1、专题09：立体几何一、单选题1（2022山东青岛二模）九章算术中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（）ABCD2（2022山东烟台市教育科学研究院二模）若圆锥的母线长为，侧面积为，则其体积为（）ABCD3（2022山东菏泽二模）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（）ABCD4（2022山东德州市教育科学研
2、究院二模）已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（2022山东滨州二模）在正方体中，设直线与直线AD所成的角为，直线与平面所成的角为，则（）ABCD6（2022山东泰安二模）已知A，B两点都在以PC为直径的球O的球面上，ABBC，ABBC4，若球O的体积为，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为（）ABCD7（2022山东济宁二模）一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（）ABCD8（2022山东聊城二模）已知某圆锥的侧面积等于底面的3倍，直线是底面所在平面内的一条直线，
3、则该直线与母线所成的角的余弦值的取值范围为（）ABCD二、多选题9（2022山东青岛二模）已知正方体，动点P在线段BD上，则下述正确的是（）ABC平面D平面10（2022山东菏泽二模）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（）A存在某个位置，使直线BD与平面ABC所成的角为45B当二面角为时，三棱锥的体积为C当平面ACD平面ABC时，异面直线AB与CD的夹角为60DO为AC的中点，当二面角为时，三棱锥外接球的表面积为11（2022山东德州市教育科学研究院二模）某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图，已
4、知球的表面积为16，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠面成，如图，则下列结论正确的是（）A直线AD与平面DEF所成的角为B经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为C异面直线AD与CF所成角的余弦值为D球上的点到底面DEF的最大距离为12（2022山东临沂二模）如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，点M在上，且，P为线段上的点，则()A平面B当P为的中点时，直线AP与平面ABC所成角的正切值为C存在点P，使得D存在点P，使得三棱锥的体积为13（2022山东日照二模）传说古希腊科学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径与圆柱的高相等.因为
5、阿基米德认为这个“圆柱容球”是他在几何上最为得意的发现，于是留下遗言：他去世后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若，则（）AB的展开式中的的系数为56C的展开式中的各项系数之和为0D，其中i为虚数单位14（2022山东滨州二模）在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把，和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如图2所示，则下列结论中正确的是（）AB三棱锥的体积为4C三棱锥外接球的表面积为D过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围
6、为15（2022山东济南二模）在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为线段，CD，CB上的动点（E，F，G均不与点C重合），则下列说法正确的是（）A存在点E，F，G，使得平面EFGB存在点E，F，G，使得C当平面EFG时，三棱锥与C-EFG体积之和的最大值为D记CE，CF，CG与平面EFG所成的角分别为，则16（2022山东泰安二模）已知等边三角形ABC的边长为6，M，N分别为AB，AC的中点，如图所示，将AMN沿MN折起至，得到四棱锥，则在四棱锥中，下列说法正确的是（）A当四棱锥的体积最大时，二面角为直二面角B在折起过程中，存在某位置使BN平面C当四棱锥体积的最大时，直线与平面MNCB所成角的
7、正切值为D当二面角的余弦值为时，的面积最大17（2022山东济宁二模）在棱长为1的正方体中，点M是的中点，点P，Q，R在底面四边形ABCD内（包括边界），平面，点R到平面的距离等于它到点D的距离，则（）A点P的轨迹的长度为B点Q的轨迹的长度为CPQ长度的最小值为DPR长度的最小值为18（2022山东聊城二模）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45角的两个平行平面
8、去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（）A底面椭圆的离心率为B侧面积为C在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为D底面积为19（2022山东潍坊二模）已知四面体ABCD的4个顶点都在球O（O为球心）的球面上，ABC为等边三角形，M为底面ABC内的动点，AB=BD=2，且，则（）A平面ACD平面ABCB球心O为ABC的中心C直线OM与CD所成的角最小为D若动点M到点B的距离与到平面ACD的距离相等，则点M的轨迹为抛物线的一部分三、填空题20（2022山东烟台市教育科学研究院二模）鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧图1
9、是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为_21（2022山东日照二模）在棱长为3的正方体中，已知点P为棱上靠近点的三等分点，点Q为棱CD上一动点.若M为平面与平面ABCD的公共点，且点M在正方体的表面上，则所有满足条件的点M构成的区域面积为_.22（2022山东济南二模）在高为2的直三棱柱中，ABAC，若该直三棱柱存在内切球，则底面ABC周长的最小值为_.23（2022山东临沂二模）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面
10、的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等如图是一个椭圆球形瓷凳，其轴截面为图中的实线图形，两段曲线是椭圆的一部分，若瓷凳底面圆的直径为4，高为6，则_；利用祖暅原理可求得该椭圆球形瓷凳的体积为_24（2022山东潍坊二模）根据高中的解析几何知识，我们知道平面与圆锥面相交时，根据相交的角度不同，可以是三角形、圆、椭圆、抛物线、双曲线如图，AB是圆锥底面圆O的直径，圆锥的母线，E是其母线PB的中点若平面过点E，且PB平面，则平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，此时抛物线的焦点F到底面圆心O的距离为_；截面把圆锥分割成两部分，在两部分内部，分别在截面的
11、上方作一个半径最大的球M，在截面下方作一个半径最大的球N，则球M与球N的半径的比值为_四、解答题25（2022山东青岛二模）如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.(1)设平面平面，证明：；(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.26（2022山东烟台市教育科学研究院二模）如图，在平行六面体中，底面，(1)证明：；(2)设点为线段上一点（异于D，），当为何值时，平面与平面夹角的余弦值最大？27（2022山东菏泽二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，的面积是的面积
12、的倍(1)证明：平面PAD平面ABCD；(2)若E为BC的中点，F为线段PE上的任意一点，当DF与平面PBC所成角的正弦值最大时，求平面FAD与平面ABCD所成角的正切值28（2022山东德州市教育科学研究院二模）九章算术是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，是算经十书中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系在九章算术商功篇中提到“阳马”这一几何体，是指底面为矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，现有“阳马”，底面为边长为2的正方形，侧棱面，E、F为边、上的点，点M为AD的中点(1)若，证明：面PBM面PAF；(2
13、)是否存在实数，使二面角的大小为？如果不存在，请说明理由；如果存在，求此时直线与面所成角的正弦值29（2022山东临沂二模）如图，AB是圆柱底面圆O的直径，、为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且，E、F分别为、的中点(1)证明：EF平面ABCD；(2)求平面OEF与平面夹角的余弦值30（2022山东日照二模）如图，等腰梯形ABCD中，现以AC为折痕把折起，使点B到达点P的位置，且.(1)证明：平面平面ADC；(2)若M为PD上一点，且三棱锥的体积是三棱锥体积的2倍，求二面角的余弦值.31（2022山东滨州二模）如图，在四棱锥中，底面，底面是等腰梯形，E是PB上一点，且(1)
14、求证：平面；(2)已知平面平面，求二面角的余弦值32（2022山东济南二模）在底面为正三角形的三棱柱中，平面ABC平面，.(1)证明：；(2)求二面角的余弦值.33（2022山东泰安二模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且DAB60，PDAD，PD平面ABCD，M为BC中点，(1)求证：平面DMN平面PAD；(2)当取何值时，二面角BDNM的余弦值为34（2022山东济宁二模）如图，在三棱台中，底面为等边三角形，平面ABC，且D为AC的中点.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.35（2022山东聊城二模）如图，在四棱锥中，平面，是等边三角形，(1)若，求证：平
15、面；(2)若二面角为30，求直线与平面所成的角的正弦值36（2022山东潍坊二模）如图，线段AC是圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，PA底面ABC，M是PB上的动点，且，N是PC的中点(1)若时，记平面AMN与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PBC的位置关系，并加以证明；(2)若平面PBC与平面ABC所成的角为，点M到平面PAC的距离是，求的值参考答案1B【分析】根据已知条件找出外接球的球心，求出半径，再利用球的体积公式即可求解.【详解】连接,交于点,取的中点，则平面,取的中点,连接,作,垂足为，如图所示由题意可知，所以,所以,所以,又,所以，即这个几何体的外接球的球心为，半径为
16、，所以这个几何体的外接球的体积为.故选：B.2D【分析】计算出圆锥的底面半径和高，利用锥体的体积公式可求得该圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则，可得，则，因此，该圆锥的体积为.故选：D.3C【分析】根据已知求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的侧面积，再求出圆柱的侧面积和底面面积，进而可求出陀螺的表面积【详解】由题意可得圆锥体的母线长为，所以圆锥体的侧面积为，圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，所以此陀螺的表面积为（），故选：C4A【分析】根据线面垂直的性质证明充分性成立，由线面垂直的定义判断必要性不成立.【详解】由线面垂直的性质知，若，则成立，即充分性成立；根据线面垂直的定义，必须
17、垂直平面内的两条相交直线，才有，即必要性不成立.故选：A.5C【分析】根据异面直线所成角及线面角的定义，可得直线与直线AD所成的角，直线与平面所成的角，从而即可求解.【详解】解：在正方体中，因为，所以直线与直线AD所成的角，因为平面，所以为在平面上的射影，所以直线与平面所成的角，又平面，所以，所以，即，故选：C.6A【分析】取中点，先由外接球体积求出半径，再由为等腰直角三角形，建立空间直角坐标系，表示出以及与平行的向量，再按照向量夹角公式求解即可.【详解】如图，取中点，连接，由可得是的外心，则平面，又，由得，即，又，分别是中点，以为轴建立空间直角坐标系，则，与平行的向量，故异面直线PB与AC所
18、成角的余弦值为.故选：A.7A【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的高为，内切球的半径为，则由题意可得，从而可求得，作出轴截面如图，利用与相似可求出，从而可求出圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的高为，内切球的半径为，其轴截面如图所示，设为内切球球心，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，得，即，所以，所以，因为，所以,所以，得，所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为，故选：A8A【分析】由侧面积与底面积的关系得出，再由线线角的范围结合线面角的定义得出该直线与母线所成的角的余弦值的取值范围.【详解】设底面圆的半径为，母线长为，因为圆锥的
19、侧面积等于底面的3倍，所以，即，因为直线与直线所成角的范围为，所以当直线与底面圆相切时，直线与母线所成角最大为，则该直线与母线所成的角的余弦值的最小值为；当直线过底面圆的圆心时，由线面角的定义可知，此时直线与母线所成角最小，则该直线与母线所成的角的余弦值的最大值为，即该直线与母线所成的角的余弦值的取值范围为.故选：A9BD【分析】对A，根据判断即可；对B，根据平面判断即可；对C，举反例判断即可；对D，同B中，证明平面判断即可；【详解】对A，如图，根据正方体的性质有且，故平行四边形，故，故当且仅当在点时才有，故A错误；对B，如图，由正方体的性质可得，平面，故，又，平面，故平面，故，同理，故平面，
20、故，故B正确；对C，当在时，故平面不成立，故C错误；对D，同B有平面，故平面平面，故平面成立，故D正确；故选：BD10ACD【分析】A.当当平面平面，即可判断；B.根据锥体体积公式，即可求解；C.将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即可求解；D.将三棱锥补体为三棱柱，即可求球心和半径.【详解】A.当平面平面时，取的中点，连接，平面，为直线BD与平面ABC所成的角，是等腰直角三角形，故A正确；B.，平面，且，平面，平面平面，且交于，点在平面的射影落在上，点到平面的距离，三棱锥的体积，故B错误；C.取的中点，连接，则，所以或其补角是异面直线AB与CD的夹角，根据A的证明可知，且，所以是等边三
21、角形，故C正确；D.由条件可知平面，且，所以可以将四棱锥补成底面是菱形的直棱柱因为四边形是菱形，且，所以点是底面外接圆的圆心，取侧棱的中点，则是四棱柱外接球的球心，连结，所以四棱锥外接球的半径，外接球的表面积，故D正确.故选：ACD11AC【分析】根据直线与平面所成角的定义，确定所求解的角判断A；求出外接圆的面积判断B；作出异面直线所成的角，并求出这个角判断C；求出球心到平面的距离判断D.【详解】根据图形的形成可知，三点在底面上的投影分别是三边中点，如图所示，对于A，面，就是直线AD与平面DEF所成的角，是等边三角形，A正确；对于B，与全等且所在平面平行，截面圆就是的外接圆与的外接圆相同，由题
22、意知的边长为，其外接圆半径为 ，圆的面积，B错误；对于C，由上述条件知，且，而且，四边形是平行四边形，所以是异面直线AD与CF所成的角（或其补角）.又,，C正确；对于D，由上述条件知，设是球心，球半径为，由，解得：，则是正四面体，棱长为，设为的中心，如图：则面，又面， ，又 球上的点到底面DEF的最大距离为，D错误.故选：AC.12BD【分析】A：假设平面，则可得AC平面，ACB=90与已知矛盾，从而判断假设不成立；B：取BC中点为N，可证PN平面ABC，PAN为AP与平面ABC所成角，解ANP即可；C：假设CPAM，可得CP平面AMN，CPMN，几何图形即可判断假设不成立；D：假设=，求出C
23、PM的面积，判断CPM面积是否小于或等于面积即可【详解】对于A，假设平面，则AC，易知AC，故AC平面，故ACBC，这与ACB=60矛盾，故假设不成立，故A错误；对于B，当P为的中点时，取BC中点为N，连接PN、AN，易知PN，平面ABC，则PN平面ABC，故PAN即为AP与平面ABC所成角，则tanPAN=，故B正确；对于C，取BC中点为N，连接AN、NM，由ANBC，AN知AN平面，故ANCP，若，ANAM=A，则CP平面AMN，则CPMN，过C作CGMN交于G，则CPCG，即PCG=90，易知PCG不可能为90，故不存在P使得，故C错误；对于D，取BC中点为N，连接AN，易知AN平面，A
24、N=，若三棱锥的体积为，则，故存在P使时，三棱锥的体积为，故D正确故选：BD【点睛】本题充分考察空间里面的点线面位置关系，判断选项ACD时都可以采用假设存在P点满足条件，然后结合几何关系推出与已知条件矛盾或不矛盾的结论，从而作出判断；选项B考察空间里面直线和平面的夹角，根据几何关系可作出辅助线解决问题即可13AC【分析】根据圆柱和球的表面积公式和体积公式，求得的值，得到，得出，再结合复数的运算和二项式定理的通项及性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A，设内切球的半径为r，则圆柱的高为，A正确；从而可知，；对于B，展开式通项公式为：，令，解得，的展开式中的的系数为，B错误；对于C，即展开式的各
25、项系数之和为0，C正确；对于D，D错误.故选：AC.14ACD【分析】将三棱锥补形为边长为2,2,4的长方体，对A：由平面即可判断；对B：由即可求解；对C：三棱锥外接球即为补形后长方体的外接球，从而即可求解；对D：由最大截面为过球心O的大圆，最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆即可求解.【详解】解：由题意，将三棱锥补形为边长为2,2,4的长方体，如图所示：对A：因为，所以平面，所以，故选项A正确；对B：因为M为BE的中点，所以，故选项B错误；对C：三棱锥外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径，所以三棱锥外接球的表面积为，故选项C正确；对D：过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面为圆
26、，其中最大截面为过球心O的大圆，此时截面圆的面积为，最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆，此时截面圆半径，截面圆的面积为，所以过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为，故选项D正确.故选：ACD.15ACD【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，对于A，当时，易证得，则要使平面EFG，只需即可，利用向量法即可得出结论；对于B，要使，只需要即可，判断和是否相等，即可；对于C，根据平面EFG，可得的关系，由，只要求出的最大值即可；对于D，利用等体积法求出到平面的距离，分别求出，即可判断.【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，对于A，因为平面，平面，所以，又因，所以
27、平面，又平面，所以，当时，此时，要使平面EFG，只需即可，则，则，即，当时，故存在点E，F，G，使得平面EFG，故A正确；对于B，则，要使，只需要即可，则，故，因为，所以，所以，所以不存在点E，F，G，使得，故B错误；对于C，因为平面EFG，所以，则，则，所以，要使最大，则，此时，所以体积之和的最大值为，故C正确；对于D，由B，则，因为，所以到平面的距离满足，所以，所以，所以，故D正确.故选：ACD.16ACD【分析】由四棱锥的体积最大，即高最大即可判断A选项；令BN平面，则，推出矛盾即可判断B选项；由线面角的定义即可判断C选项；由面面角的定义求得，进而求出为等腰直角三角形即可判断D选项.【详
28、解】如图，取中点，易得，由于四边形的面积为定值，要使四棱锥的体积最大，即高最大，当面时，此时高为最大，二面角为直二面角，A正确；若BN平面，则，又，则，又，故不成立，即不存在某位置使BN平面，B错误；由上知，当四棱锥体积的最大时，即二面角为直二面角，面，此时直线与平面MNCB所成角即为，易得四边形为等腰梯形，取中点，易得，且，故，又，故，C正确；如图，取中点，易得，取中点，易得，故即为二面角的平面角，即，故，又，解得，又，故，又，此时为等腰直角三角形，面积最大为，故D正确.故选：ACD.17BCD【分析】对于A，取BC的中点N，连接AN，根据面面平行的判定可证得平面平面，从而得点P的轨迹为线段
29、AN，解三角形计算可判断；对于B，连接DQ，由勾股定理得，从而有点Q的轨迹是以点D为圆心，以为半径的圆，由圆的周长计算可判断；对于C，过点D作于，交点Q的轨迹于，此时的长度就是PQ长度的最小值，由三角形相似计算得，由此可判断；对于D，由已知得点R到直线的距离等于它到点D的距离，根据抛物线的定义知点R的轨迹是以点D为焦点，以AB为准线的抛物线，以AD的中点为坐标原点O，过点O且垂直于AD的直线为x轴建立平面直角坐标系，则抛物线的方程为，设与直线AN平行且与抛物线相切的直线l的方程为：， 联立，整理得，由，解得，再根据平行线间的距离可求得PR长度的最小值【详解】解：对于A，取BC的中点N，连接AN
30、，则，所以平面，平面，又平面，平面，所以平面平面，又点P在底面四边形ABCD内（包括边界），平面，所以点P的轨迹为线段AN，因为，所以点P的轨迹的长度为，故A不正确；对于B，连接DQ，因为Q在底面ABCD上，所以，解得，所以点Q的轨迹是以点D为圆心，以为半径的圆，如下图所示，所以点Q的轨迹的长度为，故B正确；对于C，过点D作于，交点Q的轨迹于，此时的长度就是PQ长度的最小值，而，所以，所以，即，解得，所以，所以PQ长度的最小值为，故C正确；，对于D，因为点R到平面的距离等于它到点D的距离，由正方体的特点得点R到直线的距离等于点R到平面的距离，所以点R到直线的距离等于它到点D的距离，根据抛物线的
31、定义知点R的轨迹是以点D为焦点，以AB为准线的抛物线，以AD的中点为坐标原点O，过点O且垂直于AD的直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，则，直线AB的方程为，直线AN的方程为，则抛物线的方程为，设与直线AN平行且与抛物线相切的直线l的方程为：， 联立，整理得，解得，所以直线l的方程为：，则直线AN与直线l的距离为：，所以PR长度的最小值为，故D正确，故选：BCD.18ABD【分析】不妨过斜圆柱的最高点和最低点作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，作出过斜圆柱底面椭圆长轴的截面，截斜圆柱得平行四边形，截圆柱得矩形，如图，由此截面可得椭圆面与圆柱底面间所成的二面角的平面角，从而求得
32、椭圆长短轴之间的关系，得离心率，并求得椭圆的长短轴长，得椭圆面积，利用椭圆的侧面积公式可求得斜椭圆的侧面积，由斜圆柱的高比圆柱的底面直径大，可知斜圆柱内半径最大的球的直径与圆柱底面直径相等，从而得其表面积，从而可关键各选项【详解】不妨过斜圆柱的最高点和最低点作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，如图，矩形是圆柱的轴截面，平行四边形是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面，由圆柱的性质知，则，设椭圆的长轴长为，短轴长为，则，所以离心率为，A正确；，垂足为，则，易知，又，所以斜圆柱侧面积为，B正确；，椭圆面积为，D正确；由于斜圆锥的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的
33、球的半径为2，球表面积为，C错故选：ABD19ABD【分析】设的中心为G，取AC的中点E，由题可得平面可判断A，根据勾股定理可得进而判断B，利用特例可判断C，利用面面垂直的性质及抛物线的定义可判断D.【详解】设的中心为G，取AC的中点E，连接BE，DE，则.因为，,所以平面BDE，则，又ABC为等边三角形，所以，即，又，平面，平面，平面ACD平面ABC，故A正确；又，故为四面体的外接球的球心，即球心O为ABC的中心，故B正确；当时，为直线OM与CD所成的角，由上知，故C错误；由平面ACD平面ABC可知，动点M到平面ACD的距离即动点M到直线的距离，由抛物线的定义可知，点M的轨迹为抛物线的一部分
34、，故D正确.故选：ABD.20#【分析】计算出该玩具任意两点间最大距离，可得出正方体的棱长，即可求得正方体的表面积.【详解】将鲁班锁补成正方体，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，在鲁班锁所在几何体上任取一个顶点，观察图形可知，到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值在、中取得，结合图形可知、，则，所以，到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值，所以，若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），设该正方体的棱长的最小值为，则，该正方体的表面积为.故答案为：.21【分析】根据已知条件及基本事实1中的推理2和基本事实3得到点M的区域，利用三角形相似及梯形
35、的面积公式即可求解.【详解】延长DA，交于点N，连接NQ交AB于点E，则线段EQ为平面与平面ABCD的公共点M的集合，当Q运动到点D时，E与A重合；当Q运动到点C时，设此时E点运动到F点，则梯形FADC即为点M构成的区域，因为，所以，所以，所以.故答案为：.22#【分析】先求出内切球的半径，时，即 ，底面ABC周长的最小，代入即可求出答案.【详解】因为直三棱柱的高为2，设内切球的半径为，所以，所以，又因为ABAC，所以设，所以.，因为，所以 ABC周长的最小值即为面积的最小值，而，当且仅当 “”时取等.当时，底面ABC周长最小，所以，所以，所以此时ABC周长的最小值：.故答案为：.23 #；
36、【分析】第一空：建立直角坐标系，代入点的坐标求出即可；第二空：由祖暅原理，给出底面半径为3，高和半椭圆球形相等的圆柱挖去等底等高圆锥形成的几何体，求得截面面积相同，即体积相同，求出该几何体的体积，即可求得椭圆球形瓷凳的体积.【详解】第一空：如图以椭圆的中心建立坐标系，瓷凳底面圆的直径为4，高为6，易得图中，故，解得；第二空：如图，图1为旋转形成椭圆球形的一半，图2为圆柱挖去等底等高圆锥形成的几何体，其底面半径为3，高和半椭圆球形相等.设，即点纵坐标为，代入椭圆方程，解得，故圆的面积；圆柱中大圆的半径为，由可得小圆的半径，故圆环的面积，易得，根据祖暅原理可得图1半椭圆球形的体积等于图2几何体的体
37、积.又该瓷凳底面圆的直径为4，高为6，即，故体积为，故该瓷凳的体积为.故答案为：；.【点睛】本题关键点在于给出底面半径为3，高和半椭圆球形相等的圆柱挖去等底等高圆锥形成的几何体，利用截面面积相等，由祖暅原理将半椭圆球形体积转化为该几何体的体积即可求解.24 #0.5 【分析】（1）以E为原点，EO为x轴建立坐标系，利用坐标法求出抛物线方程，即可求出抛物线的焦点F到底面圆心O的距离；（2）作出直截面，分析位置关系，利用几何知识分别求出球M与球N的半径，即可求解.【详解】如图示：因为圆锥的母线，所以，所以PBPA.连结OE.因为PB平面，所以PBOE.所以.在中，O为AB的中点，所以OE为中位线，
38、所以.设平面交底面圆于CD,则.以E为原点，EO为x轴建立坐标系如图示，则.可设抛物线，把带入抛物线方程可得：，所以抛物线为：，焦点,所以,即抛物线的焦点F到底面圆心O的距离为.作出直截面如图所示，则球M的半径即为圆M的半径，球N的半径即为圆N的半径.因为球M为截面的上方的最大的球，所以圆M与PA相切，切点为Q,则.又，所以.同理：.所以Q、M、R三点共线，为直径.由四边形PQRE为矩形，可得：,所以球M的半径.在等腰三角形OBE中，,.圆N为三角形OBE的内切圆.设圆N的半径为，由等面积法可得：，即，解得：.所以球M与球N的半径的比值为.故答案为：；.【点睛】外接球问题解题关键是找球心和半径
39、，求半径的方法有：公式法；多面体几何性质法；补形法；寻求轴截面圆半径法；确定球心位置法25(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面平行的性质，先证明平面POH即可；（2）以O为原点，OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，设MN与平面PAB所成的角为，再根据线面角的向量方法求得，根据二次函数的最值求解即可（1）因为四边形OBCH为正方形，平面POH，平面POH，平面POH.平面PBC，平面平面，.（2）圆锥的母线长为，以O为原点，OP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，为平面PAB的一个法向量，设MN与平面PAB所成的角为，则，令，则所以当时，即时，最大，亦最大，
40、此时，所以.26(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，由几何关系证明，再结合题意，证明平面即可证得答案；（2）结合（1），以为坐标原点，分别以的方向为轴的方向，建立空间直角坐标系，进而根据得，再设，根据坐标法求二面角的余弦值的大小，并结合二次函数的最值求解即可.（1）证明：连接，因为所以，在中，由余弦定理得，即，所以，即，因为底面，所以，因为，所以平面，所以.（2）解：结合（1）可知，两两垂直，故以为坐标原点，分别以的方向为轴的方向，建立空间直角坐标系，如图，则，所以，即，因为点为线段上一点（异于D，）,所以，设，所以，设是平面的一个法向量，则，即，即故令，则，即由于两两垂直，且，所以平面
41、，故平面的一个法向量可以为，设平面与平面夹角为，则所以，当时，即时，取得最大值，所以，.27(1)证明见解析(2)2【分析】（1）根据三角形全等得到，取AD中点为O，E为BC中点，连接PO，OE，计算可得，根据直二面角的定义可得平面PAD平面ABCD；（2）以O为坐标原点，OA，OE，OP所在直线分别为x轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐标系设，则，根据空间向量求出DF与平面PBC所成角的正弦值，利用二次函数知识求出，再根据二面角的平面角的定义可求出结果.(1)证明：由，得，所以，取AD中点为O，E为BC中点，连接PO，OE，则，即为二面角的平面角，由，因为的面积是的面积的倍，所以，所以，所以，因
42、此，平面PAD平面ABCD(2)以O为坐标原点，OA，OE，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则，设，则，则，设平面PBC的法向量为，则，取，则，则，设DF与平面PBC所成角为，则，当时，取得最大值此时， 由AD平面POE，所以为平面FAD与平面ABCD所成角的平面角，28(1)证明见解析；(2)存在；.【分析】（1）证明面面垂直即证面线面垂直，证明线面垂直即证、线线垂直；（2）首先利用二面角的大小为，求出、的长，然后建立空间直角坐标系，求平面的法向量，然后再求其线面角.(1)时，点E、F为及的中点连接与交于点G，在和中， 所以 ，于是而所以故，即又面，面，所以因
43、为，面，面，所以面又因为面，所以面面(2)连接AC，交EF于点Q，连接PQ，记BD与AC交于点O，如图：因为，所以，因为，所以从而，所以为二面角的一个平面角由题意，从而，所以于是，所以，如图，以AB方向为x轴，AD方向为y轴，AP方向为z轴建立空间直角坐标系，于是，设面PEF的一个法向量是由 ，得：取，则，则所以直线与面所成角为，则29(1)证明见解析；(2)【分析】(1)取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形得即可；(2)以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，设，求出各点坐标，利用向量法即可求平面OEF与平面夹角的余弦值(1)取的中点，连接、，为的中点，为的中点，又，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面(2)设，由题意知、两两垂直，故以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系则、，的中点的坐标为，设平面的一个法向量为，则，即，即，令，
