1、北京市昌平区2022- 2023学年八年级上期中质量监控数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 下列实数是无理数的是（ ）A. B. C. D. 2. 36的平方根是（ ）A. 6B. C. 4或9D. 3. 二次根式中字母x的取值范围是（ ）A. x1B. x1C. x1D. x14. 下列分式中，是最简分式的是（ ）A. B. C. D. 5. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ）A. B. C. D. 6. 若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（）A. x0B. x1C. x2D. x37. 如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ）A. 扩大3倍
2、B. 不变C. 缩小3倍D. 扩大2倍8. 张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子的最小值是”其推导方法如下：在面积是的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有，解得，这时矩形的周长最小，因此的最小值是模仿张华的推导，你求得式子的最小值是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 若分式的值是0，则x的值为_10. 比较大小：_11. 与的最简公分母是_12. 在实数范围内分解因式=_.13. 若，请写出一个符合条件的的值_14. 已知，则分式的值为_15. 若的小数部分为，整数部
3、分为，则的值为_16 对于正数x，规定 ，则:（1）_；（2）=_三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27， 28题，每小题7分）17. 计算：18. 计算：19 计算：20 计算：21. 计算：22. 解分式方程：.23. 先化简分式，再从2，1，1，这4个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值24. 列方程解应用题2022年北京市教育委员会印发关于推进“互联网+基础教育”的工作方案的通知方案中指出：双师课堂是在空中课堂基础上的深化，将传统单师授课模式变革为名师团队支持下新型教学场景某校为响应国家号召，利用暑期在各班安装能够进行双师教学的电脑该
4、校南楼安装的48台由甲队完成，北楼安装的30台由乙队完成已知甲队比乙队每天多安装3台，且两队同时开工，恰好同时完成任务甲、乙两队每天各安装能够进行双师教学多少台？25. 我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数.在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系.例如：由，可得与互为倒数，即或，类似地，可得或根据小明发现的规律，解决下列问题：（1） ， 为正整数）（2）若，则 （3）求的值.26. 现场学习：先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程：的解为；的解为；解为；（1）猜想关于x的方程的解是 ；（2）猜想关于x方程的解是 ；（3）
5、用上述方法求关于的方程的解27. 小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：_（填写运算结果）；（2）观察、归纳，得出猜想如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：_；（3）证明你的猜想（4）应用运算规律：化简：_；若（a，b均为正整数），则的值为_28. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，则是“和谐分式”（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；（2）请将“和谐
6、分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数北京市昌平区2022- 2023学年八年级上期中质量监控数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 下列实数是无理数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】无限不循环小数是无理数，根据无理数的定义逐一判断即可【详解】解：是分数，是有理数，所以A错误，是不尽方根，是无理数，所以B正确，是整数，是有理数，所以C错误，是整数，是有理数，所以D正确，故选B【点睛】本题考查的是无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键2. 36的平方根是（ ）A. 6B
7、. C. 4或9D. 【答案】D【解析】【分析】根据平方根的定义进行计算即可求解【详解】解：36的平方根是故选D【点睛】本题考查了求一个数的平方根，掌握平方根的定义是解题的关键平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根3. 二次根式中字母x的取值范围是（ ）A. x1B. x1C. x1D. x1【答案】A【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解【详解】解：有意义，解得，故选A【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键4. 下列分式中，是最简分式的是（ ）A. B. C. D. 【答案
8、】D【解析】【详解】A选项：=不最简分式；B选项：=，不是最简分式；C选项：=xy，不是最简分式；D选项，是最简分式.故选D.点睛：判断一个分式是不是最简分式关键看分子、分母是否有公因式，如果分子分母是多项式，可以先分解因式，以便于判断是否有公因式，从而判断是否是最简分式.5. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据分式的基本性质逐项判断，注意乘除一个数或代数式的时候要保证不为0.【详解】A. 当c0时，才成立，故A选项错误；B. ，故B选项错误；C. 当a=b时，才成立，故C选项错误；D. 因为a是分母，所以a0，所以成立，故D正确；故选D
9、.【点睛】本题考查分式基本性质，熟练掌握分式的分子分母同乘除一个不为0的数或代数式，分式的值不变是解题的关键.6. 若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（）A. x0B. x1C. x2D. x3【答案】D【解析】【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可【详解】解：最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，x+32x，解得：x3，故选：D【点睛】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键7. 如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ）A. 扩大3倍B. 不变C. 缩小3倍D. 扩大2倍【答案】B【解析】【分析】依题意，分
10、别用3x和3y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可【详解】解：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，得，可见新分式与原分式相等故选：B【点睛】本题考查分式的基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变8. 张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子的最小值是”其推导方法如下：在面积是的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有，解得，这时矩形的周长最小，因此的最小值是模仿张华的推导，你求得式子的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】模仿题中推导过程进行
11、即可【详解】由于= x+，则在面积是4的矩形中，设矩形的一边长为x，则另一边是，矩形的周长是2（x+），当矩形成为正方形时，就有x=，解得x=2，这时矩形的周长2（x+）=8最小，因此x+的最小值是4，所以的最小值是4故选：B【点睛】本题关键在于理解已知结论的推导过程二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 若分式的值是0，则x的值为_【答案】2.【解析】【分析】根据分式分子为0分母不为0的条件，要使分式的值为0，则必须，从而求解即可.【详解】解：由题意可得：解得：故答案为：2.【点睛】本题考查分式的值为零的条件，掌握分式值为零即分子为零且分母不为零是本题的解题关键10. 比较大小：_【答案
12、】【解析】【分析】将两数平方后比较大小，可得答案【详解】，1812，故答案为：【点睛】本题考查比较无理数的大小，无理数的比较常用平方法11. 与的最简公分母是_【答案】【解析】【分析】根据最简公分母的定义求解即可，确定最简公分母的一般方法：如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母【详解】与的最简公分母故答案为：【点睛】本题考查了最简公分母，掌握确定最简公分母的方法是解题的关键12. 在实数范围内分解因式=_.【答案】【解析】【详解】提取公因式后利用平方
13、差公式分解因式即可，即原式=.故答案为13. 若，请写出一个符合条件的的值_【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次根式的性质：=|a|，当时，满足题目要求，因此任取一个为正数的值即可【详解】=1（x0），=|x|=x，x0即可，取符合条件，故答案为1（答案不唯一）.【点睛】本题考查了二次根式的性质=|a|，掌握此性质是关键.14. 已知，则分式的值为_【答案】#0.6【解析】【分析】根据分式的加减将已知等式变形为，代入分式即可求解【详解】解：，即，故答案为：【点睛】本题考查了分式的求值，分式的加减，正确的计算是解题的关键15. 若的小数部分为，整数部分为，则的值为_【答案】【解析】【
14、分析】根据，可得a、b的值，代入代数式中利用平方差公式计算即可得答案【详解】解：，【点睛】本题考查了估算无理数的大小和平方差公式的应用，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题16. 对于正数x，规定 ，则:（1）_；（2）=_【答案】 . 1 . 【解析】【分析】（1）根据给出的规定计算即可；（2）运用加法的交换律结合律，再根据规定的运算可求得结果【详解】解：（1）故答案为：1；（2），原式，【点睛】本题考查的是新定义，以及分式的加减，解题的关键是根据题意找出规律，利用规律解题三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27， 28题，每小题7分）1
15、7. 计算：【答案】【解析】【分析】根据分式的乘除法进行计算，注意进行约分【详解】解：原式【点睛】本题考查了分式的乘除法，解决本题的关键是遇到除法，变为乘法计算，并注意约分.18. 计算：【答案】【解析】【分析】根据分式的加减进行计算即可求解【详解】解：原式【点睛】本题考查了分式的加减进行计算，掌握分式的加减运算是解题的关键19. 计算：【答案】当 时，；当 时，【解析】【分析】利用二次根式的乘除法则以及二次根式的性质，进行化简即可【详解】解：，同号，且，；当 时，原式；当 时，原式【点睛】本题考查二次根式的性质，以及乘除运算熟练掌握二次根式的性质和乘除运算法则是解题的关键20. 计算：【答案
16、】【解析】【分析】根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，进行计算即可求解【详解】解：【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键21. 计算：【答案】【解析】【分析】根据二次根式的性质、立方根化简各数，即可求解【详解】解：原式【点睛】本题考查了二次根式的性质、立方根，正确的计算是解题的关键22. 解分式方程：.【答案】【解析】【详解】试题分析：方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得.试题解析：方程两边同时乘以，得 ，整理得： ，得： ，经检验：是原方程的解 ， 原方程的解为 .23. 先化简分式，再从2，1，1，这4个数中选择一个合适的数作为
17、a的值代入求值【答案】，【解析】【分析】先根据分式的加法和除法法则化简题目中的式子，然后在2、1、1、这4个数中选取使原分式有意义的值代入计算即可【详解】解：原式根据分式有意义的条件，且且，且a0，所以当时，原式【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件、分式的化简求值以及最简二次根式的知识，解答本题的关键是熟练运用分式的运算法则24. 列方程解应用题2022年北京市教育委员会印发关于推进“互联网+基础教育”的工作方案的通知方案中指出：双师课堂是在空中课堂基础上的深化，将传统单师授课模式变革为名师团队支持下新型教学场景某校为响应国家号召，利用暑期在各班安装能够进行双师教学的电脑该校南楼安装的48台
18、由甲队完成，北楼安装的30台由乙队完成已知甲队比乙队每天多安装3台，且两队同时开工，恰好同时完成任务甲、乙两队每天各安装能够进行双师教学多少台？【答案】甲队每天安装8台，乙队每天安装5台【解析】分析】设乙队每天安装台电脑，则甲队每天安装台，根据两队同时开工，恰好同时完成任务，列出分式方程，解方程即可求解【详解】解：设乙队每天安装台电脑，则甲队每天安装台，根据题意得，解得：，经检验，是原方程的解，则甲队每天安装（台）答：甲队每天安装8台，乙队每天安装5台【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键25. 我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数.在学习二
19、次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系.例如：由，可得与互为倒数，即或，类似地，可得或根据小明发现的规律，解决下列问题：（1） ， 为正整数）（2）若，则 （3）求的值.【答案】（1）， （2） （3）【解析】【分析】（1）根据示例，利用平方差公式进行计算即可求解；（2）根据（1）的方法进行计算即可求解；（3）根据（1）的方法进而计算，然后合并即可求解【小问1详解】解：，故答案为：，；【小问2详解】解：，即，故答案为：；【小问3详解】解：【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键.26. 现场学习：先阅读下
20、面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程：解为；的解为；的解为；（1）猜想关于x的方程的解是 ；（2）猜想关于x的方程的解是 ；（3）用上述方法求关于的方程的解【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；【小问1详解】解：猜想关于x的方程的解是；故答案为：；【小问2详解】解：猜想关于x的方程的解是；故答案为：；【小问3详解】解：方程变形得：，可得或，解得：【点睛】本题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值弄清题中的规律是解本题的
21、关键27. 小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：_（填写运算结果）；（2）观察、归纳，得出猜想如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：_；（3）证明你的猜想（4）应用运算规律：化简：_；若（a，b均为正整数），则的值为_【答案】（1） （2） （3）见解析 （4）；【解析】【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例5；（2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想；（3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子
22、，从而可以解答本题；（4）根据（2）中的规律即可求解【小问1详解】解：，故答案是：；【小问2详解】，故答案是：；【小问3详解】证明：左边，又右边，左边右边，成立；【小问4详解】，故答案是：；，根据，得，解得：，（舍去），故答案是：【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题28. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，则是“和谐分式”（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；（2）请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数【答案】（1） （2），过程见解析 （3），当，该式的值是整数，【解析】【分析】（1）由“和谐分式”的定义对变形即可得；（2）根据“和谐分式”的定义进行变形即可求解；（3）将原式变形为，根据题意求得的值，根据分式有意义的条件取舍即可求解【小问1详解】解：，不是“和谐分式”，“和谐分式”，是“和谐分式”，不是“和谐分式”，故答案为：；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：，为整数，当时，是整数，又时，原式的值是整数【点睛】本题主要考查分式的化简及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则及对和谐分式的定义的理解
