1、 2022-2023 学年江苏省南京市溧水区九年级学年江苏省南京市溧水区九年级上期中数学试卷上期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分 ）分 ） 1下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A2x7 Bx2+y5 C Dx2+x4 2若关于 x 的方程 x2mx+20 有一个根是 1，则 m 的值为（ ） A3 B2 C1 D3 3用配方法解方程 x24x+30，下列变形正确的是（ ） A （x2）27 B （x+2）21 C （x+2）21 D （x2）21 4如图，在ABC 中，C90，B25若以点 C 为圆心
2、，CA 长为半径的圆与 AB 交于点 D，则的度数为（ ） A25 B50 C60 D65 5如图，C 是的中点，弦 AB8，CDAB，且 CD2，则所在圆的半径为（ ） A4 B5 C6 D10 6如图，点 A，B，C 在O 上，AOC90，BC1，则O 的半径为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分请把答案填写答题卡相应位置上）分请把答案填写答题卡相应位置上） 7方程 x2x 的根是 8已知O 的半径为 6cm，线段 OP 的长为 4cm，则点 P 在O （填“内” 、 “外”或“上” ） 9若关于 x
3、的方程 x22x+m0 没有实数根，则 m 的值可以是 （写出一个符合条件的值即可） 10如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB若ABD65，则ADC 度 11如图，AC，BC 是O 的弦，PA，PB 是O 的切线若C50，则P 12某口罩厂六月份的口罩产量为 100 万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到 64 万只设七、八月份口罩产量的月平均减少率为 x，则可列方程为 13已知 a，b 是方程 x2+x30 的两个根，则 ab2022a2022b 的值是 14用半径为 30cm，圆心角为 120的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 cm 15 若关于x的一元二次方程
4、a （x+h）2+k0的两根分别为3、 2， 则方程a （x1+h）2+k0的根为 16如图，AB 是O 的弦，点 C 在O 内，ACB90，ABC30，连接 OC，若O 的半径是 4，则 OC 长的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分 ）分 ） 17 （8 分）解方程： （1）x22x10； （2） （x+1）23x+3 18 （8 分）关于 x 的方程 2x2+（m+2）x+m0 （1）求证：不论 m 取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，请求出 m 的值并求此时方程的根 19 （7 分）如图，O 的弦 AB、CD 相
5、交于点 E，ABCD，求证：AECE 20 （7 分）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧 已知：如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦， 求证： 证明： 21 （7 分）某小区有一块长方形绿地，长为 20m，宽为 8m为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少 a 米，宽增加 a 米，使改造后的面积比原来增加 27m2求 a 的值 22 （7 分）如图，在ABC 中，ACB90，O 与 AB 相切，且与 BC 相切于点 C （1）用直尺和圆规作出O（不写作法，保留作图痕迹） ； （2）若 AC3，BC4，则O 的半径为 23 （7 分）如图，在ABC 中，AE 平分BAC，B
6、E 平分ABC，AE 的延长线交ABC 的外接圆于点 D，连接 BD求证：DBDE 24 （8 分）如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的 3 倍，那么称这样的方程为“三倍根方程” 例如，方程 x24x+30 的两个根是 1 和 3，则这个方程就是“三倍 根方程” （1）下列方程是三倍根方程的是 ； x23x+20； x23x0； x28x+120 （2）若关于 x 的方程 x26x+c0 是“三倍根方程” ，则 c ； （3）若 x2（m+n）x+mn0 是关于 x 的“三倍根方程” ，求代数式的值 25 （9 分）某商场销售一批球鞋，其进价
7、为每双 200 元经市场调查发现，按每双 300 元出售，平均每天可售出 20 双假设球鞋的单价每降 5 元，商场平均每天可多售出 10 双该商场若要达到平均每天盈利4800 元，则每双球鞋的定价为多少元？ 26 （9 分）在四边形 ABCD 中，C90，E 是 BC 上一点，以 AE 为直径的O 经过 B，D 两点， （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 AD12，BE2，求 AE 的长 27（11 分） 为了解决一些较为复杂的数学问题， 我们常常采用从特殊到一般的思想， 先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法 已知四边形 ABCD 是O 的内接四边形，对角线 AC 与 BD 相交
8、于点 E 【特殊情形】 （1）如图，ACBD，过圆心 O 作 OFAD，垂足为 F，当 BD 是O 的直径时，求证：OFBC 【一般情形】 （2）如图，ACBD，过圆心 O 作 OFAD， 垂足为 F， 当 BD 不是O 的直径时， 求证： OFBC 【经验迁移】 （3）如图，AED60，AD12，F 为上的一点，AFBC，若 M 为 DF 的中点，连接 AM，则AM 长的最小值为 参考答案详解参考答案详解 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分 ）分 ） 1下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A2x7 Bx2+y5 C
9、 Dx2+x4 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可 【解答】解：A 选项：该方程是关于 x 的一元一次方程，不符合题意； B 选项：该方程中含有 2 个未知数，不是关于 x 的一元二次方程，不符合题意； C 选项：该方程是分式方程，不符合题意； D 选项：该方程符合一元二次方程的定义，符合题意 故选：D 2若关于 x 的方程 x2mx+20 有一个根是 1，则 m 的值为（ ） A3 B2 C1 D3 【分析】把 x1 代入方程 x2mx+20 中得：12m+20，然后进行计算即可解答 【解答】解：把 x1 代入方程 x2mx+20 中得： 12m+20， m21， m3， m3， 故选：
10、A 3用配方法解方程 x24x+30，下列变形正确的是（ ） A （x2）27 B （x+2）21 C （x+2）21 D （x2）21 【分析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答 【解答】解：x24x+30， x24x3， x24x+43+4， （x2）21， 故选：D 4如图，在ABC 中，C90，B25若以点 C 为圆心，CA 长为半径的圆与 AB 交于点 D，则的度数为（ ） A25 B50 C60 D65 【分析】根据C90，B25，求出A65，根据半径相等求出CDA65，进而求出ACD50即可解答 【解答】解：连接 CD， C90，B25， A65， CACD， ACDA6
11、5， ACD50， 的度数为 50 故选：B 5如图，C 是的中点，弦 AB8，CDAB，且 CD2，则所在圆的半径为（ ） A4 B5 C6 D10 【分析】由垂径定理，勾股定理，可以求解 【解答】解：设所在圆的圆心为点 O，O 的半径为 r，连接 OD，OA， CDAB，点 C 是中点， O，D，C 三点共线，ADBD4， OA2OD2+AD2， r2（r2）2+42， r5， 故选：B 6如图，点 A，B，C 在O 上，AOC90，BC1，则O 的半径为（ ） A B C D 【分析】过点 A 作 AECB 交 CB 的延长线于点 E 连接 AC证明AEB 是等腰直角三角形，利用勾股定理
12、求出 AE，EC，AC，可得结论 【解答】解：过点 A 作 AECB 交 CB 的延长线于点 E 连接 AC AOC90， ABC（36090）135， ABE45， E90，AB， AEEB1， BC1， EC2， AC， OAOCAC 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分 ）分 ） 7方程 x2x 的根是 x10，x21 【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得 x（x1）0，方程就可转化为两个一元一次方程 x0 或 x10，然后解一元一次方程即可 【解答】解：x2x0， x（x1）0， x0 或 x10，
13、 x10，x21 故答案为 x10，x21 8已知O 的半径为 6cm，线段 OP 的长为 4cm，则点 P 在O 内 （填“内” 、 “外”或“上” ） 【分析】设O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OPd，根据点 P 在圆内dr 进行判断即可 【解答】解：O 的半径为 6cm，线段 OP 的长为 4cm， dr， 点 P 在O 内 故答案为：内 9若关于 x 的方程 x22x+m0 没有实数根，则 m 的值可以是 2（答案不唯一） （写出一个符合条件的值即可） 【分析】根据关于 x 的方程 x22x+m0 没有实数根，判断出0，求出 m 的取值范围，再找出符合条件的 m 的值 【解答】
14、解：关于 x 的方程 x22x+m0 没有实数根， （2）241m44m0， 解得：m1 故 m 可以取 2， 故答案为：2（答案不唯一） 10如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB若ABD65，则ADC 25 度 【分析】根据圆周角定理和直角三角形两锐角互余解答 【解答】解：CDAB，ADCBAD， 又AB 是O 的直径，ADB90，ADCBAD90ABD25 故答案为：25 11如图，AC，BC 是O 的弦，PA，PB 是O 的切线若C50，则P 80 【分析】 接 OA、 OB， 由切线的性质得OAPOBP90， 再由圆周角定理求得AOB2C100，则P360909010080，于是得到
15、问题的答案 【解答】解：连接 OA、OB， PA 与O 相切于点 A，PB 与O 相切于点 B， OAPOBP90， C50， AOB2C100， P360OAPOBPAOB360909010080， 故答案为：80 12某口罩厂六月份的口罩产量为 100 万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到 64 万只设七、八月份口罩产量的月平均减少率为 x，则可列方程为 100（1x）264 【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到方程 100（1x）264，本题得以解决 【解答】解：由题意可得， 100（1x）264， 故答案为：100（1x）264 13已知 a，b 是方程 x2+x30 的两
16、个根，则 ab2022a2022b 的值是 2019 【分析】 先根据根与系数的关系得到 a+b1， ab3， 再把 ab2022a2022b 变形为 ab2022 （a+b） ，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：根据根与系数的关系得 a+b1，ab3， 所以 ab2022a2022bab2022（a+b） 32022（1） 2019 故答案为：2019 14用半径为 30cm，圆心角为 120的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 10 cm 【分析】设这个圆锥的底面圆半径为 rcm，根据圆锥的底面圆周长扇形的弧长，列方程求解 【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为 rc
17、m，依题意，得 2r， 解得 r10 故答案为：10 15若关于 x 的一元二次方程 a（x+h）2+k0 的两根分别为3、2，则方程 a（x1+h）2+k0 的根为 x12，x23 【分析】根据已知方程的解得出 x13 或 x12，求出 x 即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 a（x+h）2+k0 的两根分别为3、2， 方程 a（x1+h）2+k0 中 x13 或 x12， 解得：x12，x23， 即方程 a（x1+h）2+k0 的根为 x12，x23， 故答案为：x12，x23 16如图，AB 是O 的弦，点 C 在O 内，ACB90，ABC30，连接 OC，若O 的半径是 4，则
18、 OC 长的最小值为 22 【分析】 延长 BC 交圆 O 于点 D， 连接 DO， AD， 过 O 点作 OEAD 交于点 E， 则AOD 是等边三角形，再确定点 C 在以 E 为圆心，AE 为半径的圆上，则 CO 的最小值为 EODE，再求解即可 【解答】解：延长 BC 交圆 O 于点 D，连接 DO，AD，过 O 点作 OEAD 交于点 E， ABC30， AOD60， AODO， AOD 是等边三角形， OA4， AD4， ACB90， ACD90， EOAD， AEDE， 点 C 在以 E 为圆心，AE 为半径的圆上， 在 RtDEO 中，DO4，DE2， EO2， CO 的最小值为
19、 22， 故答案为：22 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）程或演算步骤） 17 （8 分）解方程： （1）x22x10； （2） （x+1）23x+3 【分析】 （1）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答 【解答】解： （1）x22x10， x22x1， x22x+11+1， （x1）22， x1， x1或 x1， x11+，x21； （2） （x+1）23x+3， （
20、x+1）23（x+1）0， （x+1） （x+13）0， （x+1） （x2）0， x+10 或 x20， x11，x22 18 （8 分）关于 x 的方程 2x2+（m+2）x+m0 （1）求证：不论 m 取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，请求出 m 的值并求此时方程的根 【分析】 （1）先求出判别式的值，再根据“”的意义证明即可； （2）根据方程有两个相等的实数根，得（m2）20，即可求出 m 的值和方程的根 【解答】 （1）证明：（m+2）242m（m2）2， 无论 m 取任何实数， （m2）20，即0， 原方程总有两个实数根 （2）解：方程有两个相等的实数根
21、， （m2）20， 解得 m1m22， 当 m2 时，方程为 2x2+4x+20 解得 x1x21 19 （7 分）如图，O 的弦 AB、CD 相交于点 E，ABCD，求证：AECE 【分析】连接 AC，AD，BC，根据 ABCD，得，所以，得BACACD，根据等角对等边得 AECE 【解答】证明：如图，连接 AC，AD，BC， ABCD， ， ， 即， BACACD， AECE 20 （7 分）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧 已知：如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦， ABCD 求证： CEDE， 证明： 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系及垂径定理进行证明即可 【解答】
22、解：已知：如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，ABCD 求证：CEDE， 证明：连接 OC、OD， 在OCD 中，ABCD，OCOD， CEDE，COBDOB， AOCAOD， ， 故答案为：ABCD；CEDE， 21 （7 分）某小区有一块长方形绿地，长为 20m，宽为 8m为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少 a 米，宽增加 a 米，使改造后的面积比原来增加 27m2求 a 的值 【分析】根据改造后的面积比原来增加 27m2，即可得出关于 a 的一元二次方程，解之即可得出 a 的值 【解答】解：依题意得： （20a） （8+a）20827， 整理得：a212a+270，
23、解得：a13，a29 答：a 的值为 3 或 9 22 （7 分）如图，在ABC 中，ACB90，O 与 AB 相切，且与 BC 相切于点 C （1）用直尺和圆规作出O（不写作法，保留作图痕迹） ； （2）若 AC3，BC4，则O 的半径为 【分析】 （1）作ABC 的平分线交 AC 于点 O，以点 O 为圆心，OC 为半径作O，则O 与 BC，AB 都相切； （2）根据切线的性质和勾股定理即可求 AC 的长 【解答】解： （1）如图，O 即为所求； （2）连接 OD， O 与 AB 相切于点 D， ODAB， ACB90，AC3，BC4， AB5， O 与与 BC 相切于点 C， BDBC4
24、， ADABBD1， tanA， ， OD 故答案为： 23 （7 分）如图，在ABC 中，AE 平分BAC，BE 平分ABC，AE 的延长线交ABC 的外接圆于点 D，连接 BD求证：DBDE 【分析】根据角平分线定义得到ABECBE，BAECAD，得到，根据圆周角定理得到DBCBAE，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论 【解答】证明：AE 平分BAC，BE 平分ABC， ABECBE，BAECAD， 和所对的圆心角相等， ， DBCCAD， DBCBAE， DBECBE+DBC，DEBABE+BAE， DBEDEB， DEDB 24 （8 分）如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+
25、c0 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的 3 倍，那么称这样的方程为“三倍根方程” 例如，方程 x24x+30 的两个根是 1 和 3，则这个方程就是“三倍根方程” （1）下列方程是三倍根方程的是 ； x23x+20； x23x0； x28x+120 （2）若关于 x 的方程 x26x+c0 是“三倍根方程” ，则 c ； （3）若 x2（m+n）x+mn0 是关于 x 的“三倍根方程” ，求代数式的值 【分析】 （1）分别解三个方程，然后根据“三倍根方程”的定义进行判断； （2）设方程 x26x+c0 的两根为 t，3t，则利用根与系数的关系得 t+3t6，t3tc，然后先求出 t，再计
26、算出 c 的值； （3）设方程的两根为 a，3a，利用根与系数的关系得到 m+n4a，mn3a2，再把变形为， 然后利用整体代入的方法得到原式， 最后进行分式的化简计算即可 【解答】解： （1）解方程 x23x+20 得 x11，x22， 所以 x23x+20 不是“三倍根方程” ； 解方程 x23x0 得 x10，x23， 所以 x23x0 不是“三倍根方程” ； 解方程 x28x+120 得 x12，x26， 所以 x28x+120 是“三倍根方程” ； 故答案为：； （2）设方程 x26x+c0 的两根为 t，3t， 根据根与系数的关系得 t+3t6，t3tc， 解得 t， 所以 c3（
27、）2； 故答案为：； （3）设方程的两根为 a，3a， 根据根与系数的关系得 a+3am+n，a3amn， 即 m+n4a，mn3a2， 所以 25 （9 分）某商场销售一批球鞋，其进价为每双 200 元经市场调查发现，按每双 300 元出售，平均每天可售出 20 双假设球鞋的单价每降 5 元，商场平均每天可多售出 10 双该商场若要达到平均每天盈利4800 元，则每双球鞋的定价为多少元？ 【分析】设鞋子的单价应降 x 元，销售数量为（20+2x） ，利润为（300 x200） （20+2x） ，从而可得方 程，解出即可 【解答】解：设每双鞋子应降价 x 元， 根据题意，得 （300 x200
28、） （20+10）4800， 整理，得 x290 x+14000， 解得：x120，x270， 每双球鞋的定价为 30020280 或 30070230， 答：每双球鞋的定价为 280 元或 230 元 26 （9 分）在四边形 ABCD 中，C90，E 是 BC 上一点，以 AE 为直径的O 经过 B，D 两点， （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 AD12，BE2，求 AE 的长 【分析】 （1）连接 DO 并延长交 AB 于 F，连接 OB，BD，根据已知条件得到 DO 是 AB 的垂直平分线，得到OFB90，根据圆周角定理得到ABE90，根据矩形的性质得到 ODCD，根据切线的
29、判定定理得到 CD 是O 的切线； （2）根据三角形的中位线定理得到 OEBE1，设O 的半径为 r，根据勾股定理即可得到结论 【解答】 （1）证明：连接 DO 并延长交 AB 于 F，连接 OB，BD， ， ADBD， OAOB， O，D 都在 AB 的垂直平分线上， DO 是 AB 的垂直平分线， OFB90，AFBF， AE 是O 的直径， ABE90， C90， 四边形 BCDF 是矩形， ODCD， 点 D 在上， CD 是O 的切线； （2）解：AOOE，AFBF， OF 是ABE 的中位线， OEBE1， 设O 的半径为 r， 在 RtDAF 中，AF2AD2DF2122（r+1
30、）2， 在 RtOAF 中，AF2OA2OF2r212， 122（r+1）2r212， 解得 r18，r29（舍去） ， AE2r16 27（11 分） 为了解决一些较为复杂的数学问题， 我们常常采用从特殊到一般的思想， 先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法 已知四边形 ABCD 是O 的内接四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 E 【特殊情形】 （1）如图，ACBD，过圆心 O 作 OFAD，垂足为 F，当 BD 是O 的直径时，求证：OFBC 【一般情形】 （2）如图，ACBD，过圆心 O 作 OFAD， 垂足为 F， 当 BD 不是O 的直径时， 求证： OFBC 【经验迁移】
31、 （3）如图，AED60，AD12，F 为上的一点，AFBC，若 M 为 DF 的中点，连接 AM，则AM 长的最小值为 3 【分析】 （1）证明 OF 是ABD 的中位线，则 OFAB，BD 是O 的直径，OFAD，根据垂径定理可得 BCAB，进而可证明 OFBC； （2）作直径 DH 交O 于点 H，连接 AH，证明 OF 是AHD 的中位线，则 OFAH，再证明ADHCDB，可得 AHBC，进而可证明 OFBC； （3）延长 FA，作 HDAF 交于点 H，可求HAD60，当 AMAF 时 AM 值最小，根据特殊角直角三角形，可求出 AM 的最小值 【解答】 （1）证明：在O 中，OFA
32、D， DFAF， DOOB， OF 是ADB 的中线， OFAB， BD 是O 的直径，BDAC， ， ABBC， OFBC； （2）证明：如图 2 所示：作直径 DH 交O 于点 H，连接 AH， 在O 中，OFAD， DFAF， ODOH， OF 是AHD 的中位线， OFAH， HD 是直径， DAH90， ADH+AHD90， ACBD， CDB+ACD90， AHDACD，ADH+AHD90，CDB+ACD90， ADHCDB， AHBC， OFAH， OFBC； （3）解：如图所示：延长 FA，作 HDAF 交于点 H， AFBC， ADFBDC， AED60， ACD+BDCAED60 HADAFD+ADF，AFDACD，ADFBDC， HADACD+BDC60， HDAF，HAD60，AD12 HDAD126， 当 AMAF 时，AM 值最小， AMAF，HDAF， AMHD， M 是 DF 的中点， AM 是FHD 的中位线， AMHD63， AM 长的最小值为 3 故答案为：3
