1、2021-2022 学年北京市昌平区八年级学年北京市昌平区八年级上期中数学试卷（上期中数学试卷（A） 一、选择题（共一、选择题（共 8 道小题，每小题道小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 1 （2 分）若分式有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx0 Cx3 Dx0 2 （2 分）4 的算术平方根是（ ） A2 B2 C2 D16 3 （2 分）若将分式中的 x，y 都扩大 10 倍，则分式的值（ ） A扩大为原来的 10 倍 B缩小为原来的 C缩小为原来的 D不改变 4 （2 分）下列等式中，正确的是（ ） A B C D 5 （2 分）下列各式中，正确的是（ ） A
2、 B C D 6 （2 分）下列各数：，0.31，0.2020020002（每两个 2 之间依次多一个 0） ，其中无理数有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 7 （2 分）如图，数轴上 A，B，C，D 四点中，与对应的点距离最近的是（ ） A点 A B点 B C点 C D点 D 8 （2 分） 对于正数 x， 规定 f （x） ， 例如 f （4） ， 则 f （2021） +f （2020）+f（2）+f（1）+f（）+的结果是（ ） A B4039 C D4041 二、填空题（共二、填空题（共 8 道小题，每小题道小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 9 （2 分）
3、如果分式的值为 0，那么 x 的值为 10 （2 分）使二次根式有意义的 x 的取值范围是 11 （2 分）化简： 12 （2 分）在公式 Vabc 中，所有字母均不等于零，试用代数式表示 a 13 （2 分）已知 m 为正整数，且 mm+1，那么 m 的值等于 14 （2 分）实数的平方根是 15 （2 分）若|x5|+20，则 xy 的值是 16 （2 分）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮其中，甲种粗粮每袋装有 3 千克 A 粗粮，1 千克 B 粗粮，1 千克 C 粗粮；乙种粗粮每袋装有 1 千克 A 粗粮，2 千克 B粗粮，2 千克 C 粗粮甲、乙两种
4、袋装粗粮每袋成本价分别为袋中 A，B，C 三种粗粮的成本价之和已知 A 粗粮每千克成本价为 6 元， 甲种粗粮每袋售价为 58.5 元， 利润率为 30%， 乙种粗粮的利润率为 20%，则甲种粗粮中每袋成本价为 元；若这两种袋装粗粮的销售利润率达到 24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 12 道小题，第道小题，第 1722 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 23-26 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 27、28 题，每小题，每小题题 5 分，共分，共 68 分）分） 17 （5 分）计算： 18 （5 分）计算： 19 （5 分
5、）计算：4+ 20 （5 分）计算： 21 （5 分）计算： 22 （5 分）计算： 23 （6 分）解方程：2 24 （6 分）先化简，再求值： （1），其中 a2a0 25 （6 分） 为庆祝建党 100 周年， 学校组织初二学生乘车前往距学校 132 千米的某革命根据地参观学习 二班因事耽搁，比一班晚半小时出发，为了赶上一班，平均车速是一班平均车速的 1.2 倍，结果和一班同时到达求一班的平均车速是多少千米/时？ 26 （6 分）阅读下列文字，解答问题： 俗话说的好“处处留心皆学问” ，生活中处处有数学，小明为了研究在物价波动时如何买东西最合算，做了一个小调研：某一粮店同一品种粮食在两个
6、不同时段的粮价不同，假设 x，y 分别表示两个时段粮食的单价（单位：元/千克） （1）李阿姨分别在两个时段各购买此品种粮食 10 千克，若用 Q1表示李阿姨两次购粮的平均单价，试用含 x，y 的代数式表示 Q1； （2）王奶奶分别在两个时段各花 10 元购买此品种粮食，若用 Q2表示王奶奶两次购粮的平均单价，试用含 x，y 的代数式表示 Q2； （3）一般地， “要比较 a 与 b 的大小，可先求出 a 与 b 的差，再看这个差是正数、负数还是零” 由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以判断，问谁两次购粮的平均单价低，并说明理由 27 （7 分）阅读解题过程： ， ， 试求
7、： （1）的值； （2）（n 为正整数）的值； （3）的值 28 （7 分）阅读下列材料，然后回答问题 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式” ；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式” 例如：，这样的分式是假分式；，这样的分式是真分式类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式 例如：， 解决下列问题： （1）将分式化为整式与真分式的和的形式； （2）如果分式的值为整数，求 x 的整数值 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（共一、选择题（共 8 道小题，每小题道小题，每小
8、题 2 分，共分，共 16 分）第分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1 （2 分）若分式有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx0 Cx3 Dx0 【分析】根据分母为零分式无意义，可得答案 【解答】解：由题意，得 x30， 解得 x3， 故选：C 【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键 2 （2 分）4 的算术平方根是（ ） A2 B2 C2 D16 【分析】根据乘方运算，可得一个数的算术平方根 【解答】解：224， 2， 故选：A 【点评】本题考查了算术平方根，乘方运算是
9、解题关键 3 （2 分）若将分式中的 x，y 都扩大 10 倍，则分式的值（ ） A扩大为原来的 10 倍 B缩小为原来的 C缩小为原来的 D不改变 【分析】根据分式的基本性质解决此题 【解答】解：分式中的 x，y 都扩大 10 倍后得， 分式的值不变 故选：D 【点评】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键 4 （2 分）下列等式中，正确的是（ ） A B C D 【分析】利用平方根的定义对 A、C 进行判断；利用算术平方根的定义对 B、D 进行判断 【解答】解：A，所以 A 选项不符合题意； B ，所以 B 选项符合题意； C，所以 C 选项不符合题意； D ，
10、所以 D 选项不符合题意 故选：B 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活运用二次根式的性质是解决问题的关键 5 （2 分）下列各式中，正确的是（ ） A B C D 【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题 【解答】解：，故选项 A 错误， 当 x0 时，故选项 B 错误， ，故选项 C 正确， 不能化简，故选项 D 错误， 故选：C 【点评】本题考查分式的基本性质，解答本题的关键是可以对各个选项中的式子进行化简 6 （2 分）下列各数：，0.31，0.2020020002（每两个 2 之间依次多一个 0） ，其中无理数有（ ） A2 个 B3 个 C4 个
11、D5 个 【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项 【解答】解：是分数，属于有理数； 0.31 是有限小数，属于有理数； 无理数有，0.2020020002（每两个 2 之间依次多一个 0） ，共 3 个 故选：B 【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数如 ，0.8080080008（每两个 8 之间依次多 1 个 0）等形式 7 （2 分）如图，数轴上 A，B，C，D 四点中，与对应的点距离最近的是（ ） A点 A B点 B C点 C D点 D 【分析】根据1.732，找到与的差的绝对值最小的点即为所求 【解答】解：|3（）|1
12、.268， |2（）|0.268， |1（）|0.732， |2（）|3.732， 其中 0.268 最小， 与表示的点距离最近的点是 B 故选：B 【点评】 此题考查了实数与数轴， 利用数轴可以比较任意两个实数的大小， 即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小 8 （2 分） 对于正数 x， 规定 f （x） ， 例如 f （4） ， 则 f （2021） +f （2020）+f（2）+f（1）+f（）+的结果是（ ） A B4039 C D4041 【分析】计算出 f（2） ，f（） ，f（3） ，f（）的值，总结出其规律，再求所求的式子的值即可 【解答】
13、解：f（2），f（），f（3），f（）， f（2）+f（）1，f（3）+f（）1， f（x）+f（）1， f（2021）+f（2020）+f（2）+f（1）+f（）+ f（2021）+f（）+f（2020）+f（）+f（2）+f（）+f（1） 1（20211）+f（1） 2020+ 故选：C 【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答 二、填空题（共二、填空题（共 8 道小题，每小题道小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 9 （2 分）如果分式的值为 0，那么 x 的值为 4 【分析】根据分式的值为 0 的条件解决此题
14、 【解答】解：由题得：x40 且 x10 x4 故答案为：4 【点评】本题主要考查分式的值为 0 的条件，熟练掌握分式的值为 0 的条件是解决本题的关键 10 （2 分）使二次根式有意义的 x 的取值范围是 x 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 12x0，再解不等式即可 【解答】解：由题意得：12x0， 解得：x 故答案为：x 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数 11 （2 分）化简： 【分析】根据二次根式的性质解决此题 【解答】解：5a 故答案为： 【点评】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键 12 （2 分）
15、在公式 Vabc 中，所有字母均不等于零，试用代数式表示 a 【分析】根据分式的除法运算法则即可求出答案 【解答】解：Vabc， a， 故答案为：a 【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的除法运算法则，本题属于基础题型 13 （2 分）已知 m 为正整数，且 mm+1，那么 m 的值等于 3 【分析】由 321142可得，进而得出 m 的值 【解答】解：321142， ， m 为正整数，且 mm+1， m3 故答案为：3 【点评】本题考查了估算无理数的大小，属于基础题，注意“夹逼法”的运用是关键 14 （2 分）实数的平方根是 3 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题 【
16、解答】解：9， 实数的平方根是3 故答案为：3 【点评】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解决本题的关键 15 （2 分）若|x5|+20，则 xy 的值是 7 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负数性质可得 x 与 y 的值，再代入所求数轴计算即可 【解答】解：|x5|+20，而|x50，0， x50，y+20， 解得 x5，y2， xy5（2）5+27 故答案为：7 【点评】主要考查非负数的性质；用到的知识点为：两个非负数的和为 0，这两个非负数均为 0 16 （2 分）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮其中，甲种粗粮每袋装有 3
17、 千克 A 粗粮，1 千克 B 粗粮，1 千克 C 粗粮；乙种粗粮每袋装有 1 千克 A 粗粮，2 千克 B粗粮，2 千克 C 粗粮甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中 A，B，C 三种粗粮的成本价之和已知 A 粗粮每千克成本价为 6 元， 甲种粗粮每袋售价为 58.5 元， 利润率为 30%， 乙种粗粮的利润率为 20%，则甲种粗粮中每袋成本价为 45 元；若这两种袋装粗粮的销售利润率达到 24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 【分析】甲种粗粮每袋成本58.5（1+30%）45（元） ，设 B 粗粮每千克成本 a 元，C 粗粮每千克成本 b 元，根据题意得 63+a+b45，
18、解得：a+b27，即可求出乙种粗粮每袋成本为 60 元，再设该电商销售甲种粗粮 x 袋，乙种粗粮 y 袋，根据题意得：4530%x+6020%y24%（45x+60y） ，整理化简即可求解 【解答】解：甲种粗粮每袋成本58.5（1+30%）45（元） ， 设 B 粗粮每千克成本 a 元，C 粗粮每千克成本 b 元， 根据甲袋每袋装有 3 千克 A 粗粮，1 千克 B 粗粮，1 千克 C 粗粮，得 63+a+b45， 解得：a+b27， 乙种粗粮每袋成本为：61+2a+2b6+22760（元） ， 设该电商销售甲种粗粮 x 袋，乙种粗粮 y 袋， 根据题意得：4530%x+6020%y24%（4
19、5x+60y） ， 整理化简得：9x8y， ， 故答案为： 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是设出相关量，分析题意，列出方程组，解出未知量之间的关系 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 12 道小题，第道小题，第 1722 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 23-26 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 27、28 题，每小题，每小题题 5 分，共分，共 68 分）分） 17 （5 分）计算： 【分析】原式先计算乘方，再计算乘除即可得到结果 【解答】解：原式 【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 18 （5 分）计算： 【分析】先通分，再进
20、行同分母的减法运算法则进行计算即可得出答案 【解答】解： 【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键 19 （5 分）计算：4+ 【分析】直接化简二次根式，进而合并求出即可 【解答】解：原式43+2 23+2 【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键 20 （5 分）计算： 【分析】直接利用绝对值的性质和二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而利用实数的加减运算法则计算得出答案 【解答】解：原式+33+12 +12 【点评】此题主要考查了绝对值的性质和二次根式的性质、立方根的性质，正确化简各数是解题关键 21 （5 分）计算： 【分析】先利用完全
21、平方公式和二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可 【解答】解：原式2+2+1 3+2 3+ 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键 22 （5 分）计算： 【分析】先把除法转化为乘法，再通分后求差，最后约分 【解答】解：原式 【点评】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键 23 （6 分）解方程：2 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 【解答】解：去分母，得 2x（x1）4（x5） ， 去括号，得 2xx+14x20， 移项并合并同类
22、项，得3x21， 系数化为 1，得 x7， 经检验，x7 是原方程的解， 所以原方程的解是 x7 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 24 （6 分）先化简，再求值： （1），其中 a2a0 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a2a 的值代入计算即可 【解答】解： a2a， ， ， 则原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则 25 （6 分） 为庆祝建党 100 周年， 学校组织初二学生乘车前往距学校 132 千米的某革命根据地参观学习 二班因事耽搁，比一班晚半小时出发，为了赶上一班，平均车
23、速是一班平均车速的 1.2 倍，结果和一班同时到达求一班的平均车速是多少千米/时？ 【分析】设一班的平均车速是 x 千米/时，则二班的平均车速是 1.2x 千米/时，利用时间路程速度，结合二班比一班少用半小时，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出一班的平均车速 【解答】解：设一班的平均车速是 x 千米/时，则二班的平均车速是 1.2x 千米/时， 依题意得：， 解得：x44， 经检验，x44 是原方程的解，且符合题意 答：一班的平均车速是 44 千米/时 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 26 （6 分）阅读下列文字，解答问题： 俗话说
24、的好“处处留心皆学问” ，生活中处处有数学，小明为了研究在物价波动时如何买东西最合算，做了一个小调研：某一粮店同一品种粮食在两个不同时段的粮价不同，假设 x，y 分别表示两个时段粮食的单价（单位：元/千克） （1）李阿姨分别在两个时段各购买此品种粮食 10 千克，若用 Q1表示李阿姨两次购粮的平均单价，试用含 x，y 的代数式表示 Q1； （2）王奶奶分别在两个时段各花 10 元购买此品种粮食，若用 Q2表示王奶奶两次购粮的平均单价，试用含 x，y 的代数式表示 Q2； （3）一般地， “要比较 a 与 b 的大小，可先求出 a 与 b 的差，再看这个差是正数、负数还是零” 由此可见，要判断两
25、个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以判断，问谁两次购粮的平均单价低，并说明理由 【分析】 （1）利用平均单价共付钱数购买粮食的总数进行解答即可； （2）利用平均单价共付钱数购买粮食的总数进行解答即可； （3）计算 Q1Q2，利用计算结果进行判定 【解答】解： （1）Q1； 李阿姨两次购粮的平均单价为元 （2）Q2； 王奶奶两次购粮的平均单价为元 （3）王奶奶两次购粮的平均单价低理由： Q1Q2， 又x2+y20，2（x+y）0， Q1Q20 即 Q1Q2 王奶奶两次购粮的平均单价低 【点评】本题主要考查了列代数式，利用题干中的方法比较大小是解题的关键 27 （7 分）阅读解题过程： ， ，
26、 试求： （1）的值； （2）（n 为正整数）的值； （3）的值 【分析】 （1）分子分母都乘以（） ，然后利用平方差公式计算； （2）分子分母都乘以（） ，然后利用平方差公式计算； （3）先分母有理化，然后合并即可 【解答】解： （1）原式； （2）原式； （3）原式1+ + 1 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、分母有理化和平方差公式是解决问题的关键 28 （7 分）阅读下列材料，然后回答问题 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式” ；
27、当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式” 例如：，这样的分式是假分式；，这样的分式是真分式类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式 例如：， 解决下列问题： （1）将分式化为整式与真分式的和的形式； （2）如果分式的值为整数，求 x 的整数值 【分析】 （1）原式利用阅读材料中的方法变形为整式和真分式之和即可； （2） 原式利用阅读材料中的方法变形为整式和真分式之和， 根据原式的值为整数， 得到真分式为整数 0，即可确定出 x 的整数值 【解答】解： （1）原式1； （2）原式 x x x1+， 原式的值为整数，且 x 为整数， 为整数，即 x+31 或 x+33， 则 x2 或4 或 0 或6 【点评】此题考查了分式的加减法，整式的加减，分式的定义以及分式的值，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键
