1、专题专题 1111：排列组合二项式排列组合二项式 一、单选题一、单选题 1 （2022 山东 烟台市教育科学研究院二模）在622xxy的展开式中，含52x y项的系数为（ ） A480 B480 C240 D240 2（2022 山东 德州市教育科学研究院二模） 已知0a ， 二项式62axx的展开式中所有项的系数和为 64，则展开式中的常数项为（ ） A36 B30 C15 D10 3 （2022 山东临沂 二模）已知5221axxx的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中x的系数为（ ） A120 B40 C40 D120 4 （2022 山东济南 二模）412xxx的展开式中，常数项为（
2、 ） A2 B6 C8 D12 5 （2022 山东泰安 二模）已知4(1)axxx的展开式中含2x项的系数为 4，则实数a（ ） A2 B4 C2 D4 6 （2022 山东潍坊 二模）某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有6个班，现将8个参赛名额分配给这6个班，每班至少1个参赛名额，则不同的分配方法共有（ ） A15种 B21种 C30种 D35种 二、多选题二、多选题 7 （2022 山东日照 二模）传说古希腊科学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径与圆柱的高相等.因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他在几何上最为得意的发现， 于是留下遗言：他
3、去世后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为 m，圆柱的表面积与球的表面积之比为 n，若 831mf xxnx，则（ ） A32n B f x的展开式中的4x的系数为 56 C f x的展开式中的各项系数之和为 0 D i16f，其中 i为虚数单位 三、填空题三、填空题 8 （2022 山东济宁 二模）从甲乙丙 3 名同学中选出 2 人担任正副班长两个职位，共有 n种方法，则12nxx的展开式中的常数项为_.（用数字作答） 参考答案参考答案 1A 【分析】将622xxy看成是 6 个22xxy相乘，要得到52x y分析每个因式中所取的项情况. 【详解】622xx
4、y看成是 6 个22xxy相乘，要得到52x y.分以下情况: 6 个因式中， 2 个因式取y， 1 个因式取2x， 3 个因式取2x， 此时52x y的系数3213643C C C2480 ， 所以52x y的系数为480. 故选：A 2C 【分析】 令1x ， 则可得所有项的系数和为6164a， 再根据二项展开式的通项1C,0,1,.,kn kkknTabkn，代入整理求解 【详解】令1x ，则可得所有项的系数和为6164a且0a ，解得1a 621xx的展开式中的通项66 316621CC,0,1,.,6kkkkkkTxxkx 当2k 时，展开式中的常数项为2615C 故选：C 3A 【
5、分析】在二项式5221axxx中，令1x ，结合题意可求得a的值，然后写出5221axxx的展开式通项，令x的指数为1，求出参数后，代入通项即可得解. 【详解】在二项式5221axxx中，令1x ，可得 5113a ，解得2a， 52xx的展开式通项为55 21552CC2kkkkkkkTxxx ， 因为55522222212xxxxxxxx， 在225 27 21552C22C2rrrrrrrx Txxx ，令7 21r，可得3r ， 在5 215C2kkkkTx 中，令5 21k，可得2k ， 因此，展开式中x的系数为3232552C2C2120 . 故选：A. 4D 【分析】先将412x
6、xx展开，再求，41xx展开式的通项，即可求出答案. 【详解】4442=11+12xxxxxxxx，41xx展开式的通项为： 44 21441CCrrrrrrTxxx，当4 20r即2r 时， 242 C =12，所以412xxx的展开式中，常数项为12. 故选：D. 5A 【分析】首先化简444(1)(1)(1)xaaxxxxxx ，然后分析展开式中含有2x项的系数是由两种情况构成，依次算出系数最后列出方程求出a的值. 【详解】因为444(1)(1)(1)xaaxxxxxx，所以其展开式中含有2x项的系数有两部分：一部分是4(1) x展开式中x的系数114( 1)4C ，另一部分是4(1)
7、x中3x的系数与a的乘积即334()( 1)4a Ca，所以444a解得2a. 故选：A 【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数，且 nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项 (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解 6B 【分析】采用隔板法直接求解即可. 【详解】 将8个参赛名额分配给这6个班， 名额之间并无区别， 将8个参赛名额采用“隔板法”分成6份
8、即可，每份至少一个名额， 共有5721C 种. 故选：B. 7AC 【分析】根据圆柱和球的表面积公式和体积公式，求得,m n的值，得到1mn，得出831( )f xxx，再结合复数的运算和二项式定理的通项及性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于 A，设内切球的半径为 r，则圆柱的高为2r， 2323423rrmr，22222342rrrnr，A 正确； 从而可知1mn， 831fxxx； 对于 B， f x展开式通项公式为：24 324 418811rrrrrrrTC xC xx ， 令2444r，解得=5r， f x的展开式中的4x的系数为558156C ，B 错误； 对于 C， 10f，即 f x展开式的各项系数之和为 0，C 正确； 对于 D， 88310f iiiii ，D 错误. 故选：AC. 8160 【分析】先由题意求出2232C A6n ，然后求出二项式展开式的通项公式，令x的次数为零，求出r的值，从而可求出展开式中的常数项 【详解】因为从甲乙丙 3 名同学中选出 2 人担任正副班长两个职位，共有 n种方法， 所以2232C A6n ， 所以二项式612xx展开式的通项公式为 666 21661C (2 )C( 1)2rrrrrrrrTxxx ， 令6 20r，得3r ， 所以二项式展开式的常数项为3336C( 1)2160 ， 故答案为：160
