1、浙江省浙东北联盟2022-2023学年高二上期中联考数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1. 某校举行演讲比赛，邀请7位评委分别给选手打分，得到7个原始评分在评定选手成绩时，从这7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征保持不变的是（ ）A 众数B. 标准差C. 平均数D. 中位数2. 已知，三点共线，则实数（ ）A. 10B. 4C. 4D. 103. 若点不在圆的外部，则实数的取值范围为（ ）A B. C. D. 4. 某旅行社统计了三条路线的旅游人数，具体分布如下表（每人参加且仅参加一条路线）：南北湖景区
2、东湖景区西塘古镇景区男性3060女性504060现要对这三条路线的选择情况进行抽样调查，从参加这三条路线的人中采用按小组分层随机抽样的方法抽取60人，从参加南北湖景区路线的人中抽出16人，则（ ）A. 30B. 60C. 80D. 1005. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，若斜率为1，且过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 126. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知点，若直线：上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线有相同
3、的焦点，其中为右焦点，两曲线在第一象限的交点为，离心率分别为，若线段的中垂线经过点，则（ ）A B. 2C. D. 3二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 有一组样本数据，由这组数据得到新的样本数据，则（ ）A. 新样本数据的极差是原样本数据极差的2倍B. 新样本数据的方差是原样本数据方差的2倍C. 新样本数据的中位数是原样本数据中位数的2倍D. 新样本数据的平均数是原样本数据平均数的2倍10. 已知曲线：，则（ ）A. 若，则曲线为圆B. 若，则曲线为双曲线C. 若曲线为焦点在轴
4、上的椭圆，则其离心率D. 若曲线为焦点在轴上的双曲线，则其渐近线方程为11. 已知圆：与圆：相交于，两点，则（ ）A. 的面积为B. 直线的方程为C. 在经过，两点的所有圆中，的面积最小D. 若是圆和圆边界及内部的一点，则12. 1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线在平面直角坐标系中，设定点，其中，动点满足（且为常数），化简可得曲线：，则（ ）A. 原点在曲线的内部B. 曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形C. 若，则的最大值为D. 若，则存在点，使得三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.
5、已知抛物线的顶点为原点，准线为，则抛物线的方程为_14. 在某次数学测验中，6位学生的成绩分别为：78，85，82，75，80，他们的平均成绩为81，则他们成绩的75%分位数为_15. 已知直线：，：，若，则实数_16. 直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 求满足下列条件直线方程（1）直线的倾斜角为，且经过点；（2）直线过点，且在两坐标轴上的截距相等18. 城市道路由于通勤、施工等因素，容易出现早晚高峰一般地，工作日早高峰时段通常在7：009：00，晚高峰时段通常在17：0019：00为了衡量某路段在某一段
6、时间内的拥堵程度，通常采用的指标之一是路段的汽车平均行驶速度，即在该时间段通过该路段的汽车的平均速度路段通常可分为快速路、主干路、次干路、支路，根据不同路段与汽车平均行驶速度，可将拥堵程度分为1到5级等级划分如表（单位：）：路段等级54321快速路主干路次干路支路某大桥是连接两地的快速路今在某高峰时段监测大桥的汽车平均行驶速度，得到如下频率分布直方图（1）求车速在内的频率；（2）根据统计学知识，估计该时段大桥拥堵程度的等级19. 平面直角坐标系中，动点满足（1）求点轨迹方程；（2）过点作轴上的垂线，为垂足若_，当点运动时，求点的轨迹方程在 ， 这两个条件中任选一个，补充到横线中，并求解问题（若
7、选择多个条件作答，则按照第一个解答计分）20. 已知圆经过点和，圆心在直线上（1）求圆的方程；（2）若，分别是圆和圆：上的点，点是直线上的点，求的最小值，以及此时点的坐标21. 已知双曲线：经过点，焦点到渐近线的距离为（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线相交于，两点，是弦的中点，求的长度22. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，离心率（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线（异于轴）交椭圆于，两点，直线与交于点，直线与交于点记直线和的斜率分别为，求证：为定值浙江省浙东北联盟2022-2023学年高二上期中联考数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1. 某校举行演讲比赛，邀
8、请7位评委分别给选手打分，得到7个原始评分在评定选手成绩时，从这7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征保持不变的是（ ）A. 众数B. 标准差C. 平均数D. 中位数【答案】D【解析】【分析】根据评分的规则容易判断选项.【详解】7个数去掉一个最高分，去掉一个最低分，显然中位数是不变的；故选：D.2. 已知，三点共线，则实数（ ）A. 10B. 4C. 4D. 10【答案】A【解析】【分析】根据三点共线可得，写出斜率相等的表达式即可求出参数的值【详解】由题可得：，故选：A3. 若点不在圆的外部，则实数的取值范围为（ ）A. B. C.
9、 D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得且，求解即可.【详解】解：因为点不在圆的外部，所以且，化简得： 解得：.故选：B.4. 某旅行社统计了三条路线的旅游人数，具体分布如下表（每人参加且仅参加一条路线）：南北湖景区东湖景区西塘古镇景区男性3060女性504060现要对这三条路线的选择情况进行抽样调查，从参加这三条路线的人中采用按小组分层随机抽样的方法抽取60人，从参加南北湖景区路线的人中抽出16人，则（ ）A. 30B. 60C. 80D. 100【答案】B【解析】【分析】由分层抽样按比例求出各景区抽取的人数后可得值【详解】设东湖景区抽取的人数为，则，从而西塘古镇景区抽取的人数为，因此，
10、故选：B5. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，若斜率为1，且过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义即可求解【详解】由椭圆：可得，因为，在椭圆上，根据椭圆的定义可得，所以的周长为，故选：C6. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充要条件的定义判断.【详解】解：当时，直线：，：，则，当时，即，解得 ，故“”是“”的充要条件，故选：C7. 已知点，若直线：上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D
11、. 【答案】C【解析】【分析】设点，根据得到动点的轨迹方程，依题意可得直线与圆有交点，即圆心到直线的距离小于等于半径，即可得到不等式，解得即可.【详解】解：设点，点，整理得，即点在圆 上，又直线上存在点使得，圆与直线有交点，圆心到直线的距离，解得，即.故选：C8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其中为右焦点，两曲线在第一象限的交点为，离心率分别为，若线段的中垂线经过点，则（ ）A. B. 2C. D. 3【答案】B【解析】【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，利用中垂线可得到，利用椭圆和双曲线的定义可得到，即可求得答案【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，因
12、为线段的中垂线经过点，所以是以为底边的等腰三角形，则，由椭圆和双曲线的定义可得，两式相加得，两边同时除以得，所以，故选：B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 有一组样本数据，由这组数据得到新的样本数据，则（ ）A. 新样本数据的极差是原样本数据极差的2倍B. 新样本数据的方差是原样本数据方差的2倍C. 新样本数据的中位数是原样本数据中位数的2倍D. 新样本数据的平均数是原样本数据平均数的2倍【答案】ACD【解析】【分析】根据平均数、极差、方差、中位数的定义及性质判断即可.【详解】
13、解：设样本数据，的最大值为，最小值为，平均数为，中位数为，方差为，则极差为，所以新的样本数据，的最大值为，最小值为，平均数为，中位数为，方差为，则极差为，即新样本数据的极差是原样本数据极差的倍，新样本数据的方差是原样本数据方差的倍，新样本数据的中位数是原样本数据中位数的倍，新样本数据的平均数是原样本数据平均数的倍.故选：ACD10. 已知曲线：，则（ ）A. 若，则曲线为圆B. 若，则曲线为双曲线C. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则其离心率D. 若曲线为焦点在轴上的双曲线，则其渐近线方程为【答案】BD【解析】【分析】根据圆、椭圆、双曲线的定义对选项逐一判断即可.【详解】对于A选项，时表示圆，故A
14、错误.对于选项B，时表示焦点在轴或者轴上的双曲线.故B正确对于选项C，曲线为焦点在轴上的椭圆，则，故C错误.对于选项D，曲线为焦点在轴上的双曲线，则其渐近线方程为故D错误.故选：BD11. 已知圆：与圆：相交于，两点，则（ ）A. 的面积为B. 直线的方程为C. 在经过，两点的所有圆中，的面积最小D. 若是圆和圆边界及内部的一点，则【答案】BC【解析】【分析】根据题意两圆方程作差即可得到直线的方程，即可判断B，且根据圆心的坐标可得为圆的直径，即可判断AC,然后将转化为点与圆上及圆内斜率的范围，结合图形即可判断D.【详解】因为圆：与圆：两圆作差可得即直线的方程为，故B正确；且圆：，即，即圆心半径
15、，所以圆心在直线的方程上，所以在经过，两点的所有圆中，的面积最小，故C正确；且，又圆：，即，即圆心，半径，即到直线的距离所以，故A错误；设，过点的直线与相切于点，过点的直线与相切于点，显然直线的斜率存在且不为0，设的斜率为则直线，所以求得或（舍）同理设直线的斜率为则直线即求得或（舍）所以或，故D错误故选:BC.12. 1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线在平面直角坐标系中，设定点，其中，动点满足（且为常数），化简可得曲线：，则（ ）A. 原点在曲线的内部B. 曲线既中心对称图形，又是轴对称图形C. 若，则
16、的最大值为D. 若，则存在点，使得【答案】BCD【解析】【分析】对于A，将原点坐标代入方程判断，对于B，对曲线方程以代，代进行判断，对于C，利用曲线方程求出的取值范围，结合两点间的距离公式进行判断，对于D，若存在点，使得，然后由化简计算即可判断.【详解】对于A，将代入方程，得，所以当时，原点在曲线上，所以A错误，对于B，以代，得，得，所以曲线关于轴对称，代，得，得，所以曲线关于轴对称，以代，代，得，得，所以曲线关于原点对称，所以曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以B正确，对于C，当时，由，得，解得，所以，所以，所以的最大值为，所以C正确，对于D，若存在点，使得，则，因为，所以，所以，所以
17、由，得，所以，所以，反之也成立，所以当，则存在点，使得，所以D正确，故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知抛物线的顶点为原点，准线为，则抛物线的方程为_【答案】【解析】【分析】根据题意设出抛物线的标准方程求解即可【详解】解：由题意设抛物线的方程为， 抛物线的标准方程为故答案为：14. 在某次数学测验中，6位学生的成绩分别为：78，85，82，75，80，他们的平均成绩为81，则他们成绩的75%分位数为_【答案】85【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可【详解】解：由题意知，解得，把这组数据按从小到大的顺序记为：75,78,80,82,85,86，指数，因此，
18、这组数据的75%分位数为85故答案为：8515. 已知直线：，：，若，则实数_【答案】3或0【解析】【分析】直线垂直，分斜率存在与不存在两种情况进行讨论，斜率存在，乘积为-1，可得答案.【详解】当时，直线：，：，此时显然，符合题意；当时，整理可得直线：，：，由，则，解得.故答案为：3或016. 直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由，得当时，当，根据直线与曲线恰有两个交点，数形结合求得m的取值范围.【详解】由，得当时，当时，当时，直线为与曲线恰好有两个交点，符合题意当时，直线方程为，直线过定点， 若，则曲线为以为圆心，1为半径的圆轴正半轴的部分，因为直线与曲线恰
19、有两个交点，则 即，解得，若曲线为双曲线轴负半轴的部分，因为直线与曲线恰有两个交点，双曲线的渐近线为 则 综上：的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 求满足下列条件的直线方程（1）直线的倾斜角为，且经过点；（2）直线过点，且在两坐标轴上的截距相等【答案】（1）； （2）或【解析】【分析】（1）先求出直线的斜率，然后利用点斜式可求出直线方程，（2）分截距等于零和截距不为零两种情况求解.【小问1详解】因为直线倾斜角为，所以直线的斜率为，因为直线经过点，所以直线的方程为，即，【小问2详解】当直线截距为0时，设直线的方程为，因为直线过点
20、，所以，所以直线为，当直线在两坐标轴上的截距不为零时，由题意设直线的方程为，因为直线过点，所以，得，所以直线的方程为，即，综上，直线的方程为或18. 城市道路由于通勤、施工等因素，容易出现早晚高峰一般地，工作日早高峰时段通常在7：009：00，晚高峰时段通常在17：0019：00为了衡量某路段在某一段时间内的拥堵程度，通常采用的指标之一是路段的汽车平均行驶速度，即在该时间段通过该路段的汽车的平均速度路段通常可分为快速路、主干路、次干路、支路，根据不同路段与汽车平均行驶速度，可将拥堵程度分为1到5级等级划分如表（单位：）：路段等级54321快速路主干路次干路支路某大桥是连接两地的快速路今在某高峰
21、时段监测大桥的汽车平均行驶速度，得到如下频率分布直方图（1）求车速在内的频率；（2）根据统计学知识，估计该时段大桥拥堵程度的等级【答案】（1）0.05 （2）2级【解析】【分析】（1）由各组的频率和为1，可求出，从而可求出车速在内的频率；（2）根据频率分布直方图求出平均速度，再根据等组划分的标准可得结论.【小问1详解】，解得，所以车速在内的频率为0.05【小问2详解】由频率分布直方图得，汽车平均行驶速度为， 该时段大桥拥堵程度为2级19. 平面直角坐标系中，动点满足（1）求点的轨迹方程；（2）过点作轴上的垂线，为垂足若_，当点运动时，求点的轨迹方程在 ， 这两个条件中任选一个，补充到横线中，并
22、求解问题（若选择多个条件作答，则按照第一个解答计分）【答案】（1） （2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）设点，根据直接写出点P的轨迹方程；（2）把P点的坐标用M点的坐标表示，利用点P在单位圆上代入即可求得点M的轨迹方程【小问1详解】解：设点，则，化简得【小问2详解】解：若选择 ，设，解得，从而，即点的轨迹方程为若选择 ，同理可得 ，从而，则点的轨迹方程为20. 已知圆经过点和，圆心在直线上（1）求圆的方程；（2）若，分别是圆和圆：上的点，点是直线上的点，求的最小值，以及此时点的坐标【答案】（1） （2），【解析】【分析】（1）根据圆心在AB的中垂线上，先求得中垂线的方程，然后联立
23、，求得圆心，进而求得半径；（2）根据三角形两边之和大于第三边分析得到取最小值时点P为直线与的交点，求出两直线交点坐标即可【小问1详解】解：由题意知的中点坐标为， 直线的中垂线为，联立，解得，即圆的圆心为，半径，其方程为【小问2详解】解：注意到点和点在直线两侧，直线与两圆分别相离， 画出示意图如下：，当且仅当在线段上时取等号，此时点P为直线与交点，过的直线方程为，联立，21. 已知双曲线：经过点，焦点到渐近线的距离为（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线相交于，两点，是弦的中点，求的长度【答案】（1）; （2）.【解析】【分析】(1)由焦点到渐近线的距离为，可得，再代入点，即可求得双曲线方程
24、;(2)由的中点为，可求得直线的方程为，联立直线与双曲线的方程可得，再由弦长公式计算即可.【小问1详解】解：若焦点，其到渐近线的距离，又因为双曲线：经过点，所以，解得， 所以双曲线的方程为；【小问2详解】解：设点，因为是弦的中点，则由于，则，所以，从而直线的方程为，即 联立，得，所以， 从而22. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，离心率（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线（异于轴）交椭圆于，两点，直线与交于点，直线与交于点记直线和的斜率分别为，求证：为定值【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据左、右焦点分别为，得到c，再利用离心率求解；（2）设直线：，与椭圆方程联立，分别得到直线和直线的方程求得点M的坐标，同理得到点N的坐标，再利用斜率公式求解证明.【小问1详解】解：由题意知，又，则，所以椭圆方程为【小问2详解】设直线：，联立，则， 直线的方程为，直线的方程为联立这两个直线方程，解得，从而，即同理，解得 直线的斜率，则，即证
