1、河南省2022-2023学年高一上期中考试数学试卷一、单选题1. 满足，且中的集合M的个数是（ ）A. 16B. 24C. 28D. 302. 集合或，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3. 已知，且，则的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 84. 已知不等式的解集是则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 5. 设，则的值是（ ）A. 4B. 2C. 0D. 6. 已知函数，若，恒有，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 7. 若定义在上的函数满足：，且，则下列结论中错误的是（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意恒成立，则实数的最小值
2、为（ ）A. B. C. D. 二、多选题9. 对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ）A. “”是“”的充要条件B. “”是“”的充分不必要条件C. “”是“”的必要不充分条件D. “”是“”的充分不必要条件10. 已知，关于一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ）A. 6B. 7C. 8D. 911. 已知函数，记，则下列关于函数的说法正确的是（ ）A. 当时，B. 函数的最小值为C. 函数在上单调递减D. 若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或12. 如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法正确的是（ ）A. 浮萍每月的增长率
3、为3B. 浮萍每月增加的面积都相等C. 第4个月时，浮萍面积超过D. 若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则三、填空题13. 已知p：xa是q：2x3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_.14. 函数的定义域是_.15. 已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为_.16. 某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（N*）与货价p（单位：元/件）之间关系为p1602，生产x件所需成本C10030（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是_四、解答题17. 计算（1）（2）化简18. 已知全集，集合（1）若且，求实数值；（2）设集合，若的真子集共有
4、3个，求实数的值19 已知函数（1）用定义法证明函数上单调递减（2）求时，函数的值域20. 设函数且是定义域为的奇函数；（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；（2）若，且，求在上的最小值21. 某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益、养鸡的收益与投入（单位：万元）满足，.设甲合作社的投入为（单位：万元），两个合作社的总收益为（单位：万元）.（1）当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益；（2）如
5、何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大，最大总收益为多少万元？22. 已知函数为奇函数（1）求实数m的值；（2）判断函数在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明；（3）解关于不等式河南省2022-2023学年高一上期中考试数学试卷一、单选题1. 满足，且中的集合M的个数是（ ）A. 16B. 24C. 28D. 30【答案】B【解析】【分析】讨论元素与集合的关系，结合元素1、2、3与集合的可能情况求集合的个数.【详解】若时，则1、2、3可能属于，而5不属于，故集合共有种可能；若时，则1、2、3可能属于，而4不属于，故集合共有种可能；若时，则1、2、3可能属于，故集合共有种可能；综上，
6、集合M的个数是24.故选：B2. 集合或，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围【详解】，当时，即无解，此时，满足题意当时，即有解，当时，可得，要使，则需要，解得当时，可得，要使，则需要，解得，综上，实数的取值范围是故选：A3. 已知，且，则的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】根据条件,变形后，利用均值不等式求最值.【详解】因为，所以.因为，所以，当且仅当，时，等号成立，故的最小值为4.故选：C4. 已知不等式的解集是则不等式的解集是（ ）A. B. C D.
7、【答案】A【解析】【分析】根据不等式的解集可得对应方程的解，从而可求出的值，再解不含参数的一元二次不等式即可得解【详解】不等式的解集是，是方程的两根，解得.不等式为，解得，不等式的解集为.故选：A5. 设，则的值是（ ）A. 4B. 2C. 0D. 【答案】A【解析】【分析】由分段函数解析式，结合有，即周期为2，得即可求值.【详解】由题设，.故选：A6. 已知函数，若，恒有，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数恒成立问题，直接求最值利用二次函数的性质可得；或利用参变分离法，利用基本不等式求最值即得.【详解】解法一：若，恒有，只需，设函数在上的最小值为
8、，则（1）当，即时，即，所以；（2）当，即时，即，所以此时不满足题意；（3）当，即时，所以，即，得，则.综上，实数的取值范围为.故选：B.解法二：若，恒有，即对任意恒成立，所以对任意的恒成立，而，当且仅当，即时取等号，所以.因此，实数的取值范围是.故选：B.7. 若定义在上的函数满足：，且，则下列结论中错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意条件和，可对此式子赋值验证选项，即可完成求解.【详解】由已知可得函数的定义域为，满足，且，对于选项A，可令，代入式，得，得，所以A选项是正确的；对于选项B，可令，代入式，得，得，所以B选项是正确的；对于选项C，可令，代入式，
9、得，而得，可令代入式，得，整理得，所以C选项是错误的；对于选项D，可令，代入式，得，而得，可令代入式，得，整理得，所以D选项是正确的.故选：C.8. 已知函数，若对任意恒成立，则实数的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先利用函数的解析式判断出函数关于点对称，从而将对任意恒成立，转化为对任意恒成立，再利用导数判断函数的单调性，利用单调性去掉“”，从而得到对任意恒成立，进行参变量分离后再利用换元法以及基本不等式求解最值，即可得到的最小值【详解】因为函数，所以，则函数关于点对称，所以，故对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，因为，则函数在上单调递增，所以对任意恒
10、成立，令，则，所以对任意恒成立，因为，当且仅当，即时取等号，所以，则实数的最小值为故选：【点睛】不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.二、多选题9. 对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ）A. “”是“”的充要条件B. “”是“”的充分不必要条件C. “”是“”的必要不充分条件D. “”是“”的充分不必要条件【答案】CD【解析】【分析】根据等式或不等式的性质结合，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】对于A,根据等式的性质，由可以推出，当
11、时，推不出，所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误;对于B，如，但，所以推不出，如，但，所以推不出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误;因为若则一定成立，但若则不一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确;由得，由可推出，不能推出，所以是的充分不必要条件，即”是“”的充分不必要条件，故D正确;故选:CD.10. 已知，关于一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】ABC【解析】【分析】利用对应二次函数的性质，结合题设不等式解集仅有3个整数可得求a的范围，即知其可能值.【详解】由开口向上且对称轴为，要使题设不等式解集有
12、且仅有3个整数，则，解得，的可能值A、B、C.符合.故选：ABC.11. 已知函数，记，则下列关于函数的说法正确的是（ ）A. 当时，B. 函数的最小值为C. 函数在上单调递减D. 若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或【答案】ABD【解析】分析】得到函数，作出其图象逐项判断.【详解】由题意得：，其图象如图所示：由图象知：当时，故A正确；函数的最小值为，故正确；函数在上单调递增，故错误；方程恰有两个不相等的实数根，则或，故正确；故选：ABD12. 如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法正确的是（ ）A. 浮萍每月的增长率为3B. 浮萍每月增加的面积都相等C
13、. 第4个月时，浮萍面积超过D. 若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则【答案】CD【解析】【分析】先根据图象，代入点，求出函数解析式，进而求出前3个月的浮萍面积，判断出AB选项，计算出第4个月的浮萍面积，判断出C正确；解出，从而得到，D正确.【详解】由图可知，函数过点，将其代入解析式，故，A选项，取前3个月的浮萍面积，分别为3，9，27，故增长率逐月增大，A错误；从前3个月浮萍面积可看出，每月增加的面积不相等，B错误；第4个月的浮萍面积为81，超过了80，C正确；令，解得：，D正确.故选：CD三、填空题13. 已知p：xa是q：2x3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】【分
14、析】根据充分性和必要性，求得参数的取值范围，即可求得结果.【详解】因为p：xa是q：2x3的必要不充分条件，故集合为集合的真子集，故只需.故答案为：.14. 函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析】直接列不等式即可求得.【详解】要使函数有意义，只需，解得：所以函数的定义域是.故答案为：15. 已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为_.【答案】-2(答案不唯一，满足或即可)【解析】【分析】作出y=x和y=的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值【详解】y=x和y=的图象如图所示：当或时，y=有部分函数值比y=x的函数值小，故当或时，函数在上不是增函数故答案为：-216. 某
15、小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p1602，生产x件所需成本C10030（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是_【答案】10【解析】【分析】由题意，设该厂月获利为元，获利=总收入-成本，即，求解二次不等式即可.【详解】由题意，设该厂月获利为元，则：，当工厂日获利不少于1 000元时，即，即，解得：.故该厂日产量最少生产风衣的件数是10.故答案为：10四、解答题17. 计算（1）（2）化简【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则逐步计算即可；（2）将根式化为分数指数幂，再利用
16、指数幂运算法则化简即可.【小问1详解】原式【小问2详解】原式=18. 已知全集，集合（1）若且，求实数的值；（2）设集合，若的真子集共有3个，求实数的值【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）先化简集合，得到，根据可得到的值，并用进行检验即可；（2）分和两种情况进行分类讨论，即可得到答案【小问1详解】由题意，所以，若，则或，解得或，又，所以；【小问2详解】因为，当时，此时集合共有1个真子集，不符合题意；当即时，此时集合共有3个真子集，符合题意，综上所述，19. 已知函数（1）用定义法证明函数在上单调递减（2）求时，函数的值域【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用函数单
17、调性的定义，结合作差，可得答案；（2）由（1）的单调性，求其最值，可得答案.【小问1详解】任意取，设，则，由，则，即，故，所以函数在上单调递减.【小问2详解】由（1）可知：函数在上单调递减，故.因此当时，函数的值域为.20. 设函数且是定义域为的奇函数；（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；（2）若，且，求在上的最小值【答案】（1）增函数，；（2）【解析】【分析】（1）由，求得，得到，根据，求得，即可求得函数是增函数，把不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解；（2）由（1）和，求得，得到，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）因为函数且是定义域为的奇函数，可得，从而得，即当
18、时，函数，满足，所以，由，可得且，解得，所以是增函数，又由，可得，所以，解得，即不等式的解集是（2）由（1）知，因为，即，解得，故，令，则在上是增函数，故，即，此时函数的对称轴为，且开口向上，所以当，函数取得最小值，最小值为，即函数的最小值为21. 某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益、养鸡的收益与投入（单位：万元）满足，.设甲合作社的投入为（单位：万元），两个合作社的总收益为（单位：万元）.（1）当甲合
19、作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益；（2）如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大，最大总收益为多少万元？【答案】(1)88.5万元 (2) 该公司在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元，总收益最大，最大总收益为89万元.【解析】【分析】（1）先确定甲乙合作社投入量，再分别代入对应收益函数，最后求和得结果，（2）先根据甲收益函数，分类讨论，再根据对应函数单调性确定最值取法，最后比较大小确定最大值.【详解】解：（1）当甲合作社投入为25万元时，乙合作社投入为47万元，此时两个个合作社的总收益为：（万元）（2）甲合作社的投入为万元，则乙合作社的投入为万元，当时，则，.令，
20、得，则总收益为，显然当时，函数取得最大值，即此时甲投入16万元，乙投入56万元时，总收益最大，最大收益为89万元、当时，则，则，则在上单调递减，.即此时甲、乙总收益小于87万元.又，该公司在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元，总收益最大，最大总收益为89万元.【点睛】本题考查利用分段函数模型求函数最值，考查基本分析求解能力，属中档题.22. 已知函数为奇函数（1）求实数m的值；（2）判断函数在定义域上单调性，并用单调性定义加以证明；（3）解关于的不等式【答案】（1）； （2）函数在R上单调递减；证明见解析； （3）.【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义即得；（2）根据函数单调性的定义证明即得；（3）根据函数的单调性及奇偶性可得，进而即得.【小问1详解】函数的定义域为R，因为为奇函数，所以，所以，所以，所以；【小问2详解】函数在R上单调递减；下面用单调性定义证明：任取，且，则，因为在R上单调递增，且，所以，又，所以，所以函数在R上单调递减；【小问3详解】因为为奇函数，所以，由得，即，由（2）可知，函数在R上单调递减，所以，即，解得或，所以t的取值范围为
