1、 江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区八年级江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区八年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。分。 1下面四个图形分别是绿色食品、低碳、节能和节水标志，是轴对称图形的是（ ） A B C D 23 的平方根是（ ） A3 和3 B3 C D和 3到三角形三边距离相等的点是（ ） A三边垂直平分线的交点 B三条高所在直线的交点 C三条角平分线的交点 D三条中线的交点 4以下数组中，其中是勾股数的是（ ） A2.5，6，6.5 B9，40，41 C1，1 D2，3，4 5已知二次
2、根式，则下列各数中能满足条件的 a 的值是（ ） A4 B3 C2 D1 6工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在AOB 的边 OA、OB 上分别取 OMON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与 M、N 重合，得到AOB 的平分线 OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（ ） ASSS BSAS CASA DHL 7ABC 的三边 a，b，c 满足 a2+b2+c2ab+bc+ac，则ABC 是（ ） A等边三角形 B腰底不等的等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 8如图，圆柱形玻璃容器高 20cm，底面圆的周长为 48cm，在外侧距下底 1cm 的点 A 处有一蜘蛛，与蜘蛛
3、相对的圆柱形容器的上口外侧距上口 1cm 的点 B 处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是（ ） A52cm B6cm C60cm D30cm 9有下列说法： 有理数和数轴上的点一一对应； 不带根号的数一定是有理数； 负数没有立方根； 是 17 的平方根其中正确的有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 10 如图， 在边长为 6 的正方形 ABCD 内作EAF45， AE 交 BC 于点 E， AF 交 CD 于点 F， 连接 EF 若DF3，则 BE 的长为（ ） A2 B3 C4 D5 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分
4、，共 24 分把答案直接填在答题卡相应位置分把答案直接填在答题卡相应位置. 11四个实数2，0，3 中，最小的实数是 12有理数 12.6013 精确到百分位的结果为 13有一个英语单词，其四个字母都关于直线 l 对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 1412 的平方根为 15计算：（）2（3）0 16如图，在ABC 中，ABAC10cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若DBC 的周长为18cm，则 BC 的长为 17如图，在矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为 2 和 4，则图中阴影部分的面积是 18如图，在ABC 中，BAC30，且 ABAC
5、，P 是ABC 内一点，若 AP+BP+CP 的最小值为 4，则 BC2 三、解答题：（本大题共三、解答题：（本大题共 10 小题，共小题，共 76 分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）计算过程、推演步骤或文字说明） 19求满足下列各式的未知数 x 的值 （1）4（x1）2100； （2）（x+2）327 20计算： （1）； （2） 21正数 x 的两个平方根分别为 6a 和 2a+3 （1）求 a 的值； （2）求 9x 的立方根 22如图 1，将长为 2a+3， 宽为 2a 的矩形分
6、割成四个全等的直角三角形， 拼成如图 2 所示的“赵爽弦图” ，得到大小两个正方形 （1）用关于 a 的代数式表示图 2 中小正方形的边长； （2）已知图 2 中小正方形面积为 36，求大正方形的面积？ 23如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，ABDB，BE 平分ABC，交 AC 边于点 E，连接 DE （1）求证：ABEDBE； （2）若A100，C50，求AEB 的度数 24如图，ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E，F 为直线 AD 上的点，连接 BE，CF，且 BECF （1）求证：BDECDF； （2）若 AE13，AF7，试求 DE 的长 25在正方形网格中，小正方
7、形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为 1，内角均为直角，ABC的三个顶点均在“格点”处 （1）将ABC 平移，使得点 B 移到点 B的位置，画出平移后的ABC； （2）利用正方形网格画出ABC 的高 AD； （3）连接 BB、CB，利用全等三角形的知识证明 BBAC 26在ABC 中，AB20cm，BC16cm，点 D 为线段 AB 的中点，动点 P 以 2cm/s 的速度从 B 点出发在 射线 BC 上运动 （1）若B60，求出发几秒后，BDP 为等边三角形？ （2）若B60，求出发几秒后，BDP 为直角三角形？ （3）若 ABAC，点 Q 与点 P 同时出发，其中点 Q 以 acm
8、/s（a0 且 a2）的速度从 C 点出发在线段CA 上运动，当 a 为何值时，BPD 和CQP 全等？ 27（1）如图，河道上 A，B 两点（看作直线上的两点）相距 200 米，C，D 为两个菜园（看作两个点），ADAB，BCAB，垂足分别为 A，B，AD80 米，BC70 米，现在菜农要在 AB 上确定一个抽水点 P，使得抽水点 P 到两个菜园 C，D 的距离和最短请在图中作出点 P，保留作图痕迹，并求出 PC+PD 的最小值 （2）借助上面的思考过程，请直接写出当 0 x15 时，代数式+的最小值 28如图 1等腰ABC 中，ABAC点 D 是 AC 上一动点，点 E 在 BD 延长线上
9、且 ABAECFEF （1）在图 1 中，证明：BFCBAC； （2）若BAC60，如图 2探究线段 AF、BF、EF 之间的数量关系，并证明； （3）若BAC90且 BD 平分ABC，如图 3求的值 参考答案参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。分。 1下面四个图形分别是绿色食品、低碳、节能和节水标志，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称的概念得出结论即可 解：由题意知，A 选项是轴对称图形，BCD 选项中的图形都不是轴对称图形， 故选：A 【点评】本题主要考查轴对称的知识，熟练掌握轴对称的概念是
10、解题的关键 23 的平方根是（ ） A3 和3 B3 C D和 【分析】利用平方根定义计算即可 解：3 的平方根是 故选：D 【点评】此题考查算术平方根，以及平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键 3到三角形三边距离相等的点是（ ） A三边垂直平分线的交点 B三条高所在直线的交点 C三条角平分线的交点 D三条中线的交点 【分析】根据 OGAB，OFAC，OGOF，得出 O 在A 的平分线上，同理得出 O 也在B、C 的平分线上，即可得出 O 是三条角平分线的交点 解：OGAB，OFAC，OGOF， O 在A 的平分线上， 同理 O 在B 的平分线上， O 在C 的平分线上， 即 O 是三条角
11、平分线的交点， 故选：C 【点评】本题考查了三角形的中线，角平分线，垂直平分线，高等知识点，注意：三角形的三个角的平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等 4以下数组中，其中是勾股数的是（ ） A2.5，6，6.5 B9，40，41 C1，1 D2，3，4 【分析】根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案 解：A、2.5 和 6.5 不是整数，不是勾股数，故此选项不符合题意； B、92+402412，是勾股数，故此选项符合题意； C、不是整数，不是勾股数故此选项不符合题意； D、22+3242，不是勾股数，故此选项不符合题意 故选：B 【点评】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和
12、勾股数的定义，满足 a2+b2c2 5已知二次根式，则下列各数中能满足条件的 a 的值是（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可 解：由题意可知：1a0， 解得：a1 故选：D 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解答本题的关键 6工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在AOB 的边 OA、OB 上分别取 OMON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与 M、N 重合，得到AOB 的平分线 OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（ ） ASSS BSAS CASA DHL 【分析】已知两三角形三边分别相等，
13、可考虑 SSS 证明三角形全等，从而证明角相等 解：做法中用到的三角形全等的判定方法是 SSS 证明如下 OMON PMPN OPOP ONPOMP（SSS） 所以NOPMOP 故 OP 为AOB 的平分线 故选：A 【点评】本题考查全等三角形在实际生活中的应用对于难以确定角平分线的情况，利用全等三角形中对应角相等，从而轻松确定角平分线 7ABC 的三边 a，b，c 满足 a2+b2+c2ab+bc+ac，则ABC 是（ ） A等边三角形 B腰底不等的等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 【分析】方程两边乘 2，再移项后分组得出（ab）2+（ac）2+（bc）20，求出 ab0 且 ac
14、0 且 bc0，求出 abc，再根据等边三角形的判定得出即可 解：a2+b2+c2ab+bc+ac， 2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ac， 2a2+2b2+2c22ab2bc2ac0， （a22ab+b2）+（a22ac+c2）+（b22bc+c2）0， （ab）2+（ac）2+（bc）20， ab0 且 ac0 且 bc0， 即 abc， 所以BAC 是等边三角形， 故选：A 【点评】本题考查了等边三角形的判定，直角三角形的判定和等腰三角形的判定，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键 8如图，圆柱形玻璃容器高 20cm，底面圆的周长为 48cm，在外侧距下底 1cm 的点
15、A 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口 1cm 的点 B 处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是（ ） A52cm B6cm C60cm D30cm 【分析】先把圆柱沿过 B 点的母线剪开，然后展开如图，A点为点 A 展开后的对应点，根据两点之间线段最短得到最短路线长度为 AB 的长度，然后根据勾股定理计算 AB 的长即可 解：把圆柱沿过 B 点的母线剪开，然后展开如图，A点为点 A 展开后的对应点， 作 BHMN 于 H，BH4824（cm），MH1cm，AN1cm， AH201118（cm）， 在 RtABH 中，AB30（cm） 故选：D 【点评】本题考查了平面
16、展开最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径一般情况是两点之间，线段最短在平面图形上构造直角三角形解决问题 9有下列说法： 有理数和数轴上的点一一对应； 不带根号的数一定是有理数； 负数没有立方根； 是 17 的平方根其中正确的有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定； 根据无理数的定义即可判定； 根据立方根的定义即可判定； 根据平方根的定义即可解答 解：实数和数轴上的点一一对应，故说法错误； 不带根号的数不一定是有理数，如 ，故说法错误； 负数有立方根，故说法错误； 17 的平方根， 是 17 的一个
17、平方根故说法正确 故选：B 【点评】此题主要考查了实数的定义和计算有理数和无理数统称为实数，要求掌握这些基本概念并迅速做出判断 10 如图， 在边长为 6 的正方形 ABCD 内作EAF45， AE 交 BC 于点 E， AF 交 CD 于点 F， 连接 EF 若DF3，则 BE 的长为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】 如图， 首先把ADF 旋转到ABG， 然后利用全等三角形的性质得到 DFBG， DAFBAG，然后根据题目中的条件，可以得到EAGEAF，再根据 DF3，AB6 和勾股定理，可以求出 BE的长，本题得以解决 【解答】解；如图，把ADF 绕 A 逆时针旋转 90得到ABG
18、， ADFABG， ADFABGABE90， ABG+ABE180， G、B、E 三点共线， DFBG，DAFBAG， DAB90，EAF45， DAF+EAB45， BAG+EAB45， EAFEAG， 在EAG 和EAF 中， ， EAGEAF（SAS）， GEFE， 设 BEx， CD6，DF3， CF3， 则 GEBG+BE3+x，CE6x， EF3+x， C90， （6x）2+32（3+x）2， 解得，x2， BE 的长为 2 故选：A 【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 二、填空题：本大题共二、填空题：本大
19、题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分把答案直接填在答题卡相应位置分把答案直接填在答题卡相应位置. 11四个实数2，0，3 中，最小的实数是 2 【分析】根据负数都小于 0 即可得出结论 解：四个实数2，0，3 中，2 是负数， 最小的实数是2 故答案为：2 【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知负数都小于 0 是解题关键 12有理数 12.6013 精确到百分位的结果为 12.60 【分析】把千分位上的数字 1 进行四舍五入即可 解：有理数 12.6013 精确到百分位的结果为 12.60 故答案为：12.60 【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常
20、用的表示形式 13有一个英语单词，其四个字母都关于直线 l 对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 书 【分析】结合题意可知，题中的四个字母均是轴对称图形，所以直线 l 是四个字母的对称轴；将残缺的字母关于直线对称，即可得到完整字母，通过字母组成的单词即可知道所指物品了 解：补全字母，如图所示： 故这个单词所指的物品是书 故答案为：书 【点评】本题侧重考查生活中的轴对称现象，掌握轴对称的性质是解决此题的关键 1412 的平方根为 【分析】由平方根的概念即可求解 解：12 的平方根为， 故答案为： 【点评】本题考查平方根的概念，关键是掌握：如果一个数的平方等于 a，这个数
21、就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数 15计算：（）2（3）0 25 【分析】分别进行二次根式的化简、零指数幂、负整数指数幂的运算，然后按照实数的运算法则计算即可 解：原式241 25 故答案为：25 【点评】本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的化简、零指数幂、负整数指数幂等知识点，属于基础题 16如图，在ABC 中，ABAC10cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若DBC 的周长为18cm，则 BC 的长为 8cm 【分析】利用线段垂直平分线的性质得 ADBD，再利用已知条件结合三角形的周长计算 解：DBC 的周长
22、BC+BD+CD18cm， 又DE 垂直平分 AB， ADBD， 故 BC+AD+CD18cm， ACAD+DC10cm， BC18108（cm） 故答案为：8cm 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用 17如图，在矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为 2 和 4，则图中阴影部分的面积是 22 【分析】根据两个正方形的面积，利用算术平方根定义求出各自的边长，即可确定出阴影部分即可 解：由相邻两个正方形的面积分别为 2 和 4，得到边长为和 2， 则阴影部分面积 S（2）22， 故答案为：22 【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术
23、平方根的定义是解本题的关键 18如图，在ABC 中，BAC30，且 ABAC，P 是ABC 内一点，若 AP+BP+CP 的最小值为 4，则 BC2 3216 【分析】如图将ABP 绕点 A 顺时针旋转 60得到AMG连接 PG，CM首先证明当 M，G，P，C共线时， PA+PB+PC 的值最小， 最小值为线段 CM 的长， 由等腰直角三角形求得 AC 的长， 进而求得 BN、CN，由勾股定理求得结果 解：如图将ABP 绕点 A 顺时针旋转 60得到AMG连接 PG，CM， 则 ABACAM，MGPB，AGAP，GAP60， GAP 是等边三角形， PAPG， PA+PB+PCCP+PG+GM
24、， 当 M，G，P，C 共线时，PA+PB+PC 的值最小，最小值为线段 CM 的长， AP+BP+CP 的最小值为 4， CM4， BAM60，BAC30， MAC90， AMAC4， 作 BNAC 于 N则 BNAB2，AN2，CN42， BC2BN2+CN222+（42）23216， 故答案为：3216 【点评】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决问题，属于中考常考题型 三、解答题：（本大题共三、解答题：（本大题共 10 小题，共小题，共 76 分，把解答
25、过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）计算过程、推演步骤或文字说明） 19求满足下列各式的未知数 x 的值 （1）4（x1）2100； （2）（x+2）327 【分析】（1）根据等式的性质解决此题 （2）根据立方根的定义解决此题 解：（1）4（x1）2100， （x1）225 x15 x6 或4 （2）（x+2）327， x+23 x5 【点评】本题主要考查解一元一次方程、立方根，熟练掌握一元一次方程的解法、立方根的定义是解决本题的关键 20计算： （1）； （2） 【分析】（1）先化简，进行乘法与除
26、法运算，最后算加减即可； （2）利用二次根式的乘法的法则及完全平方公式进行运算，最后算加减即可 解：（1） （） ； （2） 632+1+2+2 7+ 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用 21正数 x 的两个平方根分别为 6a 和 2a+3 （1）求 a 的值； （2）求 9x 的立方根 【分析】（1）正数的平方根互为相反数； （2）求出 9x 的值，再求立方根 解：（1）正数 x 的两个平方根分别为 6a 和 2a+3， 6a+2a+30， a9； （2）6a15，2a+315， x（15）2225， 求 9x 的立方根为6 【点评】本题考查了学
27、生对正数的平方根和立方根的理解，正数的有两个平方根，且互为相反数，这时解本题的突破口，学生要充分把握 22如图 1，将长为 2a+3， 宽为 2a 的矩形分割成四个全等的直角三角形， 拼成如图 2 所示的“赵爽弦图” ，得到大小两个正方形 （1）用关于 a 的代数式表示图 2 中小正方形的边长； （2）已知图 2 中小正方形面积为 36，求大正方形的面积？ 【分析】（1）观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可； （2）根据正方形的面积边长的平方列出代数式，把 a3 代入求值即可 解：（1）直角三角形较短的直角边2aa， 较长的直角边2a+3， 小正方形的边长2a+3aa+3；
28、（2）小正方形的面积（a+3）236， a3（负值舍去）， 大正方形的面积92+3290 【点评】本题考查了勾股定理的证明，列代数式，代数式求值，观察图形，用直角三角形较长的直角边 减去较短的直角边求出小正方形的边长是解题的关键 23如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，ABDB，BE 平分ABC，交 AC 边于点 E，连接 DE （1）求证：ABEDBE； （2）若A100，C50，求AEB 的度数 【分析】（1）由角平分线定义得出ABEDBE，由 SAS 证明ABEDBE 即可； （2）由三角形内角和定理得出ABC30，由角平分线定义得出ABEDBEABC15，在ABE 中，由三角
29、形内角和定理即可得出答案 【解答】（1）证明：BE 平分ABC， ABEDBE， 在ABE 和DBE 中， ABEDBE（SAS）； （2）解：A100，C50， ABC30， BE 平分ABC， ABEDBEABC15， 在ABE 中，AEB180AABE1801001565 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键 24如图，ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E，F 为直线 AD 上的点，连接 BE，CF，且 BECF （1）求证：BDECDF； （2）若 AE13，AF7，试求 D
30、E 的长 【分析】（1）利用中点性质可得 BDCD，由平行线性质可得DBEDCF，再由对顶角相等可得BDECDF，即可证得结论； （2）由题意可得 EFAEAF6，再由全等三角形性质可得 DEDF，即可求得答案 【解答】（1）证明：AD 是 BC 边上的中线， BDCD， BECF， DBEDCF， 在BDE 和CDF 中， ， BDECDF（ASA）； （2）解：AE13，AF7， EFAEAF1376， BDECDF， DEDF， DE+DFEF6， DE3 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，难度较小，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键 25在正方形网格中，小正方形的顶点称为
31、“格点”，每个小正方形的边长均为 1，内角均为直角，ABC的三个顶点均在“格点”处 （1）将ABC 平移，使得点 B 移到点 B的位置，画出平移后的ABC； （2）利用正方形网格画出ABC 的高 AD； （3）连接 BB、CB，利用全等三角形的知识证明 BBAC 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出 A，B，C 的对应点 A，B，C即可； （2）根据三角形的高的定义画出图形即可； （3）证明ADCBCB（SAS），可得结论 解：（1）如图，ABC即为所求； （2）如图，线段 AD 即为所求； （3）设 AC 交 BB于点 J 在ADC 和BCB中， ， ADCBCB（SAS）， DACCB
32、B， ACD+DAC90， CBB+ACB90， BJC90， BBAC 【点评】本题考查作图平移变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，正确寻找全等三角形解决问题 26在ABC 中，AB20cm，BC16cm，点 D 为线段 AB 的中点，动点 P 以 2cm/s 的速度从 B 点出发在射线 BC 上运动 （1）若B60，求出发几秒后，BDP 为等边三角形？ （2）若B60，求出发几秒后，BDP 为直角三角形？ （3）若 ABAC，点 Q 与点 P 同时出发，其中点 Q 以 acm/s（a0 且 a2）的速度从 C 点出发在线段CA 上运动，当 a 为何值时，BP
33、D 和CQP 全等？ 【分析】（1）根据等边三角形的判定求解即可； （2）分两种情况；当BPD90时，由B60，得到BDP30，求得 2BPBD10，求出x2.5；当BDP90时，根据三角形的内角和得到BPD30，求出 x10；即可得到当 P 出发2.5 秒或 10 秒后，BPD 为直角三角形； （3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点 P 运动的时间，再求得点 Q 的运动速度 解：（1）B60， 当 BDBP 时，BDP 为等边三角形， AB20cm，点 D 为线段 AB 的中点， BD10cm， BP10cm， 动点 P 的运动时间为：5（秒），
34、即出发 5 秒后，BDP 为等边三角形； （2）设运动时间为 x 秒， 当BPD90时， B60， BDP30， 2BPBD10cm， BP5cm， 即 2x5， x2.5； 当BDP90时， B60， BPD30， BP2BD20cm， 即 2x20cm， x10； 当 P 出发 2.5 秒或 10 秒后，BPD 为直角三角形； （3）设运动时间为 t 秒， ABAC， BC， AB20cm，D 是 AB 的中点， BD10cm， 当 BDQC，BPCP 时，BDPCQP， BC16cm， BPCP8cm， BP2t， t4， CQat4a10， a， 当 BDPC，BPCQ 时，BDPCP
35、Q， CP162t10， t3， BP6，CQat3a6， a2， 综上所述，当 a或 2 时，BPD 和CQP 全等 【点评】 本题是三角形综合题， 考查了全等三角形的判定和性质， 等边三角形的判定， 三角形的内角和，直角三角形的判定， 熟练掌握全等三角形的判定、 等边三角形的判定、 直角三角形的判定是解题的关键 27（1）如图，河道上 A，B 两点（看作直线上的两点）相距 200 米，C，D 为两个菜园（看作两个点），ADAB，BCAB，垂足分别为 A，B，AD80 米，BC70 米，现在菜农要在 AB 上确定一个抽水点 P，使得抽水点 P 到两个菜园 C，D 的距离和最短请在图中作出点
36、P，保留作图痕迹，并求出 PC+PD 的最小值 （2）借助上面的思考过程，请直接写出当 0 x15 时，代数式+的最小值 17 【分析】（1）作点 C 关于 AB 的对称点 F，连接 DF 交 AB 于点 P，连接 PC，点 P 即为所求；根据勾股定理可得 DF 的长，从而解答即可； （2） 先作出点 C 关于 AB 的对称点 F， 连接 DF， 使 AB15， AD5， BCBF3， DF 就是代数式+的最小值， 解：（1）作点 C 关于 AB 的对称点 F，连接 DF 交 AB 于点 P，连接 PC，点 P 即为所求； 作 DEBC 交 BC 的延长线于 E 在 RtDEF 中，DEAB2
37、00 米，EFAD+BC80+70150 米， DF250（米）， PD+PC 的最小值为 250 米； （2）：先作出点 C 关于 AB 的对称点 F，连接 DF，作 DEBC 交 BC 的延长线于 E 使 AB15，AD5，BCBF3，DF 就是代数式+的最小值， DF17， 代数式+的最小值为 17 故答案为：17 【点评】本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型 28如图 1等腰ABC 中，ABAC点 D 是 AC 上一动点，点 E 在 BD 延长线上且 ABAECFEF （1）在图 1 中，证明：BFCBAC； （2）若BA
38、C60，如图 2探究线段 AF、BF、EF 之间的数量关系，并证明； （3）若BAC90且 BD 平分ABC，如图 3求的值 【分析】（1）证明CAFEAF（SSS），利用全等三角形的性质即可解决问题； （2） 结论： AF+EFBF 如图 2 中， 在 BF 上取点 G， 使 FGFC， 连接 CG 证明BGCAFC （SAS） ，推出 AFBG，可得结论； （3）如图 3 中，延长 BA，CF 交于点 H证明HBFCBF（ASA），ABDACH（ASA），可得结论 【解答】（1）证明：如图 1 中， ABAC，ABAE， ACAE， 在AFC 和AFE 中， ， CAFEAF（SSS），
39、EACF， 又ABAE， EABE， ABEACF， 又ADBFDC， BFCBAC； （2）解：结论：AF+EFBF 理由：如图 2 中，在 BF 上取点 G，使 FGFC，连接 CG BAC60， BFC60， FGFC， GFC 为等边三角形， 又ABAC，BAC60， ABC 为等边三角形， ACBGCF60， BCGACF， 又BCAC，GCFC， BGCAFC（SAS）， AFBG， 由（1）得ACFAEFEFCF， CFGF， EFGF BFBG+GF， BFAF+EF； （3）如图 3 中，延长 BA，CF 交于点 H BFCBAC90， BFCBFH90，BD 平分ABC， ABFCBF， 又BFBF， HBFCBF（ASA）， CFHFCH， 又BACHAC90，ABAC，ABDACH， ABDACH（ASA）， BDCH2CF， CFEF， BD2EF， 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题
