，反比例函数的图象交腰AB于点E，F，反比例函数（x0）的图象交腰AC于点A，G，恰有FGBC，FG交y轴于点H，且DFH面积为18则k2k1的值为 三.全面答一答（本题有7个小题，共66分）17（1）计算：； （2）解方程：x28x+7018为
5、了了解某班20名同学甲、乙两门课程的学习情况，分别对其测试后统计成绩并整理数据如下：20名同学甲课程的成绩（单位：分）：61，65，68，71，72，72，73，73，73，73，75，78，82，84，86，86，88，90，93，9820名同学乙课程成绩的频数分布直方图（每一组包含前一个边界值，不包含后一个边界值）如图所示，根据以上信息，回答下列问题：（1）这20名同学甲课程成绩的众数为 分，中位数为 分（2）依次记左边5060的分数段为第1组，90100的分数段为第5组，则乙课程成绩的中位数在第 组内（3）在此次测试中，小聪同学甲课程成绩为75分，乙课程成绩为78分，他哪一门课程的成绩排
6、名更靠前？请说明理由19某连锁超市以每支3元的价格购进某品牌牙膏，规定牙膏销售单价不低于进价又不高于5.5元，经市场调研发现，牙膏的日均销售量y（万支）与销售单价x（元）之间存在着如图所示关系（1）求牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式（写出x的取值范围）；（2）若该连锁超市想要获得9万元的日均销售利润，牙膏的销售单价应定为多少元？（3）该超市日均销售利润能否达到13万元？请说明理由20如图，在ABCD中，已知AECF，DMBN，EF与MN交于点O，且MNEF（1）试判断四边形ENFM的形状，并说明理由（2）若B2MNF，且MN4，EF2，求AB的长21观察下列各式：；（
7、1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： ；（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式，并验证；（3）利用上述规律计算22如图1，在平行四边形ABCD中，ABC为钝角，BE，BF分别为边AD，CD上的高，交边AD，CD于点E，F，连结EF（1）求证：EBFC；（2）若BFEF，求证：CFDF；如图2，连结BD交EF于点O，若BF2CF，ABE的面积为4，求BOE与DOF的面积之差23问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AD6动手实践：（1）如图1，A小组将矩形纸片ABCD折叠，点D落在
8、AB边上的点E处，折痕为AF，连接EF，然后将纸片展平，得到四边形AEFD试判断四边形AEFD的形状，并加以证明；（2）如图2，B小组将矩形纸片ABCD对折使AB与DC重合，展平后得到折痕PQ，再次过点A折叠使点D落在折痕PQ上的点N处，得到折痕AM，连结MN，展平后得到四边形ANMD，请求出四边形ANMD的面积；深度探究：（3）如图3，C小组将图1中的四边形EFCB剪去，然后在边AD，EF上取点G，H，将四边形AEFD沿GH折叠，使A点的对应点A始终落在边DF上（点A不与点D，F重合），点E落在点E处，AE与EF交于点T探究当A在DF上运动时，FTA的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不
9、变，请求出该定值；探究直接写出四边形GAEH面积的最小值参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（）ABCD【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形【解答】解：A该图不是中心对称图形，故不符合题意；B该图是中心对称图形，故符合题意；C该图不是中心对称图形，故不符合题意；D该图不是中心对称图形，故不符合题意；故选：B【点评】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键2下列式子中属于最简二次根式的是（）ABCD
10、【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可【解答】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B、是最简二次根式，故此选项符合题意；C、2，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；故选：B【点评】本题考查了最简二次根式的定义，熟知：如果二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式3罕见病“脊髓性肌萎缩症”治疗用药利司扑兰口服液在2023年医保谈判中经两轮“砍价”，从63800元/瓶降至3900元/瓶，成功进入医保目录设这两轮谈判药物价格
11、平均下降率为x，则可列方程为（）A3900（1+x）263800B63800x23900C3900（1x）263800D63800（1x）23900【分析】根据经两轮“砍价”，从63800元/瓶降至3900元/瓶，即可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论【解答】解：依题意，得：63800（1x）23900故选：D【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键4下列各点在反比例函数图象上的是（）A（2，3）BCD（6，1）【分析】由于点在反比例函数图象上，那么点的坐标满足函数的解析式，由此即可确定选择项【解答】解：反比例函数为，236，点（2，3
12、）满足函数解析式，故A符合题意；26，故B不符合题意；1，故C不符合题意；6（1）6，故D不符合题意；故选：A【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，解题的关键是利用反比例函数的图象的点坐标特点解决问题5用反证法证明“在直角三角形中至少有一个锐角小于或等于45”，应假设两个锐角（）A都大于45B都小于45C都不大于45D都不小于45【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中至少有一个锐角小于或等于45”时，应先假设每一个锐角都大于45，即两个锐角都大于45故选：A【点评】本题考查了反证
13、法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定6已知一组数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数为6，则另一组数据x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均数为（）A5B6C7D不确定【分析】根据平均数的定义解答即可【解答】解：一组数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数为：+4+26，另一组数据x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均数为：+4+37故选：C【点评】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的平均数7如图，在ABCD中，CD6，
14、CEAB，垂足为E点F在CE上，CF4，连结AF，BF，点M，N分别是AF，BC的中点，连结MN，则MN的长为（）A3BC4D【分析】连结AC，取AC的中点H，连结HN交CE于点I，连结HM，由平行四边形的性质得ABCD6，由点M，N分别是AF，BC的中点，根据三角形的中位线定理得HMCF，HMCF2，HNAB，HNAB3，则MHNEINAEC90，所以MN，于是得到问题的答案【解答】解：连结AC，取AC的中点H，连结HN交CE于点I，连结HM，四边形ABCD是平行四边形，CD6，ABCD6，点M，N分别是AF，BC的中点，CF4，HMCF，HMCF2，HNAB，HNAB3，CEAB于点E，M
15、HNEINAEC90，MN，故选：B【点评】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、平行线的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键8已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c0，及函数，y2cx+b （a，b，c为常数，且ac0），则（）A若方程ax2+bx+c0有解，则函数y1，y2的图象一定有交点B若方程ax2+bx+c0有解，则函数y1，y2的图象一定没有交点C若方程ax2+bx+c0无解，则函数y1，y2的图象一定有交点D若方程ax2+bx+c0无解，则函数y1，y2的图象一定没有交点【分析】令cx+b，整理得cx2+bxa0，若b24c（a）b2+4ac0
16、，函数y1，y2的图象有交点，若b24c（a）b2+4ac0，没有交点【解答】解：令cx+b，整理得cx2+bxa0，若b24c（a）b2+4ac0，函数y1，y2的图象有交点，若b24c（a）b2+4ac0，没有交点，若方程ax2+bx+c0有解，则b24ac0，无法判定b2+4ac的符号，故A、B不合题意；若方程ax2+bx+c0无解，则b24ac0，0b24ac，b2+4ac0，函数y1，y2的图象一定有交点，故C符合题意，D不合题意故选：C【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了函数与方程的关系，根的判别式，熟练掌握函数与方程的关系是解题的关键9如图，已知四边形ABCD中，
17、ACBD，AC6，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则EF的长是（）A3BCD【分析】取AB的中点G，连接EG、FG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EG、FG，并求出EGFG，然后利用勾股定理列式计算即可得解【解答】解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，E、F分别是边AD、CB的中点，EGBD且EGBD63，FGAC且FGAC63，ACBD，EGFG，EF3故选：C【点评】本题考查了三角形的中位线，掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用是解题的关键10定义符号mina，b的含义为：当ab时mina，bb；当ab时mina，ba如
18、：min1，33，min4，24则minx2+1，x的最大值是（）ABC1D0【分析】mina，b的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数yx2+1与正比例函数yx的图象，如图所示设它们交于点A、B令x2+1x，即x2x10，解得：x或，A（，），B（，）观察图象可知：当x时，minx2+1，xx2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；当x时，minx2+1，xx，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于；当x时，minx2+1，xx2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为综上所述，minx2+1，x的最大值是故选
19、：A【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义mina，b和掌握函数的性质是解题的关键二填空题（共6小题）11一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 6【分析】n边形的内角和可以表示成（n2）180，外角和为360，根据题意列方程求解【解答】解：设这个多边形的边数为n，依题意，得：（n2）1802360，解得，n6故答案为：6【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数12若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x2【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可【
20、解答】解：由题意得：x20，解得：x2，故答案为：x2【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键13若关于x的一元二次方程ax2+bx10有一个根为2，则2ab【分析】将x2代入原方程可得4a2b1，等式两边同时除以2即可求解【解答】解：关于x的一元二次方程ax2+bx10（a0）有一个根为2，4a2b10，4a2b1，2ab，故答案为：【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将x2代入原方程14将抛物线y3x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的新的抛物线的解析式为 y3（x1）2+2【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下
21、减的平移规律进行解答即可【解答】解：函数y3x2向右平移1个单位，得：y3（x1）2；再向上平移3个单位，得：y3（x1）2+2故答案为：y3（x1）2+2【点评】此题主要考查了函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键15如图，ABCD的面积为18，点E在BC上，点F，G在AD上，则图中阴影部分的面积为 9【分析】由平行四边形的性质得ADBC，设AD与BC之间的距离为h，则SABCDhBC，而SFBE+SGCEhBE+hCEhBC，所以SFBE+SGCESABCD，即可求得图中阴影部分的面积为9，于是得到问题的答案【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，设A
22、D与BC之间的距离为h，则SABCDhBC，SFBE+SGCEhBE+hCEhBC，SFBE+SGCESABCD199，图中阴影部分的面积为9，故答案为：9【点评】此题重点考查平行四边形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、平行四边形的面积公式、三角形的面积公式等知识，证明图中阴影部分的面积是平行四边形ABCD的面积的一半是解题的关键16如图，等腰ABC的面积为100，底边BC在x轴上，腰AB交y轴于点D，反比例函数的图象交腰AB于点E，F，反比例函数（x0）的图象交腰AC于点A，G，恰有FGBC，FG交y轴于点H，且DFH面积为18则k2k1的值为 32【分析】过点A作AMx轴于点M，设A（
23、x0，y0），则x0y0k2，AMy0，然后由ABC的面积得到BC的长，即可得到CM和BM的长，然后求得直线AC的解析式，再联立反比例函数y2（x0）求得点G的坐标，再由等腰三角形的性质得到点F的坐标，进而求得直线AB的解析式，得到点D的坐标，进而得到FH和DH的长，再由DFH的面积求得x0y0的值，即可得到点F的坐标和k2的值，进而求得k1的值，最后得到k2k1的值【解答】解：过点A作AMx轴于点M，则BMCM，设A（x0，y0），则x0y0k2，AMy0，SABC100，BC，CMBM，C（x0+，0），设直线AC的解析式为ykx+b，则，解得：，直线AC的解析式为yx+y0+，由，解得：
24、或，点G的坐标为（，），ABAC，FGx轴，点F的坐标为（，），设直线AB的解析式为ymx+n，则，解得：，直线AB的解析式为yx+，点D的坐标为（0，），FH，DH，DFH的面积为18，18，x0y020，点F的坐标为（，0），k220，k112，k2k120（12）32，故答案为：32【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征三解答题（共7小题）17（1）计算：；（2）解方程：x28x+70【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后合并同类二次根式；（2）将方程左边因式分解即可化为两个一次方程，从而求
25、解【解答】解：（1）原式5+4441；（2）x28x+70，（x1）（x7）0，x10或x70，x11，x27【点评】本题考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则和用因式分解法解一元二次方程18为了了解某班20名同学甲、乙两门课程的学习情况，分别对其测试后统计成绩并整理数据如下：20名同学甲课程的成绩（单位：分）：61，65，68，71，72，72，73，73，73，73，75，78，82，84，86，86，88，90，93，9820名同学乙课程成绩的频数分布直方图（每一组包含前一个边界值，不包含后一个边界值）如图所示，根据以上信息，回答下列问题：（1）这
26、20名同学甲课程成绩的众数为 73分，中位数为 74分（2）依次记左边5060的分数段为第1组，90100的分数段为第5组，则乙课程成绩的中位数在第 四组内（3）在此次测试中，小聪同学甲课程成绩为75分，乙课程成绩为78分，他哪一门课程的成绩排名更靠前？请说明理由【分析】（1）根据众数、中位数的意义，甲课程、乙课程的成绩得出答案；（2）根据乙课程成绩的平均分布直方图，可求出乙课程成绩的中位数所在的组别；（3）根据这20名学生的甲课程成绩以及乙课程成绩所在的名次进行判断即可【解答】解：（1）这20名同学甲课程成绩出现次数最多的是73分，因此众数是73，将20名学生的甲课程成绩从小到大排列处在中间
27、位置的两个数的平均数为74（分），因此中位数是74，故答案为：73，74；（2）从乙课程成绩的频数分布直方图可得，乙课程成绩的中位数落在第四组，故答案为：四；（3）甲课程成绩排名在前，理由为：根据具体的数据可以得出小聪的甲课程成绩为75分，在这20名同学中是第10名，而小聪的乙课程成绩75分，在调查的20人中最好是第12名，因此小聪的甲课程成绩排名在前【点评】本题考查频数分布直方图，中位数、众数，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提19某连锁超市以每支3元的价格购进某品牌牙膏，规定牙膏销售单价不低于进价又不高于5.5元，经市场调研发现，牙膏的日均销售量y（万支）与销售单价x（元）之间存在
28、着如图所示关系（1）求牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式（写出x的取值范围）；（2）若该连锁超市想要获得9万元的日均销售利润，牙膏的销售单价应定为多少元？（3）该超市日均销售利润能否达到13万元？请说明理由【分析】（1）根据图中给定的数据，利用待定系数法，即可求出y关于x的函数表达式；（2）利用总利润每支的销售利润日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（3）该超市日均销售利润不可能达到13万元，假设能，利用总利润每支的销售利润日销售量，可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式120，可得出原方程没有实数根，假设不成立，即该超市日均销售
29、利润不可能达到13万元【解答】解：（1）设牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式为ykx+b（k0），将（3.5，10.5），（5，6）代入ykx+b得：，解得：，牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式为y3x+21（3x5.5）；（2）根据题意得：（x3）（3x+21）9，整理得：x210x+240，解得：x14或x26，3x5.5，x4答：牙膏的销售单价应定为4元；（3）该超市日均销售利润不可能达到13万元，理由如下：假设该超市日均销售利润能达到13万元，根据题意得：（x3）（3x+21）13，整理得：3x230x+760，b24ac90043761
30、20，原方程没有实数根，假设不成立，即该超市日均销售利润不可能达到13万元【点评】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）利用待定系数法，求出y关于x的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当0时，方程无实数根”20如图，在ABCD中，已知AECF，DMBN，EF与MN交于点O，且MNEF（1）试判断四边形ENFM的形状，并说明理由（2）若B2MNF，且MN4，EF2，求AB的长【分析】（1）四边形ENFM是菱形，由ABCD，AECF，DMBN，得出MENF，加上MENF，得出四边形ENFM是平行四边形，由MNEF得出四边形E
31、NFM是菱形；（2）由四边形ENFM是菱形，得出OFOE1，OMON2，利用勾股定理得出NE，由B2MNF得出ABNE，A加上AEBN得出平行四边形ABNE，即可求出ABNE【解答】解：（1）四边形ENFM是菱形；ABCD，ADBC，AECF，DMBN，ADAEDMBCCFBN，MENF，MENF，四边形ENFM是平行四边形，MNEF，ENFM是菱形；（2）菱形ENFM，MNEMNF，B2MNF，B2MNFMNE+MNFENC，ABNE，AEBN，四边形ABNE是平行四边形，ABNE，菱形ENFM，OFOE1，OMON2，MNEF，NE，ABNE【点评】本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的判
32、定和性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质与判定，菱形的判定和性质是解题关键21观察下列各式：；（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：；（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式，并验证；（3）利用上述规律计算【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出答案；（2）由题意的规律即可用n表示该等式；（3）根据（2）中的结论即可求出答案【解答】解：（1）；故答案为：；（2）验证：等式左边等式右边（3）【点评】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中给出的规律22如图1，在平行四边形ABCD中，ABC为钝角，BE，BF分别为边AD，CD上的高，交边AD，CD
33、于点E，F，连结EF（1）求证：EBFC；（2）若BFEF，求证：CFDF；如图2，连结BD交EF于点O，若BF2CF，ABE的面积为4，求BOE与DOF的面积之差【分析】（1）由余角的性质可求解；（2）由“AAS”可证EDFHCF，可得结论；由面积公式可求AE的长，由勾股定理可求AB的长，即可求DE，由面积关系可求解【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBE，BEBC，EBC90BFC，EBF+CBF90C+CBF，EBFC；（2）证明：延长EF，BC交于点H，BFEF，FEBFBE，EBC90，FBHFHB，BFFH，EFFH，ADBC，ADCDCH，在EDF和HC
34、F中，EDFHCF（AAS），DFCF；解：如图2，过点F作FHBE于H，连接DH，FHDE，SEDFSEDH，设CFtDF，则ABCD2t，BF2CF2t，BCt，ADBCt，ABE的面积为4，AEBE4，tanCtanA2，BE2AE，AE2AE4，AE2（负值舍去），BE4，EFBF，FHBE，BHEH2，AE2+BE2AB2，AB2，2t2，t，ADt5，DE3，SBOESDOFSBDESEDFSBDESEDHSBDHBHDE233【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键23问题情境：数学活动课上
35、，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AD6动手实践：（1）如图1，A小组将矩形纸片ABCD折叠，点D落在AB边上的点E处，折痕为AF，连接EF，然后将纸片展平，得到四边形AEFD试判断四边形AEFD的形状，并加以证明；（2）如图2，B小组将矩形纸片ABCD对折使AB与DC重合，展平后得到折痕PQ，再次过点A折叠使点D落在折痕PQ上的点N处，得到折痕AM，连结MN，展平后得到四边形ANMD，请求出四边形ANMD的面积；深度探究：（3）如图3，C小组将图1中的四边形EFCB剪去，然后在边AD，EF上取点G，H，将四边形AEFD沿GH折叠，使
36、A点的对应点A始终落在边DF上（点A不与点D，F重合），点E落在点E处，AE与EF交于点T探究当A在DF上运动时，FTA的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；探究直接写出四边形GAEH面积的最小值【分析】（1）根据邻边相等的矩形证得结果；（2）先判定ADN是等边三角形，进而求得ADM的面积，进一步求得结果；（3）连接AA，作ARAT于R，连接AT，先证明DAARAA，从而得出ARAD，RADA，进而证明AETART，从而RTET，进一步得出结论；连接AH，HA，AA，设AGGAx，EHy，可表示出AH2AE2+EH2y2+36，AH，根据点A和点A关于GH对称得出AHAH
37、，从而得出方程y2+3662+（6y）2，表示出yx，从而S四边形GAEH3（2x），设，从而得出S3（t），进一步得出结果【解答】解：（1）四边形AEFD是正方形，理由如下：四边形ABCD是矩形，DABD90，由折叠得，AEFD90，ADDF，四边形AEFD是矩形，矩形AEFD是正方形；（2）如图1，由折叠得：ANAD，DAMNAM，PQ是AD的垂直平分线，ANDN，ANDNAD，DAN60，DAMNAM30，DMAD3，SADM，S 四边形ANMD2SADM18；（3）如图2，FTA的周长不会变化，理由如下：连接AA，作ARAT于R，连接AT，由折叠得：AGGA，GATDAE90，GAAG
38、AA，设GAAGAA，AAD90DAA90，AAR90AAG90，AADAAR，DARA90，ARAR，DAARAA（AAS），ARAD，RADA，ADAE，ARAE，EART90，ATAT，RtAETRtART（HL），RTET，TA+FT+TAFA+FT+（AR+RT）FA+FT+（DA+ET）DF+EF12，即：FTA的周长是12，不会变化；如图3，连接AH，HA，AA，设AGGAx，EHy，DG6x，FH6y，AH2AE2+EH2y2+36，D90，DA，FA，AH，点A和点A关于GH对称，AHAH，y2+3662+（6y）2，yx，S四边形GAEH3（2x），设，2x，S3（t），当t3时，S最小，故四边形GAEH的面积最小值为：【点评】本题考查了正方形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，二次函数及其性质等知识，解决问题的关键是换元法
