1、专题07：三角函数与解三角形一、单选题1（2022山东潍坊二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点，在角的终边上，且，则（）A2BCD2（2022山东青岛二模）下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（）ABCD3（2022山东菏泽二模）函数在上的图象大致为（）ABCD4（2022山东菏泽二模）直线与函数的图象在y轴右侧交点的横坐标从左到右依次为，则下列结论正确的是（）AB在上是减函数C为等差数列D5（2022山东德州市教育科学研究院二模）要得到函数ysin（2x）的图象，只需将函数ycos2x的图象（）A向左平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向右平移个单位6（2
2、022山东临沂二模）我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则ABC的面积根据此公式，若，且，则ABC的面积为（）ABCD7（2022山东日照二模）曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（）ABCD8（2022山东日照二模）设，则()ABCD9（2022山东滨州二模）函数的部分图像如图所示，现将函数的图像向左平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则的表达式可以为（）ABCD10（2022山东济南二模）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.
3、哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若，则的长度为（）ABCD11（2022山东泰安二模）已知函数的图象，如图所示，则（）A函数的最小正周期是B函数在上单调递减C曲线关于直线对称D函数在上的最小值是112（2022山东济宁二模）已知为锐角，且，则的值为（）A40B50C70D80二、多选题13（2022山东聊城二模）水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓
4、旋转，将水斗内的水逐级提升某水车轮的半径为5米，圆心距水面的高度为4米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动2圈，当其中的一个水斗到达最高点时开始计时，设水车转动（分钟）时水斗距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为（米），下列选项正确的是（）A（）B（）C是函数的周期D在旋转一周的过程中，水斗距离水面高度不低于6.5米的时间为10秒14（2022山东潍坊二模）已知函数的图象为C，则（）A图象C关于直线对称B图象C关于点中心对称C将的图象向左平移个单位长度可以得到图象CD若把图象C向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数是奇函数15（2022山东烟台市教育科学研究院二模）已知函数的部分
5、图像如图所示，则（）ABC点是图象的一个对称中心D函数在上的最小值为16（2022山东德州市教育科学研究院二模）已知O为坐标原点， ，则下列结论正确的是（）A为等边三角形B最小值为C满足的点P有两个D存在一点P使得17（2022山东日照二模）关于函数，下列说法正确的是（）A若，则B的图像关于点对称C在上单调递增D的图像向右平移个单位长度后所得图像关于y轴对称18（2022山东滨州二模）设函数，则下列结论中正确的是（）A的最小正周期为B在单调递减C的图象关于直线对称D的值城为19（2022山东济宁二模）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是
6、（）ABC函数为偶函数D函数在区间上单调递增三、填空题20（2022山东烟台市教育科学研究院二模）已知为锐角，且，则的值为_21（2022山东德州市教育科学研究院二模）已知角的终边过点，且，则tan=_22（2022山东滨州二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，成等差数列，则的面积的最大值为_23（2022山东青岛二模）如图所示，A，B，C为三个村庄，则_；若村庄D在线段BC中点处，要在线段AC.上选取一点E建一个加油站，使得该加油站到村庄A，B，C，D的距离之和最小，则该最小值为_.四、解答题24（2022山东聊城二模）如图，在平面四边形ABCD中，AB2，AC2，DAC
7、CAB90，设CAD.（1）若60，求BD的长度；（2）若ADB30，求tan的值25（2022山东潍坊二模）如图，四边形的内角，且(1)求；(2)若点是线段上的一点，求的值26（2022山东青岛二模）从； 条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答：在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，.(1)求角A；(2)若外接圆的圆心为O，求BC的长.注：如果选择多个条件分别解答；按第一个解答计分.27（2022山东烟台市教育科学研究院二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求A；(2)若，角A的平分线交于M，求的长28（2022山东菏泽二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c
8、，且，(1)若，求A；(2)若的面积，求c29（2022山东德州市教育科学研究院二模）在；，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答问题：已知中，D为AB边上的一点，且BD=2AD，_(1)若，求BCD大小；(2)若CD=CB，求cosACB注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分30（2022山东临沂二模）已知函数，且在上的最大值为(1)求的解析式；(2)将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若，求的值31（2022山东日照二模）的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若的面积为，求.32（2022山东滨州二模）锐角的内角A，B，C的对边分别为
9、a，b，c，已知(1)求A；(2)若，D为AB的中点，求CD的取值范围33（2022山东济南二模）已知 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，的面积.(1)求边c；(2)若为锐角三角形，求a的取值范围.34（2022山东泰安二模）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A的角平分线交BC于点D(1)求B；(2)若，求b35（2022山东济宁二模）如图，在梯形ABCD中，.(1)求证：BC=2CD；(2)若AD=BC=2，ADC=120，求梯形ABCD的面积.参考答案1C【分析】根据题意，得到直线的斜率为，进而判断所在象限，即可求解.【详解】由已知得，因为点，在角的终边上，所以直线
10、的斜率为，所以，明显可见，在第二象限，.故选：C2B【分析】根据正弦型函数、余弦型函数的周期性及单调性可判断AB，由正切函数的周期判断C，由正切型函数的性质判断D.【详解】对于A，的周期为，时，当时，函数不单调，故错误；对于B，的周期为，时，当时，函数单调递增，故正确；对于C，的周期为，故错误；对于D，的周期为，时，当时，函数单调递增，故单调递减，故错误.故选：B3C【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值，即可排除选项.【详解】首先，所以函数是奇函数，故排除D，故排除B，当时，故排除A，只有C满足条件.故选：C4D【分析】代入验证A，B，求出，即可判断CD.【详解】A.，故A错误；B.时，所以在
11、上是增函数，故B错误；C.，得，或，解得：或，,y轴右侧交点的横坐标从左到右依次为，可以判断数列不是等差数列，故C错误；D. 由以上可知，奇数项以为首项，为公差的等差数列，偶数项以为首项，为公差的等差数列，所以，故D正确.故选：D5C【分析】先转化ysin（2x）=cos（2x）=cos2(x，再根据平移的规律求解.【详解】因为ysin（2x）=cos（2x）=cos2(x，所以只需将函数ycos2x的图象向右平移个单位得到.故选：C【点睛】本题主要考查了诱导公式及三角函数的图象变换，还考查了转化问题和理解辨析的能力，属于基础题.6A【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得，再根据余弦定理求，最
12、后代入面积公式求解.【详解】由正弦定理边角互化可知化简为， 即 ，,，解得：，根据面积公式可知.故选：A7B【分析】根据已知条件，求出切线斜率，再根据同角三角函数的基本关系可求出，从而根据二倍角公式求得结果.【详解】根据已知条件，因为曲线在处的切线的倾斜角为，所以，所以.因为，则解得，故.故选：B.8A【分析】根据1和正弦函数的性质可求a和的范围，再根据指数函数的性质可求的范围，根据对数函数的性质可求的范围，从而可比较大小【详解】1，故选：A9B【分析】先由图像中最大值及求出、，再结合及求得，即可求得，最后通过平移伸缩变换得到即可.【详解】由图像可知：；，又，所以；由，可得，解得，又，即，解得
13、，故，即，将函数的图像向左平移个单位长度得，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍得.故选：B.10A【分析】过作，设圆弧AC的圆心为O，半径为，则，表示出，由求出，再进一步求出，即可求出答案.【详解】过作，设圆弧AC的圆心为O，半径为，则，在中，所以，所以在直角三角形中，所以，所以，而，所以，所以.故选：A.11D【分析】根据图象求出 的解析式，然后逐项判断即可.【详解】由图可知， ， ， ， ， ， ，对于A， ，故错误；对于B，当 时， ，由函数 的性质可知当 时，单调递减，当 时单调递增，故B错误；对于C， ，将 带入上式得 ，故C错误；对于D，当 时， ，当 ，即 时， 取最小值-1
14、，故D正确；故选：D.12B【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果【详解】由可得，即，所以，又为锐角，故，故选：B.13AD【分析】如图，根据题意余弦函数的定义求出，进而求得解析式，结合三角函数的性质依次判断选项即可.【详解】由题意得，如图，轴，点经过分钟后到达点，则为点到水面的距离，且，因为每分钟转2圈，所以，得角速度，故，又，所以，所以，即.故A正确，B错误；又因为函数的周期，Z，由周期的定义结合函数的定义域可得C错误；令，得，解得或，Z，当时，或，即旋转一周的过程中(30s)，有25-5=20s，水斗A距离水面高度低于6.5米，所以有30-20=10s的时间不低于
15、6.5米，故D正确.故选：AD.14AC【分析】利用代入检验法可判断AB的正误，利用图象变换可判断CD的正误.【详解】当时，故图象C关于直线对称，故A正确.当时，故图象C不关于点中心对称，故B不正确.将的图象向左平移个单位长度可以得到图象对应的解析式为，故C正确.若把图象C向左平移个单位长度，得到函数的图象，故，而，故不是奇函数，故D错误.故选：AC.15AC【分析】由题知函数的周期为，进而判断A选项，再结合得判断B，进而得，再整体代换依次讨论CD选项即可得答案.【详解】解：由图像可知，函数的周期为，即，所以，故A选项正确；因为，即，所以，因为当时，此时，故舍去，所以，此时，满足题意，故B选项
16、错误；当时，由于是余弦函数的一个对称中心，故点是图像的一个对称中心，C选项正确；当时，由余弦函数在上单调递增，故函数在上单调递增，故D选项错误.故选：AC16AD【分析】A选项，利用向量模长的坐标表示求出三角形三边长判断结论；B选项，利用向量数量积的坐标表示，再利用三角函数求其最值；C选项，利用向量的数量积为求解方程；D选项，利用向量的坐标表示以及向量相等的等价形式求解.【详解】对于A， ， 为等边三角形，A正确；对于B， ， 又，又在上单调递增， ，B错误；对于C，即 ，只有一个点，C错误；对于D，假设存在点， ， 即 ，D正确；故选：AD.17BD【分析】对于A，根据三角函数的对称中心性质
17、即可判断；对于B，可根据对称中心对应的函数值特征即可判断；对于C，根据三角函数单调性判断即可；对于D，求出平移后的解析式并根据偶函数的性质进行判断即可.【详解】对于A，由知，是图象的两个对称中心，则是函数的最小正周期的整数倍，即，故A不正确；对于B，因为，所以是的对称中心，故B正确；对于C，由解得，当时，在上单调递增，则在上单调递增，在上单调递减，故C不正确；对于D，的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数，是偶函数，所以图象关于y轴对称，故D正确.故选：BD.18AD【分析】求出函数的周期性判断A；讨论在子区间上单调性判断B；举例说明判断C；分段讨论函数并求出值域判断D作答.【详解】依题
18、意，则的最小正周期为，A正确；当时，令，而函数在上单调递减，在上单调递减，因此，在上单调递增，B不正确；因，即图象上的点关于直线对称点不在的图象上，C不正确；当时，则，当时，因此，的值城为，D正确.故选：AD19ABD【分析】根据图象所提供的信息求出函数的解析式，再结合正弦函数的性质判断各选项对错.【详解】由图象可得函数的最大值为2，最小值为-2，所以，又，所以，故，所以，由图象函数经过点，所以，所以，所以，又，所以，A对，所以，故，所以，B对，因为函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，所以，所以，故函数不是偶函数，C错，由可得，所以函数的单调递增为，取可知函数在区间上单调递增，D对，
19、故选：ABD.20【分析】利用同角三角函数的基本关系结合诱导公式可求得结果.【详解】因为为锐角，且，则，因此，.故答案为：.21【分析】利用三角函数定义、诱导公式求解即可.【详解】角的终边过点， 即 点在第四象限， 解得：（舍去）或 .故答案为：.22【分析】由，成等差数列，结合正弦定理可得，进而可得，由余弦定理结合基本不等式可得，从而根据的面积公式即可求解.【详解】解：因为，成等差数列，所以，由正弦定理可得，又，所以，即，所以由余弦定理可得，即，又，即，当且仅当时等号成立，所以，即，因为，所以，所以，所以的面积的最大值为.故答案为：.23 60# #【分析】利用余弦定理以及点关于线的对称点进
20、行处理.【详解】在中，由余弦定理有： 又，所以.如图，作D关于AC的对称点F，则DE=FE，DC=FC=4，所以，当且仅当B，E，F三点共线时，BE+EF最小.所以，所以AE+CE+BE+DE=AC+BE+EF，当且仅当B，E，F三点共线时，等号成立. 故答案为：，.24（1）；（2）【详解】试题分析：（1）第（1）问，在ABD中，利用余弦定理直接求出BD.(2)第（2）问，在ABD中，写出正弦定理再化简即得解.试题解析：（1）由题意可知，AD1在ABD中，DAB150，AB2，AD1，由余弦定理可知，BD2(2)212221()19,BD（2）由题意可知，AD2cos，ABD60，在ABD中
21、，由正弦定理可知，.25(1)(2)【分析】（1）设，在、分别利用余弦定理可得出关于、的方程组，解出的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用正弦定理可求得，利用勾股定理求出，即可求得的长.(1)解：设，在中据余弦定理，得，即，又在中据余弦定理，得，即，因为，则，联立可得，因为，所以(2)解：在中，由正弦定理知，所以，且，故，在直角三角形中，由勾股定理知，此时26(1)(2)【分析】（1）选择条件可以用正弦定理进行角化边即可求解，选择条件利用辅助角公式进行三角恒等变换即可.（2）利用圆的角度关系和正弦定理即可求解.(1)解：选择条件：因为，由正弦定理，可得，即，所以.因为，所以.选择条件：
22、因为所以，即.因为所以所以，.(2)由题意，O是外接圆的圆心，所以，所以故此.在中，由正弦定理，即，解得.27(1)(2)【分析】（1）由正弦定理边化角得，进而结合恒等变换整理得，再根据得，进而得答案；（2）由余弦定理得，进而根据角平分线得性质得，即可得，进而在中，根据正弦定理求解即可得答案.(1)解：因为，所以，由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以，即，因为，所以，即，所以.(2)解：在中，由余弦定理得，即，所以，所以，记边上的高为，因为角的平分线交于，所以，所以，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，所以28(1)(2)或【分析】（1）根据求出，再根据正弦定理求出可得结果；（2）根据三
23、角形面积公式和余弦定理可求出结果.(1)因为，则，由正弦定理，得，即，即，因为，所以，因此；(2)由，得，当时，由余弦定理，得；当时，由余弦定理，得所以，或29(1)(2)【分析】（1）选均可结合正弦定理与两角和的正弦公式化简得到，进而得到ABC为等腰三角形，设腰长AC=BC=x，结合余弦定理证明即可（2）取BD的中点E，连接CE，根据直角三角形中的各边关系可得的各边比例，再根据余弦定理求解即可(1)若选：由正弦定理，因为，故，所以，即又因为，所以，即若选：因为，所以，显然，故又因为所以若选：由正弦定理，即，又，所以，即.又因为，所以（均可得）若，ABC为等腰三角形，且设腰长AC=BC=x，则
24、所以由余弦定理所以所以所以(2)取BD的中点E，连接CE，由CB=CD得CEAB设AC=2t，在RtACE中，由余弦定理得30(1)；(2)【分析】（1）由求得，再结合在上的最大值为且，知，求出即可；（2）先求出，由求得，结合诱导公式及倍角公式即可求得.(1)因为，所以周期，又在上的最大值为，且，所以当时，取得最大值，所以，且，即，故，解得，故；(2)，又，则，.31(1)(2)【分析】（1）由已知及正弦定理化简，即可求出.（2）由面积公式求出，根据余弦定理代入即可求出.(1)由已知及正弦定理得即由，可得，因为，所以.(2)根据余弦定理可得由已知，可得，因为，所以.32(1)(2)【分析】（1
25、）根据已知条件，由正弦定理可得，进而可得，又为锐角三角形，从而即可求解；（2）在中，由余弦定理可得，又为锐角三角形，进而有，又，可得，从而由二次函数的性质即可求解.(1)解：因为，由正弦定理可得，所以，所以，因为，即，所以，因为，所以，又因为为锐角三角形，所以；(2)解：由（1）知，又，在中，由余弦定理可得，因为为锐角三角形，所以，由余弦定理可得，又，所以 ，解得，所以由二次函数性质可得CD的取值范围是.33(1)1(2)【分析】（1）根据，结合三角形内角和定理求得，由三角形面积公式结合，求得答案；（2）由正弦定理表示，由三角形为锐角三角形确定，即可求得答案.（1）因为，所以；因为，所以 .（
26、2）在 中，由正弦定理，由（1）知，代入上式得：，因为为锐角三角形，则,所以，所以，所以.34(1)(2)【分析】（1）由降幂公式得，再由正弦定理及辅助角公式得，即可求解；（2）先由正弦定理求得，进而得到，再求即可.(1)因为，所以，由正弦定理得整理得，所以因为，所以，所以，所以；(2)在ABD中，所以，所以，所以，所以，所以ABC是等腰三角形，且ac，所以35(1)证明见解析(2)【分析】（1）在ACD和ABC中，分别利用正弦定理可得，再由，可得ACD=CAB，所以得，再结合已知条件可得，从而可证得结论，（2）在ACD中，由余弦定理可求得， 在ABC中，再利用余弦定理可求出，从而可求出梯形的面积（1）在ACD中，由正弦定理得，即，因为，所以ACD=CAB，所以在ABC中，由正弦定理得，即，所以.又，所以，即BC=2CD.（2）由（1）知.在ACD中，由余弦定理得，解得.所以.在ABC中，解得或3.又因为ABCD为梯形，所以.又梯形ABCD的高为，所以梯形ABCD的面积为.
