1、河南省南阳市六校2022-2023学年高一上期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合，则的子集的个数为（ ）A. 3B. 4C. 7D. 82. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，3. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 4. 已知函数若，则实数（ ）A. B. 2C. 4D. 65. 已知，则A. B. C D. 6. 已知函数为偶函数，则（ ）A B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且满足：，则（ ）A. B. C. 为偶函数D. 为奇函数8. 已知，定义在上的函数满足，且当时，.若在区间
2、上单调递增，则的最小值为（ ）A. B. C. 4D. 8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 如图，函数的图像与轴交于，两点，且对称轴为直线，点的坐标为，则（ ）A. B. C. D. 10. 不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 11. 已知实数，满足，则（ ）A B. C. 若，则D. 若，则12. 已知函数，设， ，则（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 若，则_.14. 已知
3、集合，若，则_.15. 若正实数，满足，则的最小值为_.16. 已知函数，若对于任意的，总存在，使得或，则实数的取值范围是_.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 计算下列各式的值：（1）；（2）.18. 已知集合，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.19. 已知函数.（1）若的图象与轴交于两点，且，求实数的值；（2）若命题“，”为假命题，求实数取值范围.20. 已知函数.（1）若是幂函数，求实数，的值；（2）如果，且在区间上单调递减，求的最大值.21. 为了激励销售人员的积极性，某企业根据业务员的销售额发放奖金（奖金和销售额的单位都为十万元），奖金发放
4、方案要求同时具备下列两个条件：奖金随销售额的增加而增加；奖金金额不低于销售额的5%.经测算该企业决定采用函数模型作为奖金发放方案.（1）若，此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由.（2）若，要使奖金发放方案满足条件，求实数的取值范围.22. 已知函数为奇函数.（1）判断在上的单调性并用函数单调性的定义证明；（2）若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围.河南省南阳市六校2022-2023学年高一上期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合，则的子集的个数为（ ）A. 3B. 4C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】由题知，再根据公式求解即可.【详解
5、】解：因为集合，所以，所以，的子集的个数为个.故选：B2. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题形式，可得答案.【详解】命题“，”为特称命题，其否定为全称命题，即，故选：D3. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式可得且，结合其定义域为，即可确定的取值范围，即得答案.【详解】由可知且，又的定义域为，故，否则 ，则 ，不合题意，故选：A.4. 已知函数若，则实数（ ）A. B. 2C. 4D. 6【答案】B【解析】【分析】由题知，再根据时，得，再解方程
6、即可得答案.【详解】解：由题知，所以，因为时，所以，所以，解得.故选：B5. 已知，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】因为，且幂函数在 上单调递增，所以bac.故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.6. 已知函数为偶函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题知函数图像关于对称，再依次判断各选项即可得答案.【详解】解：因为函数为偶函数，所以，函数图像
7、关于对称，所以，故A选项正确，C选项错误；对于B选项，由得图像关于对称，由已知无法得出，故错误；对于D选项， 由得图像关于对称，由已知无法得出，故错误；故选：A7. 已知函数的定义域为，且满足：，则（ ）A. B. C. 为偶函数D. 为奇函数【答案】C【解析】【分析】利用赋值法令，求得，判断A; 令，可求得，继而求出，判断B; 令,可推得，判断C；举特例说明，可判断D.【详解】令，则，即有，则，A错误；令，则，令，则，即，则，B错误；令，则，即，故，为偶函数,C正确；令，则，即，由于，故不是奇函数，D错误，故选：C.8. 已知，定义在上的函数满足，且当时，.若在区间上单调递增，则的最小值为（
8、 ）A. B. C. 4D. 8【答案】B【解析】【分析】由题知函数在上单调递增，在上单调递减，进而结合题意得或，再根据集合关系求范围即可得答案.【详解】解：因为定义在上的函数满足，所以，函数周期函数，周期为，因为当时，.所以，函数在上单调递增，在上单调递减，因为在区间上单调递增，所以，即，所以，要使在区间上单调递增，则或，所以，或，解得或，所以，实数的最小值为.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 如图，函数的图像与轴交于，两点，且对称轴为直线，点的坐标为，则（ ）A
9、. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】结合二次函数的图像与性质依次分析各选项即可得答案.【详解】解：因为，函数的对称轴为直线，所以，故A选项错误；因为，函数的图像与轴交于，两点，点的坐标为，所以，故B选项正确；因为函数开口向下，在上单调递增，在上单调递减，且图像关于直线对称，所以，故C选项错误；对于D选项，由于有两个不相等实数根，故，D选项正确.故选：BD10. 不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）A B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】解指数不等式得解集为，再根据充分不必要条件求解即可.【详解】解：令，所以，不等式，解得或所以，或，解得或，所以，不等式的解集为，因为所
10、求的是不等式成立的一个充分不必要条件，故只需满足是真子集即可，所以，只有AB选项满足，CD选项不满足故选：AB11. 已知实数，满足，则（ ）A. B. C. 若，则D. 若，则【答案】AC【解析】【分析】由题意判断，结合条件可得，判断A;举反例可判断B,D;利用作差法可判断C.【详解】由于实数，满足，故，否则 ，则，则，不合题意；故由，可得，A正确；取 满足，但，故B错误；若，则，则，即，C正确；取，满足且，但，D错误；故选：AC12. 已知函数，设， ，则（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】ABD【解析】【分析】作出函数的图象，时，由于，可得到，化简可判断A，结合
11、基本不等式可判断B;数形结合，结合函数的单调性，可判断C,D.【详解】作出函数图象，如图示：当时，由于，可知， 则，则 ，即，A正确；由于，则，即 ，B正确；当时，单调递增，当时，有 ，即，不符合C,D选项；当时，由于，则，即，当时，递增，若，则即，当时，递减，若，则，即 ；若，则由 ，令，由于此时，则，由，可得，即 ，故C错误，D正确，故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若，则_.【答案】【解析】【分析】根据指数式化为对数式，结合对数的换底公式，即可求得答案.【详解】由可得，由可得 ，故，故答案为：.14. 已知集合，若，则_.【答案】【解析】【分析】首先利用
12、集合与元素的关系和集合元素的特征得到或，即可得到答案.【详解】解：因为，所以或或，解得或或，因为，所以或或，解得或或，又因为，所以或，即.故答案为：15. 若正实数，满足，则的最小值为_.【答案】5【解析】【分析】利用已知条件将变形为，利用基本不等式即可求得答案.【详解】由题意正实数，满足，可得，当且仅当时取得等号，即的最小值为5，故答案为：5.16. 已知函数，若对于任意的，总存在，使得或，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】记函数的值域为，的值域为，进而转化为求解即可，再分别研究函数，的值域即可得答案.【详解】解：记函数的值域为，的值域为，因为对于任意的，总存在，使得或，所以，因
13、为，所以，即函数的值域为，当时，时，当且仅当时等号成立，所以，根据对勾函数的性质可知，的值域为，因为，所以，有，解得，当时，的值域为，满足，故时成立，综上所述，实数的范围为.故答案为：四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 计算下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）9 （2）0【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则运算求解即可；（2）根据对数运算法则运算求解即可.【小问1详解】解：【小问2详解】解：18. 已知集合，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由题知，再求集合并集运算即可；（2）由题知，进而分，
14、三种情况讨论求解即可.【小问1详解】解：若，则，因为所以【小问2详解】解：因为，所以，若，则，不满足条件，若，则，因为，所以，所以；若，则， ，此时，综上，实数的取值范围是19. 已知函数.（1）若的图象与轴交于两点，且，求实数的值；（2）若命题“，”为假命题，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）设，由根与系数的关系可得的表达式，列出方程，即可求得答案；（2）根据特称命题的否定可知“，”为真命题，结合二次函数的性质可得相应不等式组，即可求得答案.【小问1详解】设，则 是方程的两根，由已知可得，可得或,由根与系数的关系可得，所以，解得，符合题意;【小问2详解】由题意
15、可知，命题：“，”为真命题，又因为的图象开口向上，所以 ，即 ，解得或，所以实数的取值范围是.20. 已知函数.（1）若是幂函数，求实数，的值；（2）如果，且在区间上单调递减，求的最大值.【答案】（1）答案见解析 （2）【解析】【分析】（1）由题知或，再分别讨论求解即可；（2）当时得，当时，结合二次函数性质得，再根据基本不等式求解即可得答案.【小问1详解】解：因为是幂函数，所以或若，则，；若，则，.【小问2详解】解：若，则，因为在区间上单调递减，所以，得，所以；若，则图像的开口向上，对称轴为 ，因为在区间上单调递减，所以，整理得 ，所以，所以，当且仅当，时取等号，综上，的最大值为.21. 为了
16、激励销售人员的积极性，某企业根据业务员的销售额发放奖金（奖金和销售额的单位都为十万元），奖金发放方案要求同时具备下列两个条件：奖金随销售额的增加而增加；奖金金额不低于销售额的5%.经测算该企业决定采用函数模型作为奖金发放方案.（1）若，此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由.（2）若，要使奖金发放方案满足条件，求实数的取值范围.【答案】（1）不满足，理由见解析 （2）【解析】【分析】（1）由题知，再依次分析两个条件即可；（2）由题知，再将问题转化为在时恒成立求解即可.【小问1详解】解：当，时，因为在上单调递增，且也在上单调递增，所以在上单调递增，满足条件；若奖金金额不低于销售额的5%，则，当时
17、，不等式左边右边，不等式不成立，不满足条件；故，时不满足条件.【小问2详解】解：当时，函数，因为，所以在上单调递增，奖金发放方案满足条件.由条件可知，即在时恒成立，所以，在时恒成立，当时，取得最小值，所以，所以要使奖金发放方案满足条件，的取值范围为.22. 已知函数为奇函数.（1）判断在上的单调性并用函数单调性的定义证明；（2）若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递减，证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据为奇函数，求出，然后利用单调性的定义法证明即可.（2）根据在上是减函数，得到在上有两解，取，化简得到在上有两解，最后利用数形结合即可求解.【小问1详解】的定义域为，因为为奇函数，所以，所以，在上单调递减证明如下：任取，且，则，则因为，故，所以，所以在上单调递减【小问2详解】由（1）知在上是减函数，所以在上的值域为，所以所以在上有两解所以在上有两解，令，则关于的方程在上有两解，即在上有两解，所以解得，所以实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：利用定义法进行证明函数单调性，一定要注意解题步骤：（1）设元；（2）作差；（3）化简；（4）判号；（5）结论，其中的判号这一步骤，尽可能化简成因式分解的形态进行判断.
