1、广东省广州市南沙区三校联考九年级上期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列图形是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 2. 已知点坐标为（3，1），则点关于原点中心对称点坐标为（ ）A. （3，1）B. （3，1）C. （3，1）D. （1，3）3. 一元二次方程x22x=0的解是（ ）A. 2B. 0或2C. 0或2D. 2或24. 抛物线对称轴是（ ）.A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线5. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）A. 9人B. 10人C. 11人D. 12人6. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在
2、边上，连接，则的长度是（ ）A. B. C. D. 7. 点A(2，)，B(0，)，C(1，)为二次函数的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A. B. C. D. 8. 若m是方程的一个根，则的值为（ ）A. 2018B. 2019C. 2020D. 20219. 在同一直角坐标系中与图象大致为A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示下列结论：方程的两个根是，；当时，的取值范围是其中结论正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题11. 已知关于x的方程的一个根为2，则这个方程的另一个根是_12. 某
3、工厂今年元月份的产值是50万元，3月份的产值达到了72万元若求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x，依题意可列方程_13. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是_14. 如图，把ABC绕点C按顺时针方向旋转35，得到，交AC于点D，若，则A= 15. 当1x3时，二次函数yx24x+5有最大值m，则m_16. 已知：如图，等边中，则的长为_三、解答题17. 用恰当的方法解一元二次方程：18. ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度按要求作图：（1）画出ABC关于原点O的中心
4、对称图形A1B1C1（2）将ABC绕点A逆时针旋转90得到A2B2C2，则B2的坐标为 （3）求A2B2C2面积19. 如图，是绕O点旋转40后所得的图形，点C恰好在上，求的度数20. 已知关于x的方程(1)若此方程的一个根为1，求m的值；(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根21. 如图二次函数的图象与轴交于点A(3，0)，B(1，0)两点，与轴交于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D（1）求二次函数的解析式；（2）写出使一次函数值大于二次函数值的取值范围；（3）若直线与轴的交点为点，连结，求的面积22. 如图，用一段长为40m的篱
5、笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长28m设长为xm，矩形的面积为（1）写出y与x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？23. 如图，点M，N分别在正方形的边，上，且把绕点A顺时针旋转90得到（1）求证：（2）若，求正方形的边长24. （1）数学兴趣小组同学将制作的和摆放成如图所示的位置，且，则AD和BE的数量关系为_；（2）如图，在中，将线段CA绕点C顺时针旋转（），得到线段CD，连接AD、BD小组同学发现无论为何值，的大小不变，请你计算这个定值，并写出计算过程；（3）在第（2）问的基础上，在图中作的平分线CE交BD于点F，交DA
6、的延长线于点E，连接BE用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系；并证明25. 平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）当时，y的最大值为3，求a的值；（3）已知点，若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围广东省广州市南沙区二校联考九年级上期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列图形是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解【详解】解：A不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；B不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；C不是中心对称图形，故
7、本选项错误，不符合题意；D是中心对称图形，故本选项正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形2. 已知点坐标为（3，1），则点关于原点中心对称的点坐标为（ ）A. （3，1）B. （3，1）C. （3，1）D. （1，3）【答案】C【解析】【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（x，y），由此即可求解【详解】解：点（3，1）关于原点成中心对称的点的坐标是（3，1），故选：C【点睛】此题主要考查了关
8、于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题3. 一元二次方程x22x=0的解是（ ）A. 2B. 0或2C. 0或2D. 2或2【答案】B【解析】分析】利用因式分解法求解即可详解】解：x22x=0，x（x-2）=0，解得：x1=0，x2=2，故选：B【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用4. 抛物线的对称轴是（ ）.A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线【答案】A【解析】【分析】利用二次函数的对称轴公式可直接求解【详解】解：根据对称轴公式，所以该抛物线的对称轴为直线.故选A【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知抛物线的对称轴公式是解答
9、的关键5. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）A. 9人B. 10人C. 11人D. 12人【答案】C【解析】【分析】设参加酒会的人数为x人，每人碰杯次数为次，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：x（x-1）=55，化简得：x2-x-110=0，解得：x1=11，x2=-10（舍去），故答案为C.【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.6. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分
10、析】由旋转的性质可知，进而得出为等边三角形，进而求出【详解】解：由直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半可知，cm，又CAB=90-ABC=90-30=60，由旋转的性质可知：，且，等边三角形，故选：B【点睛】本题考查了直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键7. 点A(2，)，B(0，)，C(1，)为二次函数的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=1，根据x1时，y随x的增大而减小，即可得出答案【详解】解：，图象的开
11、口向上，对称轴是直线x=1，-201，故选：B【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键8. 若m是方程的一个根，则的值为（ ）A. 2018B. 2019C. 2020D. 2021【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案【详解】解：由题意可知：2m2-3m-1=0，2m2-3m=1原式=3（2m2-3m）+2018=2021故选：D【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型9. 在同一直角坐标系中与图象大致为A. B. C.
12、 D. 【答案】A【解析】【分析】本题由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致【详解】解：A、由抛物线可知，由直线可知，故本选项正确；B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误；C、由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误；D、由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误故选A【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质10. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示下列结论：方程的两个根是，；当时，的取值范围是其中结论正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析
13、】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对进行判断；根据二次函数的性质对进行判断【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=1，而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，所以正确；当x=-1时，y=0，即a-b+c=0；故正确，x=-=1，即b=-2a，而x=-1时，y=0，即a-b+c=0，a+2a+c=0，3a+c=0，抛物线的开口向下，a0，5a0，8a+c0；故正确；当y0时，函数图象在x轴的上面，x的取
14、值范围是-1x3；故正确；故选D【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握对于二次函数y=ax2+bx+c（a0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由决定：=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点二、填空题11. 已知
15、关于x的方程的一个根为2，则这个方程的另一个根是_【答案】3【解析】【分析】设方程的另一根为a，由一个根为2，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即为方程的另一根【详解】方程的一个根为2，设另一个根为a，2a=6，解得：a=3故答案为：3【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c0（a0），当b24ac0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有x1+x2，x1x212. 某工厂今年元月份的产值是50万元，3月份的产值达到了72万元若求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x，依题意可列方程_【答案】【
16、解析】【分析】根据这两个月的产值平均月增长率为x，则2月份的产值是50（1+x），3月份的产值是50（1+x）（1+x），从而列方程即可【详解】解：根据题意，得50（1+x）2=72故答案为：50（1+x）2=72【点睛】此题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，此题中的等量关系是3月份的产值达到了72万元13. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是_【答案】y（x1）21【解析】【分析】根据图象的平移规律，可得答案【详解】解：抛物线可化简为y（x1）22，先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式y（x1
17、2）223（x1）21，即y（x1）21故答案是：y（x1）21【点睛】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式14. 如图，把ABC绕点C按顺时针方向旋转35，得到，交AC于点D，若，则A= 【答案】55【解析】【分析】根据旋转的性质可得，再由直角三角形两锐角互余，即可求解【详解】解：把ABC绕点C按顺时针方向旋转35，得到， A=55故答案为：55【点睛】本题主要考查了图形的旋转，直角三角形两锐角的关系，熟练掌握旋转的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键15. 当1x3时，二次函数yx24x+5有最大值m，则m_【答案】10【解
18、析】【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决【详解】二次函数yx24x+5（x2）2+1，该函数开口向上，对称轴为x2，当1x3时，二次函数yx24x+5有最大值m，当x1时，该函数取得最大值，此时m（12）2+110，故答案为：10【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答16. 已知：如图，等边中，则的长为_【答案】【解析】【分析】过D作于点D，使得，先证明是等边三角形得，然后利用勾股定理求出， 再证明，从而可得出结果【详解】解：如图1，过D作于点D，使得， ， ，是等边三角形， ，在中，是等边三角形
19、，即，故答案为：【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定及性质、勾股定理以及全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造等边三角形和直角三角形是解题的关键三、解答题17. 用恰当的方法解一元二次方程：【答案】【解析】【分析】利用因式分解或配方法或公式法计算即可【详解】解：【点睛】本题主要考查二次方程解法，可以用配方法，公式法或因式分解法解题18. ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度按要求作图：（1）画出ABC关于原点O的中心对称图形A1B1C1（2）将ABC绕点A逆时针旋转90得到A2B2C2，则B2的坐标为 （3）求A2B2C2面积【答案】（1）见解析 （2
20、）（2，0） （3）【解析】【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应B2，C2即可；（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可【小问1详解】（1）如图，ABC与A1B1C1关于原点O成中心对称图形；【小问2详解】如图，A2B2C2即为所求，B2的坐标为为（2，0）故答案为：（2，0）；【小问3详解】33121323【点睛】本题考查作图旋转变换，中心对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型19. 如图，是绕O点旋转40后所得的图形，点C恰好在上，
21、求的度数【答案】60【解析】【分析】先根据旋转的性质得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，求出即可利用三角形内角和定理求出【详解】解：是绕点O顺时针方向旋转40后所得的图形，点C恰好在上， ，在中，【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确求出的度数是解题的关键20. 已知关于x的方程(1)若此方程的一个根为1，求m的值；(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接把x=1代入方程求出m的值；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可【详解】解：（1）根据题意，
22、将x=1代入方程，得：，解得：m=（2），不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟记根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键.21. 如图二次函数的图象与轴交于点A(3，0)，B(1，0)两点，与轴交于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D（1）求二次函数的解析式；（2）写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围；（3）若直线与轴的交点为点，连结，求的面积【答案】（1） （2）或 （3）4【解析】【分析】（1）根据题意可以设出二次函数解析式，根据函数过点A、B、C，即可解答本题；（2）根据题意可以求
23、得点D的坐标，再根据函数图象即可解答本题；（3）根据题意作出辅助线，即可求得ADE的面积【小问1详解】二次函数 过，解得所以解析式为：【小问2详解】该函数的对称轴是直线x=-1，点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，点D（-2，3），一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x-2或x1【小问3详解】连结AE，设直线BD：ymxn，代入B（1，0），D（2，3）得，解得：，故直线BD的解析式为：yx1把x0代入yx1得，y=1，所以E（0，1），OE1，又AB4 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用
24、二次函数的性质解答22. 如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长28m设长为xm，矩形的面积为（1）写出y与x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？【答案】（1） （2）当长为10m时，花圃面积最大，最大面积为【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式可以得到y与x的函数关系式并求出自变量的取值范围； （2）根据（1）中的函数关系式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论【小问1详解】解：根据题意得，且，y与x的函数关系式是；【小问2详解】，当时，y有最大值，y的最大值为200，当长为10m时，花圃面积最大，
25、最大面积为【点睛】本题考查二次函数的应用、解题的关键是明确题意，建立二次函数模型再利用二次函数的性质23. 如图，点M，N分别在正方形的边，上，且把绕点A顺时针旋转90得到（1）求证：（2）若，求正方形的边长【答案】（1）证明见解析； （2）正方形的边长为6【解析】【分析】（1）先证明，根据SAS证明三角形全等即可（2）设，则，利用勾股定理构建方程即可解决问题【小问1详解】证明：由旋转的性质得， ，点E，点B，点C三点共线，（SAS）.【小问2详解】解：设，则，解得，或1（舍弃），正方形的边长为6【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻
26、找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型24. （1）数学兴趣小组同学将制作的和摆放成如图所示的位置，且，则AD和BE的数量关系为_；（2）如图，在中，将线段CA绕点C顺时针旋转（），得到线段CD，连接AD、BD小组同学发现无论为何值，的大小不变，请你计算这个定值，并写出计算过程；（3）在第（2）问的基础上，在图中作的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连接BE用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系；并证明【答案】（1）AD=BE，理由见解析；（2），过程见解析；（3），证明见解析【解析】【分析】（1）只需要利用SAS证明BCEACD即可得到AD=B
27、E；（2）由旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，由此求解即可；（3）如图所示，将ACE绕点E旋转90度得到BCM，设，由（2）得BC=CD，根据三线和一定理得到CE垂直平分BD，则BE=DE，EFD=EFB=90，BF=DF，证明BFEDFE进而得到EF=BF=DF，BED=90，证明EBC+MBC=180，得到E、B、M三点共线，利用勾股定理求出，则，即可证明；【详解】解：（1）AD=BE，理由如下：在和中，ACB=DCE=90，DCE-DCB=ACB-DCB，即BCE=ACD，BCEACD（SAS），AD=BE；（2），过程如下：由旋转的性质可得，AC=BC，AC=
28、BC=CD，在中，；（3），理由如下：如图所示，将ACE绕点E旋转90度得到BCM，设，由（2）得BC=CD，EAC=MBC，ECM=90，EC=CM，AE=BM，CE平分BCD，CE垂直平分BD，BE=DE，EFD=EFB=90，BF=DF，EF=EF，BFEDFE（SAS）ADB=45，EBF=EDF=BEF=DEF=45，EF=BF=DF，BED=90，BEA+EAC+ACB+EBC=360，EAC+EBC=180，EBC+MBC=180，即E、B、M三点共线，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，；【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，
29、四边形内角和定理，三角形内角和定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键25. 平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）当时，y的最大值为3，求a的值；（3）已知点，若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围【答案】（1）， （2）或 （3）或【解析】【分析】（1）令可求点A坐标，将抛物线解析式化为顶点式可求对称轴（2）根据抛物线开口方向及对称轴为直线，分类讨论时y取最大值或抛物线顶点纵坐标为最大值（3）由点P为顶点，点Q在直线上运动，通过数形结合求解【小问1详解】解：（1）令，则，抛物线的对称轴为【小问2详解】解：由（1）可知，抛物线顶点坐标为：，当时，抛物线开口向上，时，为最大值，即，解得当时，抛物线开口向下，时，y取最大值，解得综上所述，或小问3详解】解：抛物线的对称轴为设点A关于对称轴的对称点为点B，点Q，A，B都在直线上当时，如图，当点Q在点A左侧（包括点A）或点Q在点B的右侧（包括点B）时，线段与抛物线只有一个公共点或（不合题意，舍去）或当时，如图，当Q在点A与点B之间（包括点A，不包括点B）时，线段与抛物线只有一个公共点又，综上所述，a的取值范围为或【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过分类讨论及数形结合的方法求解
