1、 浙江省温州市苍南县九年级上第一次学情检测（期中）数学试题浙江省温州市苍南县九年级上第一次学情检测（期中）数学试题 一一.选择题（本题有选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.） 1与“新冠肺炎”患者接触过程中，下列哪种情况被传染的可能性最大（ ） A戴口罩与患者近距离交谈 B不戴口罩与患者近距离交谈 C戴口罩与患者保持社交距离交谈 D不戴口罩与患者保持社交距离交谈 2已知O 的半径为 4，OM3，则点 M 与O 的位置关系是（ ） A点 M 在圆外 B点 M 在圆上 C点 M 在圆内 D不能确定 3抛物线 yx22x 的对称轴是（ ） A直线 x2 B直
2、线 x2 C直线 x1 D直线 x1 4如图，在O 中，AOB100，则弧 AB 的度数为（ ） A50 B80 C100 D200 5欢欢将自己的核酸检测二维码打印在面积为 900cm2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 0.6 左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（ ） A300cm2 B360cm2 C450cm2 D540cm2 6如图，点 A 的坐标为（0，3） ，点 C 的坐标为（1，0） ，B 的坐标为（1，4） ，将ABC 沿 y 轴向下平移，使点 A 平移至坐标原点 O，再将ABC 绕点 O
3、逆时针旋转 90，此时 B 的对应点为 B，点 C 的对应点为 C，则点 C的坐标为（ ） A （4，1） B （1，4） C （3，1） D （1，3） 7将抛物线 y（x1）23 先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到的新抛物线必经过（ ） A （1，0） B （0，5） C （1，2） D （1，2） 8已知二次函数 yx24x+1，当 1x5 时，对应的函数值 y 不可能是（ ） A3 B6 C2 D7 9已知如图，在正方形 ABCD 中，点 A、C 的坐标分别是（3，9） （2，0） ，点 D 在抛物线的图像上，则 k 的值是（ ） A B C D 10如图，矩形 AB
4、CD 中，E，F 分别是边 AB，BC 上的两个动点，将BEF 沿着直线 EF 作轴对称变换，得到BEF，点 B恰好在边 AD 上，过点 D，F，B作O，连结 OF若 OFBC，ABCF6时，则 AE（ ） A3 B6 C D 二二.填空题（本题有填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11抛物线 y（x+1）22 的顶点坐标是 12已知每 1000 个盲盒中常规款有 980 个， “小隐藏”15 个， “大隐藏”5 个现随机抽取 1 盒，抽取到的是“大隐藏”的概率为 13已知点 A（4，a）和点 B（2，b）是抛物线 yx2+2xc 上的两点，则 a、
5、b 的大小关系是 a b（填“”或“”或“” ） 14 如图， ABC内接于O， CD是O的直径， 连结AD， 若CD2AD， ABBC6， 则O的半径 15如图，在直角坐标系中，抛物线 yax24ax+2（a0）交 y 轴于点 A，点 B 是点 A 关于对称轴的对称点，点 C 是抛物线的顶点，若ABC 的外接圆经过原点 O，则点 C 的坐标为 16 图 1 是小米家吊椅的图片， 其截面图如图 2 所示， 吊椅的外框架是一条抛物线， 抛物线的最高点为点 E，内框架内由一条圆弧 MN 和两个全等直角三角形组成， 点 A， B， C， D 在同一条直线上 已知 BMMN，MNAB，点 A 和点 D
6、 的距离为 80cm，点 E，点 N 到直线 AB 的距离分别为 80cm，60cmMFN 是等腰三角形，过点 F 作 FHMN 交 MN 于点 H，此时，则弧 MN 所在的圆的半径为 三三.解答题（本题有解答题（本题有 8 小题，共小题，共 80 分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17 （10 分）如图所示，O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 E，ABCD，连接 AD，BC，求证： （1）； （2）AECE 18 （8 分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球其中红球 3 个，白球 5 个，黑球
7、若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是 （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）小明从盒子里取出 m 个白球（其他颜色球的数量没有改变） ，使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出 m 的值 19 （8 分）如图，在 66 的正方形网格中，网线的交点称为格点，点 A，B，C 都是格点已知每个小正方形的边长为 1 （1）画出ABC 的外接圆O，并直接写出O 的半径是多少 （2）连接 AC，在网格中画出一个格点 P，使得PAC 是直角三角形，且点 P 在O 上 20 （8 分）2022 年冬奥会和残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”广受大众喜爱，某校九年（1）班的迎新年班队课上，老师在
8、抽奖环节准备了四张奖券，它们的形状外观大小完全一样，已知四张奖券中有两张代表冬奥会吉祥物“冰墩墩”玩偶（记作 A1，A2） ，有一张代表残奥会吉祥物“雪容融”玩偶（记作 B） ，还有一张代表虎年特制的小老虎玩偶（记作 C） （1）随机抽取一张奖券，恰好代表“冰墩墩”玩偶的概率是 （2） 小丽同学在课堂上表现出色， 获得了两张奖券， 并且获得了优先抽奖资格 请利用树状图或列表法，求小丽抽取的奖券恰好是一张“冰墩墩”玩偶和一张“雪容融”玩偶的概率 21 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx+4（a0，a、b 为常数）的对称轴为直线，图象与 x 轴交于 A（1，0）和点 B，与 y 轴的正半轴交
9、于点 C，过点 C 的直线与 x 轴交于点 D （1）求抛物线的表达式，并直接写出点 B 的坐标； （2）若点 M 是抛物线上一动点，过点 M 作 MECD 于点 E，MFx 轴交直线 CD 于点 F，当MEFCOD 时，请求出点 M 的坐标 22 （10 分）如图，在ACD 中，DADC，点 B 是 AC 边上一点，以 AB 为直径的O 经过点 D，点 F 是直径 AB 上一点（不与 A、B 重合） ，延长 DF 交圆于点 E，连接 EB （1）求证：CE； （2）若，求 AD 的长 23 （12 分）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批进价为 6 元/个的许愿瓶进行
10、销售，并将所得的利润捐给慈善机构根据市场调查，这种许愿瓶每日的销售量 y（个）与销售单价 x（元/个）之间满足关系式：y20 x+400 （1）求每日销售这种许愿瓶所得的利润 w（元）与销售单价 x 之间的函数关系式； （2）求每日销售这种许愿瓶所得的利润 w（元）的最大值及相应的销售单价； （3） “国庆节”期间，该校公益团队想继续销售许愿瓶的慈善活动，却发现批发商调整了许愿瓶的进货价格，进价变为了 m 元/个但是许愿瓶每日的销量与销售单价的关系不变为了不亏本，至少需按照12 元/个销售，而物价部门规定销售单价不得超过 15 元/个在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随 x 的增大而增
11、大，求 m 的最小值 24 （14 分）抛物线 yax2+bx4（a0）与 x 轴交于点 A（2，0）和 B（4，0） ，与 y 轴交于点 C，连接BC 点 P 是线段 BC 下方抛物线上的一个动点 （不与点 B， C 重合） ， 过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于 M， 交 x 轴于 N， 设点 P 的横坐标为 t （1）求该抛物线的解析式； （2）用关于 t 的代数式表示线段 PM，求 PM 的最大值及此时点 M 的坐标； （3）过点 C 作 CHPN 于点 H，SBMN9SCHM， 求点 P 的坐标； 连接 CP，在 y 轴上是否存在点 Q，使得CPQ 为直角三角形，若存在，求出点
12、 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案解析参考答案解析 一一.选择题（本题有选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.） 1与“新冠肺炎”患者接触过程中，下列哪种情况被传染的可能性最大（ ） A戴口罩与患者近距离交谈 B不戴口罩与患者近距离交谈 C戴口罩与患者保持社交距离交谈 D不戴口罩与患者保持社交距离交谈 【分析】根据生活常识判断即可 【解答】解：A、戴口罩与患者近距离交谈被传染的可能性不大，本选项不符合题意； B、不戴口罩与患者近距离交谈被传染的可能性大，本选项符合题意； C、戴口罩与患者保持社交距离交谈被传染的可能性不大，本选项不符合题意； D
13、、不戴口罩与患者保持社交距离交谈被传染的可能性不大，本选项不符合题意； 故选：B 【点评】本题考查的是可能性大小的判断，正确了解一些生活常识是解题的关键 2已知O 的半径为 4，OM3，则点 M 与O 的位置关系是（ ） A点 M 在圆外 B点 M 在圆上 C点 M 在圆内 D不能确定 【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论 【解答】解：O 的半径为 4，OM3，34， 点 M 在圆内 故选：C 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知若 dr，则直线与圆相交；若 dr，则直线于圆相切；若 dr，则直线与圆相离是解答此题的关键 3抛物线 yx22x 的对称轴是（ ） A直线 x2 B直
14、线 x2 C直线 x1 D直线 x1 【分析】变形为顶点式 yx22x（x1）21，然后根据顶点式的坐标特点，直接写出对称轴 【解答】解：yx22x（x1）21， 对称轴为 x1 故选：D 【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数 ya（xh）2+k 的顶点坐标为（h，k） ，对称轴为 xh 4如图，在O 中，AOB100，则弧 AB 的度数为（ ） A50 B80 C100 D200 【分析】圆心角的度数等于它所对的弧的度数，再得出答案即可 【解答】解：圆心角AOB100， 弧 AB 的度数为 100， 故选：C 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，能熟记圆心角的度数等于它所对的弧的度
15、数是解此题的关键 5欢欢将自己的核酸检测二维码打印在面积为 900cm2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 0.6 左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（ ） A300cm2 B360cm2 C450cm2 D540cm2 【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可 【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 0.6 左右，据此可以估计黑色部分的面积为 9000.6450（cm2） ， 故选：D 【点评】 本题主要考查利用频率估计概率， 大量重复实验时， 事件发生的频率在某个固定位置左右
16、摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率 6如图，点 A 的坐标为（0，3） ，点 C 的坐标为（1，0） ，B 的坐标为（1，4） ，将ABC 沿 y 轴向下平移，使点 A 平移至坐标原点 O，再将ABC 绕点 O 逆时针旋转 90，此时 B 的对应点为 B，点 C 的对应点为 C，则点 C的坐标为（ ） A （4，1） B （1，4） C （3，1） D （1，3） 【分析】首先根据点 A 的平移规律得到 C 的平移后坐标，再根据旋转规律得到 C的坐标 【解答】解：点 A 平移至坐标原点 O，点 A 的坐标为（
17、0，3） ， 向下平移三个单位长度， C 平移后的坐标为（1，3） ， 平移后再将ABC 绕点 O 逆时针旋转 90， 点 C的坐标为（3，1） 故选：C 【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化中的旋转与平移，正确使用坐标与图形变化的规律是解题的关键 7将抛物线 y（x1）23 先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到的新抛物线必经过（ ） A （1，0） B （0，5） C （1，2） D （1，2） 【分析】根据函数图象平移规律，得到新抛物线的解析式，然后把 x1、x0 分别代入即可判断 【解答】解：将抛物线 y（x1）23 先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到
18、的新抛物线 y（x1+2）231，即 y（x+1）24， 当 x1 时，y0，当 x0 时，y3， 新抛物线必经过点（1，0） ， 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式 8已知二次函数 yx24x+1，当 1x5 时，对应的函数值 y 不可能是（ ） A3 B6 C2 D7 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标可得当 1x5 时的函数取值范围，进而求解 【解答】解：yx24x+1（x2）23， 抛物线开口向上，顶点坐标为（2，3） ， 将 x5 代入 yx24x+1 得 y6，
19、当 1x5 时，3y6， 故选：D 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与方程及不等式的关系 9已知如图，在正方形 ABCD 中，点 A、C 的坐标分别是（3，9） （2，0） ，点 D 在抛物线的图像上，则 k 的值是（ ） A B C D 【分析】直接利用菱形的性质得出各边长，进而利用勾股定理得出 DO 的长，即可得出 C 点坐标，代入即可得出 k 的值 【解答】解：作 DMx 轴于 M，ANDM 于 N， 四边形 ABCD 是正方形， ADC90，ADDC， ADN+CDM90CDM+DCM， ADNDCM， ANDDMC90， ADNDCM（AAS） ， ANDM
20、，DNCM， 设 D（a，b） ， 点 A、C 的坐标分别是（3，9） （2，0） ， ，解得， D（4，7） ， 点 D 在抛物线的图像上， +4k7， k， 故选：A 【点评】此题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特点，得出 D 点坐标是解题关键 10如图，矩形 ABCD 中，E，F 分别是边 AB，BC 上的两个动点，将BEF 沿着直线 EF 作轴对称变换，得到BEF，点 B恰好在边 AD 上，过点 D，F，B作O，连结 OF若 OFBC，ABCF6时，则 AE（ ） A3 B6 C D 【分析】由矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，可求解 【解答】
21、解：延长 FO 交 AD 于 G， OFBC，ADBC， OGAD， GBGD， 四边形 ABCD 是矩形， BCAD，CD90， 四边形 FCDG 是矩形， GBGDFC6， BCADGB+GD+AB6+6+618， BFBCFC18612， BEF 和BEF 关于 EF 对称， FBFB12，EBEB， FG2FB2GB2， FG212262108， FG6， ABFG6， 令 AEx，则 EBEB6x， EB2EA2+BA2， x2+62， x2， AE2 故选：D 【点评】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，关键是掌握并灵活应用以上知识点 二二.填空题（本题有填空题（本题有
22、6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11抛物线 y（x+1）22 的顶点坐标是 （1，2） 【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标 【解答】解：因为 y（x+1）22 是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，2） ， 故答案为（1，2） 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟知求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法是解答此题的关键 12已知每 1000 个盲盒中常规款有 980 个， “小隐藏”15 个， “大隐藏”5 个现随机抽取 1 盒，抽取到的是“大隐藏”的概率为 【分析】用“大隐藏”的个数除以总个数即可 【解答】解：根据题意知，随机抽取 1
23、盒共有 1000 种等可能结果，其中抽取到的是“大隐藏”的有 5种结果， 所以抽取到的是“大隐藏”的概率为， 故答案为： 【点评】此题主要考查了概率公式，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 13已知点 A（4，a）和点 B（2，b）是抛物线 yx2+2xc 上的两点，则 a、b 的大小关系是 a b（填“”或“”或“” ） 【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴与开口方向，根据点 A，B 到抛物线对称轴的距离求解 【解答】解：yx2+2xc， 抛物线开口向上，对称轴为直线 x1， 点 A 到对称轴的距离等于点 B
24、 到对称轴的距离， ab， 故答案为： 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质 14如图，ABC 内接于O，CD 是O 的直径，连结 AD，若 CD2AD，ABBC6，则O 的半径 2 【分析】根据圆周角定理得到DAC90，证明ABC 为等边三角形，得到 ACAB6，根据勾股定理计算，得到答案 【解答】解：CD 是O 的直径， DAC90， CD2AD， ACD30， ADC60， 由圆周角定理得，ABCADC60， ABBC， ABC 为等边三角形， ACAB6， 由勾股定理得：CD2AD2+AC2，即 CD2（CD）2+62， 解得：CD4， 则O 的半径
25、为 2， 故答案为：2 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理的应用是解题的关键 15如图，在直角坐标系中，抛物线 yax24ax+2（a0）交 y 轴于点 A，点 B 是点 A 关于对称轴的对称点，点 C 是抛物线的顶点，若ABC 的外接圆经过原点 O，则点 C 的坐标为 （2，1） 【分析】连接 OB 交对称轴于点 O，根据二次函数的性质求出对称轴，根据勾股定理求出 OB，进而求出 OC，得到答案 【解答】解：连接 OB 交对称轴于点 O， 由题意得：抛物线的对称轴 x2，A（0，2） ，A，B 关于对称轴对称， B（4，2） ， 则 O
26、B2， ABC 的外接圆经过原点 O， 外接圆的圆心是线段 OB 的中点 O， O（2，1） ， OC， 点 C 坐标为（2，1） ， 故答案为： （2，1） 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，二次函数的性质，解题的关键是求出外接圆的半径 16 图 1 是小米家吊椅的图片， 其截面图如图 2 所示， 吊椅的外框架是一条抛物线， 抛物线的最高点为点 E，内框架内由一条圆弧 MN 和两个全等直角三角形组成， 点 A， B， C， D 在同一条直线上 已知 BMMN，MNAB，点 A 和点 D 的距离为 80cm，点 E，点 N 到直线 AB 的距离分别为 80cm，60cmMFN 是等腰三
27、角形， 过点 F 作 FHMN 交 MN 于点 H， 此时， 则弧 MN 所在的圆的半径为 cm 【分析】延长 HF，则必过点 E，过 E 作垂线 EOMN，以 BC 中点为原点，过 A、B、C 的直线为 x 轴，OE 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系，根据 A、D 坐标设出抛物线的两点式解析式，再根据 E 点坐标求出函数解析式，再根据 N 纵坐标求出横坐标的坐标，然后在EHN 中，HN20，求出 FH，再 通过勾股定理求出弧 AB 所在圆的半径 【解答】解：延长 HF，则必过点 E，过 E 作垂线 EOMN， 以 BC 中点为原点，过 A、B、C 的直线为 x 轴， OE 所在的直线为 y
28、 轴建立直角坐标系， 则 A（40，0） ，D（40，0） ， 设抛物线 ya（x+40） （x40） ， 将 E（0，80）代入得：80a（x+40） （x40） ， 解得：a， y（x+40） （x40）x2+80， N 点纵坐标为 60， 令 y60 得：x2+8060， 解得：x20 或 x20（舍去） ， 在EHN 中，HN20， FH2015， 设弧 MN 所在圆半径为 rcm， 则由图可知：r2202+（r15）2， 解得：r， 答：弧 MN 所在的圆的半径为cm， 故答案为：cm 【点评】本题主要考查二次函数的应用，关键是根据实际物品的特点建立直角坐标系，求函数解析式 三三.解
29、答题（本题有解答题（本题有 8 小题，共小题，共 80 分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17 （10 分）如图所示，O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 E，ABCD，连接 AD，BC，求证： （1）； （2）AECE 【分析】 （1）由 ABCD，推出，推出 （2）证明ADECBE 可得结论 【解答】证明： （1）ABCD， ， +， （2）， ADBC， ADECBE，AEDCEB， ADECBE（AAS） ， AEEC 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角
30、形解决问题 18 （8 分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球其中红球 3 个，白球 5 个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是 （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）小明从盒子里取出 m 个白球（其他颜色球的数量没有改变） ，使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出 m 的值 【分析】 （1）直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数； （2）直接利用概率公式的意义分析得出答案； （3）利用概率公式计算得出符合题意的方法 【解答】解： （1）红球 3 个，白球 5 个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， 盒子中球的总数为：515（个）
31、 ， 故盒子中黑球的个数为：15357（个） ； 任意摸出一个球是黑球的概率为：； （2）任意摸出一个球是红球的概率为， 盒子中球的总量为：312， 可以将盒子中的白球拿出 3 个， m3 【点评】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式 19 （8 分）如图，在 66 的正方形网格中，网线的交点称为格点，点 A，B，C 都是格点已知每个小正方形的边长为 1 （1）画出ABC 的外接圆O，并直接写出O 的半径是多少 （2）连接 AC，在网格中画出一个格点 P，使得PAC 是直角三角形，且点 P 在O 上 【分析】 （1）直接利用网格结合勾股定理得出答案； （2）字节利用圆周角定理
32、得出 P 点位置 【解答】解： （1）如图所示：O 即为所求，O 的半径是：； （2）如图所示：直角三角形 PAC 即为所求 【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确利用网格分析是解题关键 20 （8 分）2022 年冬奥会和残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”广受大众喜爱，某校九年（1）班的迎新年班队课上，老师在抽奖环节准备了四张奖券，它们的形状外观大小完全一样，已知四张奖券中有两张代表冬奥会吉祥物“冰墩墩”玩偶（记作 A1，A2） ，有一张代表残奥会吉祥物“雪容融”玩偶（记作 B） ，还有一张代表虎年特制的小老虎玩偶（记作 C） （1）随机抽取一张奖券，恰好代表“冰墩墩”玩偶的概率是 （
33、2） 小丽同学在课堂上表现出色， 获得了两张奖券， 并且获得了优先抽奖资格 请利用树状图或列表法，求小丽抽取的奖券恰好是一张“冰墩墩”玩偶和一张“雪容融”玩偶的概率 【分析】 （1）直接利用概率公式求解即可 （2）画树状图得出所有等可能的结果数，以及小丽抽取的奖券恰好是一张“冰墩墩”玩偶和一张“雪容融”玩偶的结果数，再利用概率公式可得出答案 【解答】解： （1）共有四张奖券，两张代表冬奥会吉祥物“冰墩墩”玩偶， 随机抽取一张奖券，恰好代表“冰墩墩”玩偶的概率是 故答案为： （2）画树状图如下： 共有 12 种等可能的结果，其中小丽抽取的奖券恰好是一张“冰墩墩”玩偶和一张“雪容融”玩偶的结果有
34、4 种， 小丽抽取的奖券恰好是一张“冰墩墩”玩偶和一张“雪容融”玩偶的概率为 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键 21 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx+4（a0，a、b 为常数）的对称轴为直线，图象与 x 轴交于 A（1，0）和点 B，与 y 轴的正半轴交于点 C，过点 C 的直线与 x 轴交于点 D （1）求抛物线的表达式，并直接写出点 B 的坐标； （2）若点 M 是抛物线上一动点，过点 M 作 MECD 于点 E，MFx 轴交直线 CD 于点 F，当MEFCOD 时，请求出点 M 的坐标 【分析】 （1）将 A（1，
35、0）和对称轴 x代入 yax2+bx+4，即可得抛物线的解析式，令 y0 可得点B 的坐标； （2）由题意可得 FM5，设 M（m，m2+m+4） ，则 F（m5，m2+m+4） ，再由 EF 点在直线 CD 上，即可求 m 的值，进而确定 M 点的坐标 【解答】解： （1）将 A（1，0）代入 yax2+bx+4 得：ab+40， 抛物线 yax2+bx+4（a0，a、b 为常数）的对称轴为直线， ， a，b， 抛物线的表达式为 yx2+x+4， 当 y0 时，x2+x+40， 解得：x11，x26， B（6，0） ； （2）MECD， MEF90， MFx 轴， FMECDO， MEFCO
36、D， MFCD， 当 y0 时，x+40， x3， OD3， OC4， CD5， FM5， 设 M（m，m2+m+4） ，则 F（m5，m2+m+4） ， EF 点在直线 CD 上， m2+m+4（m5）+4， m2 或 m5， M（2，8）或 M（5，4） 【点评】 本题是二次函数的综合题， 熟练掌握二次函数的图象及性质， 全等三角形的性质是解题的关键 22 （10 分）如图，在ACD 中，DADC，点 B 是 AC 边上一点，以 AB 为直径的O 经过点 D，点 F 是直径 AB 上一点（不与 A、B 重合） ，延长 DF 交圆于点 E，连接 EB （1）求证：CE； （2）若，求 AD
37、的长 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得出AC，根据圆周角定理得出AE，据此即可得解； （2）作 FHAD 于 H，连接 OE只要证明DFH 是等腰直角三角形即可解决问题 【解答】 （1）证明：DADC， AC， AE， CE （2）解：作 FHAD 于 H，连接 OE， ， OEAB， AOE90， ADFAOE45， FHAD， FHD90， DF3， HFHD3， AC30，FH3，AHF90， AHFH3， ADAH+DH3+3 【点评】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题 23 （12
38、 分）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批进价为 6 元/个的许愿瓶进行销售，并将所得的利润捐给慈善机构根据市场调查，这种许愿瓶每日的销售量 y（个）与销售单价 x（元/个）之间满足关系式：y20 x+400 （1）求每日销售这种许愿瓶所得的利润 w（元）与销售单价 x 之间的函数关系式； （2）求每日销售这种许愿瓶所得的利润 w（元）的最大值及相应的销售单价； （3） “国庆节”期间，该校公益团队想继续销售许愿瓶的慈善活动，却发现批发商调整了许愿瓶的进货价格，进价变为了 m 元/个但是许愿瓶每日的销量与销售单价的关系不变为了不亏本，至少需按照12 元/个销售，而物价部
39、门规定销售单价不得超过 15 元/个在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随 x 的增大而增大，求 m 的最小值 【分析】 （1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出关系式； （2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值； （3）根据日销售利润日销售量（销售单价成本单价）列出函数解析式，求出函数对称轴为 x10+，再根据在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随 x 的增大而增大，12x15，从而得出结论 【解答】解： （1）由题意得：w（x6）y （x6） （20 x+400） 即利润 w（元）与销售单价 x 之间的函数关系式为
40、 w20 x2+520 x2400； （2）由（1）知，w20 x2+520 x240020（x13）2+980， 200， 当 x13 时，w 有最大值，最大值为 980， 该商品每天获得的利润 w 的最大值为 980 元； （3）由题意得：w（xm） （20 x+400） 20 x2+（400+20m）x400m， 200， 抛物线开口向下， 对称轴为直线 x10+， 在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随 x 的增大而增大，12x15， 10+15， 解得：m10， m 最小值为 10 【点评】本题考查二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目
41、24 （14 分）抛物线 yax2+bx4（a0）与 x 轴交于点 A（2，0）和 B（4，0） ，与 y 轴交于点 C，连接BC 点 P 是线段 BC 下方抛物线上的一个动点 （不与点 B， C 重合） ， 过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于 M，交 x 轴于 N， 设点 P 的横坐标为 t （1）求该抛物线的解析式； （2）用关于 t 的代数式表示线段 PM，求 PM 的最大值及此时点 M 的坐标； （3）过点 C 作 CHPN 于点 H，SBMN9SCHM， 求点 P 的坐标； 连接 CP，在 y 轴上是否存在点 Q，使得CPQ 为直角三角形，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，
42、请说明理由 【分析】 （1）利用待定系数法即可求得答案； （2）运用待定系数法求得直线 BC 的解析式为 yx4，设 P（t，t2t4） ，则 M（t，t4） ，可得PMt2+2t（t2）2+2，运用二次函数最值即可求得答案； （3）根据题意建立方程求解即可得出答案； 设 Q（0，m） ，PCQ90，分两种情况：当CQP90时，当CPQ90时，分别求得点 Q 的坐标即可 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx4（a0）与 x 轴交于点 A（2，0）和 B（4，0） ， ， 解得：， 该抛物线的解析式为 yx2x4； （2）在 yx2x4 中，令 x0，得 y4， C（0，4） ， 设直线
43、BC 的解析式为 ykx+c，则， 解得：， 直线 BC 的解析式为 yx4， 设 P（t，t2t4） ，则 M（t，t4） ， PMt4（t2t4）t2+2t， PMt2+2t（t2）2+2，0， 当 t2 时，PM 取得最大值 2，此时点 M 的坐标为（2，2） ； （3）如图 1，P（t，t2t4） ，M（t，t4） ，N（t，0） ，B（4，0） ，C（0，4） ，CHPN， BN4t，MN4t，CHt，MHt4（4）t， SBMN9SCHM， （4t）29t2， 解得：t11，t22， 点 P 是线段 BC 下方抛物线上的一个动点， 0t4， t1， P（1，） ； 存在点 Q 使得CPQ 为直角三角形，设 Q（0，m） ， C（0，4） ，P（1，） ， CP2（10）2+（+4）2，CQ2（4m）2，PQ212+（m）2， 当CQP90时，如图 2，PQy 轴， Q（0，） ； 当CPQ90时，如图 3， 在 RtCPQ 中，CP2+PQ2CQ2， +12+（m）2（4m）2， 解得：m， Q（0，） ； 综上所述，点 Q 的坐标为（0，）或（0，） 【点评】本题是二次函数综合题，重点考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，三角形面积，直角三角形的性质，勾股定理，应用二次函数的最值等，此题综合性较强，属于考试压轴题
