1、北京市丰台区2022-2023学年高二上期中练习数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查.该小区每位居民被抽到的可能性为（ ）A B. C. D. 2. 已知空间向量，若空间向量与平行，则的坐标可能是（ ）A. B. C. D. 3. 一个车间里有名工人装配同种电子产品，现记录他们某天装配电子产品的件数如下：10，12，9，7，10，12，9，11，9，8，若这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 4. 对于空间中的三个向量，它们一定是（ ）A. 共面向量B
2、. 共线向量C. 不共面向量D. 无法判断5. 已知平面的法向量为，若平面外的直线的方向向量为，则可以推断（ ）A. B. C. 与斜交D. 6. 从某地区抽取户居民进行月用电量调查，发现用电量都在至之间.将数据分组后得到如下所示的频率分布表，估计此地区月均用电量的第百分位数是（ ）分组合计频率A. B. C. D. 7. 已知四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点.若=，=，=，则下列向量中与相等的向量是（ ）A. B. C. D. 8. 已知件产品中有件正品，其余为次品.现从件产品中任取件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（ ）A. 恰好有件次品和恰好有件次品B.
3、 至少有件次品和全是次品C. 至少有件正品和至少有件次品D. 至少有件次品和全是正品9. 在“冬奥会”闭幕后，某中学社团对本校3000名学生收看比赛情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将所有数据分组整理后，绘图如下，以下结论中正确的是（ ）A. 图中m的数值为26B. 估计该校观看比赛不低于3场的学生约为1380人C. 估计该校学生观看比赛场数的中位数小于平均数D. 样本数据的第90百分位数为510. 在空间直角坐标系中，若有且只有一个平面，使点到的距离为1，且点到的距离为4，则的值为（ ）A 2B. 1或3C. 2或4D. 或二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 甲，乙两
4、名运动员进行射击比赛.已知甲中靶的概率是，乙中靶的概率是，且甲，乙射击互不影响，若甲，乙两人各射击一次，则两人都脱靶的概率是_.12. 某公司有职工人，其中业务人员人，管理人员人，内勤人员人.若按岗位进行分层，采用分层随机抽样的方法从全体职工中抽取人进行健康测试，则应抽取管理人员的人数为_.13. 在长方体中，若，则直线与所成角的余弦值为_.14. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的模是_.15. 如图，正方体的棱长为，点是线段的中点，点是线段上的动点，下列结论中正确的序号是_. 存在点，使平面； 存在点，使平面； 存在点，使点到平面距离等于.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字
5、说明，演算步骤或证明过程.16. 某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们分数，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布的直方图如下：（1）求图中的的值；（2）若得分在分及以上的学生都有奖品，试估计这次能力测评的获奖率；（3）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，根据频率直方图估计此次能力测评全部同学的平均成绩.17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形， ，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18. 从2名男生（记为,）和2名女生（记为,）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可
6、能性相同）.（1）请写出该试验的样本空间;（2）设事件为“选到1名男生和1名女生”,求事件发生的概率;（3）若2名男生,所处年级分别为高一、高二,2名女生,所处年级分别为高一、高二,设事件为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件发生的概率.19. 已知空间向量，（1）若，求；（2）求；（3）若向量与向量，共面，求实数的值.20. 某学校高中三个年级共有名学生，为调查他们的课后学习时间情况，通过分层随机抽样获得了20名学生某周的课后学习时间，数据如下表（单位：小时）：高一年级高二年级高三年级（1）试估计该校高三年级的学生人数；（2）从高一年级和高二年级样本学生中各随机抽取一人，高一年
7、级抽取的人记为甲，高二年级抽取的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率；（3）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是8，10，11（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小关系.（只需写出结论）21. 如图，在直三棱柱中，点为的中点.（1）求平面与平面夹角余弦值；（2）点在线段上，且， 试判断直线与平面的关系，并说明理由.北京市丰台区2022-2023学年高二上期中练习数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了1
8、00户居民进行调查.该小区每位居民被抽到的可能性为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据每个个体被抽到可能性都是相同的，即可计算得答案.【详解】由题意可知为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查，该小区每位居民被抽到的可能性都是相同的，故可能为，故选：B.2. 已知空间向量，若空间向量与平行，则的坐标可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据空间向量平行的充要条件即可求解.【详解】两向量平行，对应坐标成比例，因为，故选：.3. 一个车间里有名工人装配同种电子产品，现记录他们某天装配电子产品的件数如下：10，12，
9、9，7，10，12，9，11，9，8，若这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平均数，中位数，众数的定义即得.【详解】将数据从小到大排序 7，8，9， 9， 9， 10，10，11，12，12，所以平均数为，中位数为，众数为，所以.故选：C.4. 对于空间中的三个向量，它们一定是（ ）A. 共面向量B. 共线向量C. 不共面向量D. 无法判断【答案】A【解析】【分析】根据平面向量基本定理分析判断.【详解】若共线，则，共线，共面；若不共线，则可作为基底向量，可以用基底向量线性表示，根据平面向量基本定理可知：，共面；综上所
10、述：，共面.故选：A.5. 已知平面的法向量为，若平面外的直线的方向向量为，则可以推断（ ）A. B. C. 与斜交D. 【答案】A【解析】【分析】由条件可得，然后可得答案.【详解】因为，且直线，所以，故选：A6. 从某地区抽取户居民进行月用电量调查，发现用电量都在至之间.将数据分组后得到如下所示的频率分布表，估计此地区月均用电量的第百分位数是（ ）分组合计频率A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义，结合已知数据，求解即可.【详解】设第百分位数为，则，解得.故选：7. 已知四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点.若=，=，=，则下列向量中与相等的向量是（ ）A. B
11、. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的运算法则求解即可.【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得 .故选：C.8. 已知件产品中有件正品，其余为次品.现从件产品中任取件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（ ）A. 恰好有件次品和恰好有件次品B. 至少有件次品和全是次品C. 至少有件正品和至少有件次品D. 至少有件次品和全是正品【答案】D【解析】【分析】对每个选项中事件关系分析，选出正确选项.【详解】对于A项，恰好有1件次品和恰好有两件次品互为互斥事件，但不是对立事件；对于B项，至少有1件次品和全是次品可以同时发生，不是对立事件；对于C项，至少有
12、1件正品和至少有1件次品可以同时发生，不是对立事件；对于D项，至少有1件次品即存在次品，与全是正品互为对立事件.故选：D.9. 在“冬奥会”闭幕后，某中学社团对本校3000名学生收看比赛情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将所有数据分组整理后，绘图如下，以下结论中正确的是（ ）A. 图中m的数值为26B. 估计该校观看比赛不低于3场的学生约为1380人C. 估计该校学生观看比赛场数的中位数小于平均数D. 样本数据的第90百分位数为5【答案】C【解析】【分析】由频率和为1求，根据条形统计图计算观看比赛不低于3场的人数、中位数、平均数，百分位数判断各选项【详解】由题意，A错；不低于3场的人
13、数约为，B错；由已知得中位数是3，平均数是，C正确；由条形图，观看场数不大于5的百分比为90%，因此第90百分位数是5.5，D错故选：C10. 在空间直角坐标系中，若有且只有一个平面，使点到的距离为1，且点到的距离为4，则的值为（ ）A. 2B. 1或3C. 2或4D. 或【答案】B【解析】【分析】由点到平面的距离是确定的且平面只有一个，可得，且两点在平面同侧，由此可得线段的长，从而求得值，【详解】因为有且只有一个平面，使点到的距离为1，且点到的距离为4，所以，且两点在平面同侧，或3若，则线段与平面至少有下列两种位置关系，即平面至少有两个若，由上面的图形知，两点到平面的距离的差的绝对值不大于，
14、与已知矛盾，即不存在平面满足题意故选：B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 甲，乙两名运动员进行射击比赛.已知甲中靶的概率是，乙中靶的概率是，且甲，乙射击互不影响，若甲，乙两人各射击一次，则两人都脱靶的概率是_.【答案】#【解析】【分析】求得甲、乙两人脱靶的概率，根据独立事件的乘法公式即可求得答案.【详解】由题意可知甲脱靶的概率是，乙脱靶的概率是，故甲，乙两人各射击一次，则两人都脱靶的概率是，故答案：.12. 某公司有职工人，其中业务人员人，管理人员人，内勤人员人.若按岗位进行分层，采用分层随机抽样的方法从全体职工中抽取人进行健康测试，则应抽取管理人员的人数为_.【答案】4【解析
15、】【分析】根据分层抽样的定义结合已知条件求解即可.【详解】根据题意可知应抽取管理人员的人数为（人），故答案为：413. 在长方体中，若，则直线与所成角的余弦值为_.【答案】#【解析】【分析】因为，所以直线与所成的角，即直线与所成的角，在中用余弦定理解三角形，得即为所求.【详解】在长方体中，所以直线与所成的角，即直线与所成的角，又因为，所以，在中，由余弦定理， ，所以直线与所成的角的余弦为.故答案为：.14. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的模是_.【答案】【解析】【分析】根据投影向量模长的计算公式，代值计算即可.【详解】向量在向量上的投影向量的模为，又，故向量在向量上的投影向量的模为：
16、.故答案为：.15. 如图，正方体的棱长为，点是线段的中点，点是线段上的动点，下列结论中正确的序号是_. 存在点，使平面； 存在点，使平面； 存在点，使点到平面的距离等于.【答案】 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算解决线面平行、线面垂直、点到平面距离问题.【详解】以为坐标原点，的方向分别为为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间坐标系，由题意可知，点是线段上的动点，设，则，即，设平面的一个法向量为，则，令，则，解得，当时，由平面，平面，正确. ，若存在点，使平面，则存在实数使得，即，此方程无解，错误.，点到平面的距离为，当时，解得，由，当时，点到平面的距离等于，正确.故
17、答案为： 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布的直方图如下：（1）求图中的的值；（2）若得分在分及以上的学生都有奖品，试估计这次能力测评的获奖率；（3）假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，根据频率直方图估计此次能力测评全部同学的平均成绩.【答案】（1） （2） （3）71分【解析】【分析】（1）由小矩形面积之和为1即可求解；（2）计算出最后两组的频率即可；（3）根据平均数的定义即可求解.【小问1详
18、解】由频率分布直方图的性质可知小矩形的面积之和为1，即，解得：.【小问2详解】由图可知：得分在分及以上的学生所占频率为，所以这次能力测评获奖率为.【小问3详解】由图中数据可知：平均数71.故此次能力测评全部同学的平均成绩为71分.17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形， ，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）证明，原题即得证；（2）如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】因为，又平面，平面,所以平面.【小问2详解】如图所示，以点为坐标原点，建立空
19、间直角坐标系，因为.，设平面的法向量，直线与平面所成角为，所以，取，所以直线与平面所成角的正弦值.所以直线与平面所成角的正弦值为.18. 从2名男生（记为,）和2名女生（记为,）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.（1）请写出该试验的样本空间;（2）设事件为“选到1名男生和1名女生”,求事件发生的概率;（3）若2名男生,所处年级分别为高一、高二,2名女生,所处年级分别为高一、高二,设事件为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件发生的概率.【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】(1)根据题意把所有的可能结果列出即可;(2) 由(1)知在所有得可能
20、结果中数出事件发生的结果,求出概率即可;(3) 由(1)知在所有得可能结果中数出事件发生的结果,求出概率即可.【小问1详解】解:由题知,样本空间为;小问2详解】由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件得结果数有4个,故;【小问3详解】由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件得结果数有3个,故.19. 已知空间向量，（1）若，求；（2）求；（3）若向量与向量，共面，求实数的值.【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）根据向量垂直的性质直接求解；（2）根据向量的模长公式计算求解；（3）根据向量共面的应用直接求解即可【小问1详解】解：，即，解得【小问2详解】解：，【小问3
21、详解】解： 向量与向量，共面， 设，解得，20. 某学校高中三个年级共有名学生，为调查他们的课后学习时间情况，通过分层随机抽样获得了20名学生某周的课后学习时间，数据如下表（单位：小时）：高一年级高二年级高三年级（1）试估计该校高三年级的学生人数；（2）从高一年级和高二年级样本学生中各随机抽取一人，高一年级抽取的人记为甲，高二年级抽取的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率；（3）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是8，10，11（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小关系.（只
22、需写出结论）【答案】（1）160 （2） （3）【解析】【分析】(1)根据分层抽样的原理即可算出高三年级的人数；(2)按照独立事件先算出甲课后学习时间大于乙的概率，再利用对立事件算出甲课后学习时间不大于乙的概率；(3)按照平均数的算法先算出 ，再计算 ，再比较两者的大小即可.【小问1详解】由表格知：高一是5人，高二是7人，高三是8人，所以 ，在400名学生中高三的人数为 （人）；【小问2详解】设从高一人数中随机抽取一人为事件： ， ， ；从高二人数中随机抽取一人为事件： ， ， ；则 与 是相互独立的事件， 高一随机抽取的人的课后学习时间大于高二随机抽取的人的课后学习时间为事件： ，则 ， =
23、 ，高一随机抽取的人的课后学习时间不大于高二随机抽取的人的课后学习时间为事件 ， ；【小问3详解】由表格知原平均时间 ，加入新数据 后平均时间为： ，即 ；综上，高三的人数为160（人），甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率为 ； .21. 如图，在直三棱柱中，点为的中点.（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）点在线段上，且， 试判断直线与平面的关系，并说明理由.【答案】（1） （2）答案见解析【解析】【分析】(1)直三棱柱再加底面为直角三角形，建立直角坐标系，分别求出平面和平面的的法向量，就可以求出两个面的余弦值.(2)说明直线与平面的关系，可以通过与平面的法向量之间的关系得到.【小问1详解】已知直三棱柱， 平面，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，所以，.由题意轴平面，取平面的一个法向量为设平面法向量为，则有，令，得到，得到平面的一个法向量为，所以.设平面与平面夹角为，则 .【小问2详解】，由于点在线段上，且， 则，又平面的一个法向量为，且与不共线，所以直线与平面相交且不垂直.【点睛】用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比.
