1、江苏省苏州市吴江区二校联考九年级上期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分 1. 一元二次方程的解是（ ）A. B. C. D. 2. 苏州某地2022年十月国庆期间每日最高温度如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日气温（单位：）33383817121218则关于这组数据下列结果不正确的是（ ）A. 极差26B. 平均数是24C. 中位数是18D. 众数是383. 的半径为r，点P到圆心O的距离为2，若点P在外，则（ ）A. B. C. D. 4. 如图，若，则长度为（ ）A. 1B. 2C. 8D. 165. 如图，点C是半圆上的一点，连接，若，则的度数为（ ）A B.
2、 C. D. 6. 关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 必有两个正根C. 必有两个负根D. 必有一个实数根为7. 一个容器盛满纯药液，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是，若设每次倒出液体为，则可列方程为（ ）A. B. C. D. 8. 如图，的半径为3，内接于，过点C作垂直于点D，若，则长为（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分把答案直接填在答题卡相应位置上9. 若，则_10. 已知正六边形的半径为4，则这个正六边形的周长为_11. 圆锥的底面圆周
3、长为，侧面积为，则圆锥的母线长为_12. 如图，燃烧的蜡烛经小孔O在屏幕上成像，设，小孔O到的距离分别为、，则像的长是_13. a，b是一元二次方程的两个实数根，则_14. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分制”数把点G称为线段的“黄金分割”点如图，在中，D是边的“黄金分割”点，若，且，则的长度是_15. 如图，四边形的三个顶点A，B，C在上，对角线交于点D，若的半径是，且四边形是菱形，则图中阴影部分的面积是_16. 如图，在矩形中，P是上的动点，连接，
4、若上存在三个不同位置的点P，使与相似，设，则d的取值范围是_三、解答题：本大题共10小题，共82分把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔17. 解方程：（1）（2）18. 如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为的正方形，点的坐标分别为，先以原点为位似中心在第三象限画一个使它与位似，且相似比（1）画出，点的坐标为_（2）求的面积19. 已知一个数的平方与25的差等于这个数与5的和，求这个数20. 如图，在边长为2的等边中，以点O为圆心画弧，与边相切于点C，交于点D，交于点E，求的长21. “秋风响，蟹脚痒”，正
5、是食蟹好时节某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据：数量/只平均每只蟹的质量/g第1次试捕4166第2次试捕4167第3次试捕6168第4次试捕6170（1）四次试捕中平均每只蟹的质量为_；（2）若蟹苗的成活率为，试估计蟹塘中蟹的总质量为_；（3）若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167_；求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差22. 如图，线段上有一点B，作（1）求证；（2）若，求的长度23. 已知关于x的一元二次方程，且（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（
6、2）若方程的两个实数根，满足，求k的值24. 如图，中，点D在边上，以为直径画与交于点E （1）求证是的切线；（2）若，求的长度25. 如图，一个边长为正方形花坛由4块全等的小正方形组成在小正方形中，点G，E，F分别在上，且在，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元（1）当时，小正方形种植花卉所需的费用；（2）试用含有x的代数式表示五边形的面积；（3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？26. 如图1，在直角中，D是的中点，（1）求证：；（2）如图2，将绕点C顺时针旋转，旋转角为，连接求的值；若A，D，E三点共线，求的度数27. 如
7、图，在中，为直径，与交于点E，过O点作，交于点F（1）求证：平分；（2）若的半径为6，求的长；（3）设，的面积为，的面积为，的面积为若，求k的值江苏省苏州市吴江区二校联考九年级上期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分 1. 一元二次方程的解是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】观察发现方程的两边同时加4后，左边是一个完全平方式，即，即原题转化为求4的平方根【详解】解：移项得：，故选：D【点睛】本题主要考查了解一元二次方程直接开平方法解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解2. 苏州某地2
8、022年十月国庆期间每日最高温度如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日气温（单位：）33383817121218则关于这组数据下列结果不正确的是（ ）A. 极差是26B. 平均数是24C. 中位数是18D. 众数是38【答案】D【解析】【分析】根据极差，平均数，中位数和众数的定义求解即可【详解】解：气温最高为，气温最低为，极差为，故A不符合题意；，平均数为24，故B不符合题意；把这七天的温度从低到高排列为：，处在最中间的数为18，中位数是18，故C不符合题意；38和12分别出现了两次出现的次数最多，众数为38和12，故D符合题意；故选D【点睛】本题主要考查了众数，中位数，平均数和极差，熟知相
9、关定义是解题的关键3. 的半径为r，点P到圆心O的距离为2，若点P在外，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于半径；点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆上，点到圆心的距离等于半径进行求解即可【详解】解：点P到圆心O的距离为2，点P在外，故选A【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟知点在圆内，点到圆心的距离小于半径；点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆上，点到圆心的距离等于半径是解题的关键4. 如图，若，则的长度为（ ）A. 1B. 2C. 8D. 16【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即可求解
10、【详解】解：，,故选C【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键5. 如图，点C是半圆上的一点，连接，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用圆周角定理及圆的性质解题即可【详解】解：是半圆，故选C【点睛】本题主要考查圆周角定理，半圆对应的圆周角是直角，能够运用知识点及互余关系求角是解题关键6. 关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 必有两个正根C. 必有两个负根D. 必有一个实数根为【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解【详解】解：由一元二次方程，故选D【
11、点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根7. 一个容器盛满纯药液，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是，若设每次倒出液体为，则可列方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设每次倒出液体x L，则第一次倒出后容器内剩下纯药液，加满水后药液的浓度为，利用第二次倒出后容器内剩下纯药液的数量=第二次倒出后容器内剩下药液的数量此时药液的浓度，即可得出关于x的一元二次方程
12、，此题得解【详解】解：设每次倒出液体x L，则第一次倒出后容器内剩下纯药液，加满水后药液的浓度为， 依题意得： 即故选B【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键8. 如图，的半径为3，内接于，过点C作垂直于点D，若，则长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】如图所示，过点O作于E，连接，利用垂径定理得到，再由圆周角定理推出，即可证明，得到，据此求解即可【详解】解：如图所示，过点O作于E，连接，由垂径定理可知，即，故选C【点睛】本题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的
13、关键二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分把答案直接填在答题卡相应位置上9. 若，则_【答案】【解析】【分析】先利用完全平方公式计算 再比较即可得到答案【详解】解： 故答案为：【点睛】本题考查的是利用完全平方公式进行整式的乘法运算，多项式的恒等问题，掌握“完全平方公式”是解本题的关键10. 已知正六边形的半径为4，则这个正六边形的周长为_【答案】24【解析】【详解】因为圆的内接正六边形的中心角是60，所以正六边形的边长=半径=4，所以这个正六边形的周长=46=24故答案为2411. 圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则圆锥的母线长为_【答案】【解析】【分析】先根据周长求得半径，然后根据圆
14、锥的侧面积公式得出，直接求出的值即可【详解】解：圆锥的底面圆周长为，圆锥的底面的半径为，即圆锥的母线长为，故答案为：【点睛】题主要考查了圆锥的侧面积公式，牢记圆锥侧面积公式是解决问题的关键12. 如图，燃烧的蜡烛经小孔O在屏幕上成像，设，小孔O到的距离分别为、，则像的长是_【答案】【解析】【分析】过O点作于点E，交于点F，即可得，根据，可得，即有，再根据，可得，即有，问题得解【详解】过O点作于点E，交于点F，如图，由题意可得：，结合题意有，（）即的长为，故答案为：【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键13. a，b是一元二次方程的两个实数根，则_【答案
15、】4【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数关系得到，再由进行求解即可【详解】解：a，b是一元二次方程的两个实数根，故答案为：4【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键14. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分制”数把点G称为线段的“黄金分割”点如图，在中，D是边的“黄金分割”点，若，且，则的长度是_【答案】#【解析】【分析】如图，过作于 再根据黄金分割点的含义求解结合等腰三角形的性质求解再
16、利用勾股定理进行计算即可【详解】解：如图，过作于 为的黄金分割点， 而 故答案为：【点睛】本题考查是黄金分割点的含义，等腰三角形的性质，勾股定理分应用，二次根式的混合运算，熟练的利用勾股定理进行计算是解本题的关键15. 如图，四边形的三个顶点A，B，C在上，对角线交于点D，若的半径是，且四边形是菱形，则图中阴影部分的面积是_【答案】【解析】【分析】根据菱形的性质可得，得出是等边三角形，进而可得阴影部分面积等等于扇形的面积，根据扇形面积公式进行计算即可求解【详解】解：四边形是菱形， 又，是等边三角形，四边形是菱形，阴影部分面积等等于扇形的面积，故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的
17、性质与判定，求扇形面积，综合运用以上知识是解题的关键16. 如图，在矩形中，P是上的动点，连接，若上存在三个不同位置的点P，使与相似，设，则d的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据题意可知与相似，只存在和两种情况，可证当点P是的中点时，即满足的P只有1个，则满足的P有2个，根据相似三角形的性质可证，则可知以BC为直径的圆必须要与有两个交点，据此求解即可【详解】解：与相似，且，只存在和两种情况，如图1所示，当点P是的中点时，四边形是矩形，点P是的中点，；使与相似的P点有三个，除去这种情况的1个，使的P点有两个，即使的P点有2个，当时，则，以BC为直径的圆必须要与有两个交点，故答案为： 【点睛
18、】本题主要考查了矩形性质，相似三角形的性质，全等三角形的性质，90度的圆周角所对的弦是直径等等，推理出使的P点有2个，即使的P点有2个是解题的关键三、解答题：本大题共10小题，共82分把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔17. 解方程：（1）（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）移项后根据直接开平方法解一元二次方程；（2）根据完全平方公式因式分解，解一元二次方程即可求解【小问1详解】解：，移项得：，解得：；【小问2详解】解：，即，解得【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键18.
19、 如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为的正方形，点的坐标分别为，先以原点为位似中心在第三象限画一个使它与位似，且相似比（1）画出，点坐标为_（2）求的面积【答案】（1）见解析， （2）6【解析】【分析】（1）将的坐标分别乘以，得出，画出即可；（2）根据网格的特点用长方形的面积减去3个三角形的面积即可求解【小问1详解】依题意，画出，如图所示，故答案为：【小问2详解】【点睛】本题考查了位似变换作图，解题的关键是把位似变换后对应点的坐标正确表示出来19. 已知一个数的平方与25的差等于这个数与5的和，求这个数【答案】这个数为或【解析】【分析】根据题意，设这个数为，列方程，解方程即可求
20、解【详解】解：依题意，设这个数为，列方程，即，解得这个数为或【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键20. 如图，在边长为2的等边中，以点O为圆心画弧，与边相切于点C，交于点D，交于点E，求的长【答案】【解析】【分析】如图，连接 为切线，则再结合等边三角形的性质证明再求解半径，利用弧长公式即可得到答案【详解】解：如图，连接 为切线，则 等边 边长为2， 的长为：【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，切线的性质，弧长的计算，求解圆的半径与弧所对的圆心角是解本题的关键21. “秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只
21、，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据：数量/只平均每只蟹质量/g第1次试捕4166第2次试捕4167第3次试捕6168第4次试捕6170（1）四次试捕中平均每只蟹的质量为_；（2）若蟹苗的成活率为，试估计蟹塘中蟹的总质量为_；（3）若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167_；求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差【答案】（1）168 （2） （3）164；7【解析】【分析】（1）用四次试捕中蟹的总质量除以蟹的数量，即可求解；（2）用四次试捕中平均每只蟹的质量乘以成活的蟹的数量，即可求解；（3）用第3次试捕的蟹的
22、总质量减去其它蟹的质量，可得a的值；根据方差公式计算，即可求解【小问1详解】解：四次试捕中平均每只蟹的质量为；故答案为：168【小问2详解】解：；故答案为：【小问3详解】解：；故答案为：164【点睛】本题主要考查了求加权平均数，求方差，用样本估计总体，熟练掌握加权平均数，方差的求法是解题的关键22. 如图，线段上有一点B，作（1）求证；（2）若，求的长度【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）先证明从而可得答案；（2）利用相似三角形的性质可得再建立方程求解即可【小问1详解】证明：， 【小问2详解】， ， 解得： 经检验符合题意；【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握“利
23、用两个角对应相等的两个三角形相似”是解本题的关键23. 已知关于x的一元二次方程，且（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根，满足，求k的值【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据根的判别式，即可判断；（2）利用根与系数关系求出，即，从而列出关于的方程，解出即得出结果【小问1详解】解：，该方程总有两个不相等的实数根；【小问2详解】解：方程的两个实数根，由根与系数关系可知， ，即，【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系24. 如图，中，点D在边上，以为直径画与交于点E （1）求证是的切线；（
24、2）若，求的长度【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据得出，得出，可得，由是直径，可得，则，又，得出，等量代换可得，即可得证；（2）在中，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质求得的长，即可求解【小问1详解】解：如图，又，即，是直径，即，又，即，是半径，是的切线；【小问2详解】，在中，是的切线，又， ，即，【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，切线的判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键25. 如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成在小正方形中，点G，E，F分别在上，且在，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元
25、、10元（1）当时，小正方形种植花卉所需的费用；（2）试用含有x的代数式表示五边形的面积；（3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？【答案】（1）当时，正方形的种植费用为：元 （2） （3）当米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元【解析】【分析】（1）设米，则米先求出和的面积，再利用先正方形的面积减去和的面积，得到五边形的面积，再把代入所列代数式进行计算即可得到答案；（2）由（1）可得答案；（3）根据正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元列出方程，解方程即可【小问1详解】解：大的正方形的边长为8米，米，四个小正方形的边长为4米，米 米， 当时，正方形的种植费用为
26、： 即当时，正方形的种植费用为：元【小问2详解】由（1）得：【小问3详解】根据题意得：整理得： 解得 答：当米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元【点睛】本题考查的是列代数式，一元二次方程的应用，理解题意，列出正确的代数式与一元二次方程是解本题的关键26. 如图1，在直角中，D是的中点，（1）求证：；（2）如图2，将绕点C顺时针旋转，旋转角为，连接求的值；若A，D，E三点共线，求的度数【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用相似三角形的性质证明从而可得答案；（2）证明即可得到答案；先证明 可得 再证明 利用相似三角形的性质可得结论【小问1详解】证明：， 【小问2详解】
27、， 由旋转的性质可得： 而，如图，当A，D，E三点共线，且旋转角为结合（1）可得： 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，旋转的性质，证明“”是解本题的关键27. 如图，在中，为直径，与交于点E，过O点作，交于点F（1）求证：平分；（2）若的半径为6，求的长；（3）设，的面积为，的面积为，的面积为若，求k的值【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）由 证明它们所对的圆心角相等，再结合等腰三角形的性质，内角和定理可得答案；（2）如图，过作于 则 证明 再利用勾股定理建立方程组 可得： 结合相似三角形的性质可得 从而可得答案；（3）如图，过作于 由，证明 结合可得 证明 即 设 则 由可得： 再证明 可得 从而可得答案【小问1详解】证明：如图，连接 平分【小问2详解】如图，过作于 则 而 解得： 【小问3详解】如图，过作于 平分 ， 即 即 设 则 由可得： 而 而 【点睛】本题考查的是圆心角与弧，弦之间的关系，圆的基本性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的确定图中的相似三角形，利用勾股定理构建方程都是解本题的关键
