1、河南省南阳市六校2022-2023学年高二上期中考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分1. 已知点，则线段的垂直平分线所在的直线方程为（ ）A. B. C. D. 2. 若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为（ ）A. B. C. D. 3. 已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为，则抛物线的方程为（ ）A. B. C. D. 4. 直线和的图形可能为（ ）A. B. C. D. 5. 已知双曲线的右焦点为，过和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 6. 直线与圆的位置关系为（ ）A. 相交B. 相离C. 相切或相交D. 相切或相离
2、7. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，离心率为2，是双曲线上一点，轴，则的值为（ ）A B. C. D. 8. 已知直线l：与椭圆C：交于A，B两点，P为C的右顶点，则ABP的面积为（ ）A. B. C. D. 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线上存在点，使得，则此双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D. 10. 已知A，B分别是椭圆与圆上的动点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 11. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，焦距为，P为直线上一点，若PAB为直角三角形，且其中较小的锐角的正切值为，则C的离心率为（ ）A. B. C. D. 12. 已知圆C：，直线l
3、：，过直线l上一点A作圆C的两条切线，切点分别为P，Q当四边形OPAQ（O为坐标原点）的面积最小时，（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知直线与直线相互垂直，且两条直线都不与坐标轴垂直，则实数a的值为_14. 如图所示，高脚杯轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2cm时，水面宽度为6cm，当水面再上升1cm时，水面宽度为_cm15. 已知圆C的圆心在直线上，点（3，0）与（1，2）都在圆C上，则圆C的面积为_16. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，以F为圆心作圆与C交于A，B两点，与l交于D、E两点，若，则F到l的距离为_三、解答
4、题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知四边形ABCD为平行四边形，A（2，1），B（4，0），D（2，11）.（1）求点C的坐标；（2）若点P满足，求直线PC的方程.18. 已知圆（1）若直线l与C交于A，B两点，线段AB的中点为（2，2），求|AB|；（2）已知点P坐标为（3，1），求过点P的圆C的切线l的方程.19. 已知点到点的距离与点到点的距离之比为（1）求点的轨迹的方程；（2）过的中点且倾斜角为的直线与（1）中的曲线交于两点，求的面积20. 已知椭圆C：离心率，上顶点为A，右顶点为B，AOB（O为坐标原点）的面积为（1）求C的方程；（2）过C的右焦点的直线l与
5、C交于P，Q两点，若求l的方程21. 已知抛物线C：与直线相切（1）求C的方程；（2）过C焦点F的直线l与C交于A，B两点，AB的中垂线与C的准线交于点P，若，求l的方程22. 已知直线l过点P（1，0），与椭圆C：交于A，B两点，且直线l不与椭圆C的对称轴垂直（1）若直线l的斜率为1，M（，）为线段AB的中点，求的值；（2）若，点Q（16，0），当l变化时，直线AQ，BQ的斜率总是互为相反数，求C的方程河南省南阳市六校2022-2023学年高二上期中考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分1. 已知点，则线段的垂直平分线所在的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案
6、】B【解析】【分析】先求出线段的中点坐标及直线的斜率，再通过垂直求出其垂直平分线的斜率，最后利用点斜式即可求出方程.【详解】线段的中点为，则线段垂直平分线的斜率为，则线段垂直平分线方程为，即.故选：B.2. 若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为（ ）A. B. C D. 【答案】C【解析】【分析】二次曲线表示椭圆的条件为.【详解】变形，要表示椭圆需要满足 ，解得.故选：C.3. 已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为，则抛物线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，由焦点坐标求，并确定焦点所在位置，进而求抛物线方程.【详解】抛物线的焦点坐标为，则，且焦点在轴正半轴
7、上，故抛物线的方程为.故选：D.4. 直线和的图形可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分，和三种情况进行讨论，结合四个选项即可【详解】当时，经过第一，二，三象限，经过第一，二，三象限，且两条直线平行，四个选项均不满足；当时，经过第二，三，四象限，经过第一，二，四象限，且两条直线平行，C选项满足；当时，直线，直线，两条直线在轴重合，四个选项均不满足，故选：C5. 已知双曲线的右焦点为，过和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由双曲线可得其渐近线为，再求得直线的斜率，由平行得到斜率相等即可求得，再由
8、焦点坐标得，从而求得，则该双曲线的方程可求.【详解】因为双曲线，所以它的渐近线为，又因为，所以直线的斜率为，因为直线与双曲线的一条渐近线平行，所以，故，又因为双曲线的右焦点为，所以，故，所以该双曲线的方程为.故选：B.6. 直线与圆的位置关系为（ ）A. 相交B. 相离C. 相切或相交D. 相切或相离【答案】A【解析】【分析】先求圆心到直线的距离，分类讨论求的取值范围，并结合与的大小关系判断直线与圆的位置关系.【详解】圆的圆心，半径，则圆心到直线的距离，当时，则；当时，则，则，；则圆心到直线的距离，即，直线与圆相交.故选：A.7. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，离心率为2，是双曲线上一点，
9、轴，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由离心率可得，再根据可得，即可整理双曲线方程为，代入可求的坐标，即可求得答案【详解】由题意可得即，由可得即，所以双曲线方程为，当时，解得，所以，因为，所以，故选：A8. 已知直线l：与椭圆C：交于A，B两点，P为C的右顶点，则ABP的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求得，然后求得到直线的距离，从而可求得三角形的面积.【详解】由消去并化简得，设，则，所以，右顶点，到直线的距离为，所以.故选：C9. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线上存在点，使得，则此双曲线的离心率的取值范围是A. B. C.
10、 D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：故选C.考点：双曲线离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10. 已知A，B分别是椭圆与圆上的动点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】圆外一点到圆上的点的最小距离，等于该点到圆心的距离减去半径.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，则的最小值为的最小值减去圆的半径，设，则有，由椭圆方程可知，当时，有最小值，所以的最小值为.故
11、选：B11. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，焦距为，P为直线上一点，若PAB为直角三角形，且其中较小的锐角的正切值为，则C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意分析可得，结合，整理可求离心率.【详解】设椭圆的右焦点为，则有，由题意可得：，则，即，则，即，解得.故选：D12. 已知圆C：，直线l：，过直线l上一点A作圆C的两条切线，切点分别为P，Q当四边形OPAQ（O为坐标原点）的面积最小时，（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，故，由于，故当四边形OPAQ（O为坐标原点）的面积最小时，即最小，分析即得解.【详解】由题意，且故，即
12、，故当四边形OPAQ（O为坐标原点）的面积最小时，即最小，此时，故.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知直线与直线相互垂直，且两条直线都不与坐标轴垂直，则实数a的值为_【答案】2【解析】【分析】根据，代入运算求实数a的值，并代入检验两条直线都不与坐标轴垂直，进而确定实数a的值.【详解】直线与直线相互垂直，则，解得：或.当时，则两直线为、，与题意不符，舍去；当时，则两直线为、，符合题意，成立；实数a的值为2.故答案为：2.14. 如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2cm时，水面宽度为6cm，当水面再上升1cm时，水面宽度为_cm【答案】
13、【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线方程，由题意求出抛物线方程，即可求解【详解】如图建立平面直角坐标系，让抛物线的顶点与坐标原点重合，则由题意可设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线线上，则，所以，所以抛物线的方程为，当水面再上升1cm时，此时有，解得，所以此时的水面宽度为（）故答案为：15. 已知圆C的圆心在直线上，点（3，0）与（1，2）都在圆C上，则圆C的面积为_【答案】【解析】【分析】首先设圆的标准方程，根据条件列式求圆心和半径，即可求解.【详解】设圆的方程为，所以，解得：， ，所以圆的面积.故答案为：16. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，以F为圆心作圆与C交于A，B两
14、点，与l交于D、E两点，若，则F到l的距离为_【答案】2【解析】【分析】根据题意分析求出点A的坐标，代入抛物线的方程求，即可得出F到l的距离.【详解】设与x轴的交点分别为，则，即点，解得或（舍去），故F到l的距离为2.故答案为：2.三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知四边形ABCD为平行四边形，A（2，1），B（4，0），D（2，11）.（1）求点C的坐标；（2）若点P满足，求直线PC的方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意利用向量相等求点C的坐标；（2）根据求直线PC的斜率，再由点斜式方程求直线PC的方程.【小问1详解】设点C的坐标为，则
15、，ABCD为平行四边形，则，解得，故点C坐标为.【小问2详解】由题意可得，则,即，直线PC的方程为，即.18. 已知圆（1）若直线l与C交于A，B两点，线段AB的中点为（2，2），求|AB|；（2）已知点P的坐标为（3，1），求过点P的圆C的切线l的方程.【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）根据运算求解；（2）根据直线与圆相切可得，结合点到直线的距离公式运算求解，注意讨论直线l的斜率是否存在.【小问1详解】的圆心，半径设线段AB的中点为M，则.【小问2详解】当l的斜率不存在时，则，圆心C到直线l的距离为，即l与圆C相切，符合题意；当l的斜率存在时，设为，则直线，即由题意可得：，解得，
16、直线；综上所述：l的方程为或.19. 已知点到点的距离与点到点的距离之比为（1）求点的轨迹的方程；（2）过的中点且倾斜角为的直线与（1）中的曲线交于两点，求的面积【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由题意得到，利用两点距离公式即可得到M点的轨迹C的方程；（2）先由题设条件及点斜式可得直线的方程，再由弦长公式求得，由点线距离公式求得到直线的距离，从而由三角形面积公式即可求得的面积【小问1详解】依题意，得，不妨设，因为，所以，即，整理得，配方得，所以点的轨迹的方程为.【小问2详解】因为，所以的中点坐标为，又因为直线的斜率为，所以直线的方程为，即，因为曲线方程为，故曲线是圆心为，半径为的
17、圆，所以圆心到直线的距离为，故，又因为点到直线的距离为，即边上的高为，所以.20. 已知椭圆C：的离心率，上顶点为A，右顶点为B，AOB（O为坐标原点）的面积为（1）求C的方程；（2）过C的右焦点的直线l与C交于P，Q两点，若求l的方程【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据离心率以及三角形的面积求得，从而求得椭圆的方程.（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合来求得的方程.【小问1详解】依题意，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】右焦点为，当直线的斜率不存在时，由，得，不符合题意.所以直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去并化简得：，由于直线过焦点，所以直线与椭圆有两个交点，
18、设，则，所以，所以直线的方程为.21. 已知抛物线C：与直线相切（1）求C的方程；（2）过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，AB的中垂线与C的准线交于点P，若，求l的方程【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）联立方程利用运算求解；（2）分析可得，设l的方程为，联立方程结合韦达定理运算求解.【小问1详解】联立方程，消去x得，抛物线C与直线相切，则，解得或（舍去）故抛物线的方程C：.【小问2详解】设l的方程为，则线段AB的中点，过作抛物线的准线的垂线，垂足为N，则，即，则，即，联立方程，消去x得，则，AB的中垂线的方程为，则，即，解得，故l的方程为或.22. 已知直线l过点P（1，0）
19、，与椭圆C：交于A，B两点，且直线l不与椭圆C的对称轴垂直（1）若直线l的斜率为1，M（，）为线段AB的中点，求的值；（2）若，点Q（16，0），当l变化时，直线AQ，BQ的斜率总是互为相反数，求C的方程【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）假设A，B两点坐标代入椭圆方程，构造出可利用中点坐标公式，构造出可利用斜率公式，即可求出答案.（2）设直线l的方程，根据题意写出AQ，BQ的斜率，列出式子写出关系式；，再联立方程写出韦达定理化简关系式即可求出C的方程.【小问1详解】设，代入椭圆方程得：-得：因为直线l的斜率为1，所以；因为M（，）是线段AB的中点，所以，故【小问2详解】设直线l的方程为，联立方程化简得方程：将代入方程得: 因为直线l与椭圆存在两个交点，故，根据韦达定理:，设，则，根据题意可知因为，所以化简原式可得即，得，则故椭圆方程为：
