1、专题10：立体几何一、单选题1（2022广东湛江二模）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2（2022广东佛山二模）如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为（）A2B4C16D3（2022广东茂名二模）若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则圆锥的侧面积是（）ABCD4（2022广东肇庆二模）已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（）AB3CD5（2022广东珠海市第三中学二模）某圆锥母线长
2、为，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）ABCD6（2022广东惠州二模）已知为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A若，则B若且，则C，则D若且，则7（2022广东普宁市华侨中学二模）如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形且，则在下列说法中，错误的为（）AB截面PQMNCD异面直线PM与BD所成的角为458（2022广东韶关二模）对24小时内降水在平地上单位面积的积水厚度（mm）进行如下规定：积水厚度区间级别小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆台形容器（如图）接了24小时雨水，则这天的降雨属于哪个等级（）A小雨B中雨C大雨D暴雨9（2022
3、广东潮州二模）已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为，则该圆柱的体积为（）ABCD10（2022广东潮州二模）已知是边长为3的等边三角形，三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上，则三棱锥的体积的最大值为（）ABCD11（2022广东深圳二模）已知一个球的表面积在数值上是它的体积的倍，则这个球的半径是（）A2BC3D二、多选题12（2022广东广州二模）如图，圆柱的轴截面是正方形，E在底面圆周上， ，F是垂足，G在BD上， ，则下列结论中正确的是（）AB直线与直线所成角的余弦值为C直线与平面所成角的余弦值为D若平面平面，则13（2022广东湛江二模）在正方体中，点E为线段上的动点，则（）
4、A直线DE与直线AC所成角为定值B点E到直线AB的距离为定值C三棱锥的体积为定值D三棱锥外接球的体积为定值14（2022广东佛山二模）在棱长为3的正方体中，M是的中点，N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（）A存在点N，使得B三棱锥M的体积等于C有且仅有两个点N，使得MN平面D有且仅有三个点N，使得N到平面的距离为15（2022广东梅州二模）在长方体中，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（）A当为中点时，为锐角B存在点，使得平面C的最小值D顶点到平面的最大距离为16（2022广东茂名二模）如图，在四面体ABCD中，底面ABC，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则四面体ABC
5、D的体积不可能是（）A5B6C7D817（2022广东肇庆二模）在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，如图，四棱锥为一个阳马，其中平面，均为垂足，则（）A四棱锥的外接球直径为B三棱锥的外接球体积大于三棱锥的外接球体积C七点在同一个球面上D平面平面18（2022广东珠海市第三中学二模）在正三棱锥中，设，则下列结论中正确的有（）A当时，到底面的距离为B当正三棱锥的体积取最大值时，则有C当时，过点A作平面分别交线段，于点，不重合，则周长的最小值为D当变大时，正三棱锥的表面积一定变大19（2022广东茂名二模）某一时段内，从天空降落到地面上的液态或固态的水，未经蒸发，而在
6、水平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量24h降雨量的等级划分如下：等级24h降用量（mm）小雨（0，10）中雨10，25）大雨25，50）暴雨50，100）大暴雨100，250）特大暴雨250，+）在一次暴雨降雨过程中，小明用一个大容量烧杯（如图，瓶身直径大于瓶口直径，瓶身高度为50cm，瓶口高度为3cm）收集雨水，容器内雨水的高度可能是（）A20cmB22cmC25cmD29cm20（2022广东惠州二模）已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为，是的中点，则（）A正四棱台的体积为B平面平面C平面D正四棱台的外接球的表面积为21（2022广东普宁市华侨中学二模）下列说法正确的是（）A空间
7、中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B同一平面的两条垂线一定共面；C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.22（2022广东二模）在所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中点，则下列选项中直线AQ与直线MN垂直的是（）ABCD23（2022广东汕头二模）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则（）A直线平面B三棱锥的体积为定值C异面直线AP与所成角的取值范围是D直线与平面所成角的正弦值的最大值为24（2022广东深圳二模）如图，在正方体中，E为的中点，则下列条件中，能使直线平
8、面的有（）AF为的中点BF为的中点CF为的中点DF为的中点25（2022广东茂名二模）棱长为4的正方体中，E，F分别为棱，的中点，则下列说法中正确的有（）A三棱锥的体积为定值B当时，平面截正方体所得截面的周长为C直线FG与平面所成角的正切值的取值范围是D当时，三棱锥的外接球的表面积为三、填空题26（2022广东梅州二模）已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为的球面上，上、下底面正方形的外接圆半径分别为和，则此正四棱台的体积为_.27（2022广东茂名二模）正方体的棱长为2动点P在对角线上过点P作垂直于的平面记平面截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为yf（x），设BPx，下列说法中
9、，正确的编号为 _截面多边形可能为四边形；函数f（x）的图象关于x对称；当x时，三棱锥PABC的外接球的表面积为928（2022广东普宁市华侨中学二模）如图，直三棱柱，ABC为等腰直角三角形，ABBC.且AC=AA1=2，E，F分别是AC，A1C1的中点，D为AA1的中点，则四棱锥D-BB1FE的外接球表面积为_.29（2022广东二模）十字贯穿体（如图1）是美术素描学习中一种常见的教具如图2，该十字贯穿体由两个全等的正四棱柱组合而成，且两个四棱柱的侧棱互相垂直，若底面正方形边长为2，则这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体的内切球的体积为_30（2022广东茂名二模）正三棱锥S-ABC的底面边
10、长为4，侧棱长为，D为棱AC的中点，则异面直线SD与AB所成角的余弦值为_31（2022广东广州二模）在梯形中，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为_此时该三棱锥的外接球的表面积为_32（2022广东韶关二模）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则四面体ABCD的外接球的半径为_，四面体ABCD的内切球与外接球的球心距为_.33（2022广东深圳二模）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果裁得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何
11、体的体积相等”现已知直线与双曲线及其渐近线围成的平面图形G如图所示，若将图形G被直线所截得的两条线段绕y轴旋转一周，则形成的旋转面的面积_；若将图形G绕y轴旋转一周，则形成的旋转体的体积_四、解答题34（2022广东广州二模）如图，已知四边形是边长为2的菱形，平面平面(1)求证：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值35（2022广东湛江二模）在四棱台中，底面ABCD是正方形，且侧棱垂直于底面ABCD，O，E分别是AC与的中点.(1)证明：平面.(2)求与平面所成角的正弦值.36（2022广东佛山二模）如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，平面ABCD为等腰梯形，平面PAD平面PAB，.
12、(1)求证：PAD为直角三角形；(2)若，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值.37（2022广东梅州二模）如图，在直角梯形中，分别是，的中点，将四边形沿折起，如图，连结，.(1)求证：；(2)当翻折至时，设是的中点，是线段上的动点，求线段长的最小值.38（2022广东茂名二模）如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，底面ABCD，E为PA的中点(1)证明：平面平面BCE；(2)若二面角P-BC-E的余弦值为，求三棱锥P-BCE的体积39（2022广东肇庆二模）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，(1)证明：；(2)若为等边三角形，求二面角的余弦值40（2022广东珠海市第三中学二模）如图，在三棱
13、锥中，是等边三角形，(1)证明：；(2)若，且平面平面，求三棱锥体积41（2022广东茂名二模）如图，四棱锥PABCD的底面是等腰梯形，ADBC，BC=2AD， ，E是棱PB的中点，F是棱PC上的点，且A、D、E、F四点共面(1)求证：F为PC的中点；(2)若PAD为等边三角形，二面角 的大小为 ，求直线BD与平面ADFE所成角的正弦值42（2022广东惠州二模）如图，在直三棱柱中，直线与平面所成角为(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值.43（2022广东普宁市华侨中学二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上，点为中点.(1)证明：若，直线平面；(2)求二面角的
14、正弦值；(3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由.44（2022广东韶关二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，点S是边AB的中点AB=2，AD=4，(1)若O是侧棱PC的中点，求证：SO/平面PAD；(2)若二面角P-AD-B的大小为，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值45（2022广东二模）如图1，在ABC中，DE是ABC的中位线，沿DE将ADE进行翻折，使得ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F(1)证明：平面ABC(2)若，二面角D-AC-E为，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值46（2022广东潮州二模）如图，平面平面C
15、EFG，四边形CEFG中，点B在正方形ACDE的外部，且，(1)证明：；(2)求二面角的余弦值47（2022广东汕头二模）如图所示，C为半圆锥顶点，O为圆锥底面圆心，BD为底面直径，A为弧BD中点是边长为2的等边三角形，弦AD上点E使得二面角的大小为30，且(1)求t的值；(2)对于平面ACD内的动点P总有平面BEC，请指出P的轨迹，并说明该轨迹上任意点P都使得平面BEC的理由48（2022广东深圳二模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，M是侧棱的中点，且平面(1)求证：平面平面；(2)求与平面所成角的正弦值49（2022广东茂名二模）如图所示的圆柱中，AB是圆O的直径，为圆柱的
16、母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且，E，F分别为，的中点(1)证明：平面ABCD；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值参考答案1B【分析】根据充分必要条件的定义判断【详解】，只有一条垂直直线，不能得出，不充分，当时，由于，则有，是必要的，因此是必要不充分条件故选：B2B【分析】分析图中的几何关系，分别求出圆锥的底面半径和母线长即可.【详解】依题意，做球的剖面图如下：其中，O是球心，E是圆锥的顶点，EC是圆锥的母线，由题意可知球的半径计算公式： ，由于圆柱的高为2，OD=1，DE=3-1=2， ，母线 ，圆锥的侧面积为 ，故选：B.3D【分析】根据条件求得圆锥的底面半径和母线长，
17、即可求解圆锥的侧面积.【详解】设圆锥的轴截面的边长为，则，则，得圆锥底面半径，母线，则圆锥的侧面积.故选：D4C【分析】根据圆锥的侧面展开图和圆锥体积公式以及侧面积公式，即可求出结果.【详解】设底面半径为，高为，母线为，如图所示：则圆锥的体积，所以，即，则，又，所以，故故选：C5A【分析】求出圆锥的高，设过圆锥顶点的截面为，设，表示的面积，再运用基本不等式求最值即可【详解】设圆锥顶点为，底面直径为，圆心，另有一任意弦，为的中点，连接、，如图，设为过圆锥顶点的截面，因为底面，因为，为的中点，所以，由题意可知：，设，则，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的
18、最大值为故选：A6D【分析】根据空间直线与平面的位置关系判断【详解】对于A，或m与n异面，A错误；对于B，若或m，n异面，B错误；对于C，若或，C错误；对于D，D正确故选：D7C【分析】A由题设易得，根据平行线的性质可证；B由线面平行的判定可证截面PQMN；C：为特殊位置的点时成立；D将异面直线平移到截面上即可知夹角大小.【详解】A：由题设，易知，又，即有，正确；B：由，截面PQMN，截面PQMN，则截面PQMN，正确；C：仅当为中点时，故错误；D：由A知：异面直线PM与BD所成的角为，正确.故选：C8B【分析】由题意知降雨量是雨水的体积除以容器口面积，计算出圆台的体积可得答案.【详解】由题意
19、知降雨量是雨水的体积除以容器口面积，因为圆台形容器中水的高度为圆台形容器高度的一半，且下底面半径是40mm，上底面半径是80mm，可得圆台中雨水的上底面半径是mm，所以雨水的厚度为 mm，是中雨，故选：B9D【分析】设圆柱底面半径为R，高为h，由题意列方程组求出R、h，即可求出圆柱的体积.【详解】设圆柱底面半径为R，高为h，设，解得，圆柱的体积为故选：D10C【分析】求出球心到底面ABC的距离和球的半径，从而确定三棱锥的高的最大值为3，利用椎体体积公式求出体积的最大值.【详解】球O的半径为R，则，解得：，由已知可得：，其中球心O到平面ABC的距离为，故三棱锥的高的最大值为3，体积最大值为故选：
20、C11D【分析】根据球的表面积公式和体积公式，列出方程求解即可【详解】设球的半径为，则根据球的表面积公式和体积公式，可得，化简得.故选：D12AD【分析】选项A：由线面垂直的判定定理，以及线面垂直的性质定理得出；选项B：平移法找出异面直线所成角，构造三角形，求解三角形可得；选项C：找出线面垂直，作出线面角，再求解三角形可得；选项D：运用线面平行的判定定理，以及线面平行的性质定理可得.【详解】对于A：由圆柱的性质得：面，面，又是下底面圆的直径又，面，面面，又面 ，又又，面，面面，又面，A正确；对于B：过点作交于点，如图则就是直线与直线所成角（或补角）设，则在中， ，在等腰中，又在中，即：在中，
21、在中，B错误；对于C：取的中点，连接，如图所示则：，面，又面 又，面，面面就是直线与平面所成角又 ，C错误；对于D：在中，又面，面 面又平面平面，面 ，D正确.故选：AD.13AC【分析】A.易证平面判断；B.由点E与重合和与重合时判断；C.由三棱锥判断；D. 由 平面，得到三棱锥外接球的球心O在判断.【详解】如图所示：A.因为，又，所以平面，又平面平面，则直线DE与直线AC所成角为定值，故正确；B. 当点E与重合时，点E到直线AB的距离，当点E与重合时，点E到直线AB的距离，故错误；C.因为三棱锥，且点到面EBD的距离为定值， 为定值，故体积为定值，故正确；D. 易知 平面，所以三棱锥外接球
22、的球心O在上，当点E移动时，球心O的位置改变，则球的半径R改变，所以外接球体积不为定值，故错误；故选：AC14BC【分析】根据点的位置容易判断A，由求解可判断B；当分别为中点时，可判断C；易证平面，平面，且，可判断D【详解】对于A，显然无法找到点N，使得，故A错；对于B，故正确；对于C，如图所示分别为中点，有平面，平面，故正确；对于D，易证平面，平面，且，所以有点四点到平面的距离为，故D错故选：BC15ABD【分析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，当为中点时，根据判断得符号即可判断A；当平面，则，则有，求出，即可判断B；当时，取得最小值，结合B即可判断C；利用向量法求出点到平面的距离，
23、分析即可判断D.【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，则，则，故，则，对于A，当为中点时，则，则，所以，所以为锐角，故A正确；当平面，因为平面，所以，则，解得，故存在点，使得平面，故B正确；对于C，当时，取得最小值，由B得，此时，则，所以，即的最小值为，故C错误；对于D，设平面的法向量，则有，可取，则点到平面的距离为，当时，点到平面的距离为0，当时，当且仅当时，取等号，所以点到平面的最大距离为，故D正确.故选：ABD.16CD【分析】根据已知条件将三棱锥补为直三棱柱，找出球心，求出ABC的外接圆半径，从而求出棱长，分析ABC面积的变化，从而得到三棱锥体积的范围.【详解】如图：根据
24、已知条件可将三棱锥补为直三棱柱，则三棱锥的外接球即为该三棱柱的外接球.设直三棱柱的上下底面三角形的外接圆圆心分别为，外接球球心为O，则O为中点，根据已知条件可知ADAC.设外接球半径为R，设上下底面三角形外接圆半径为r.由，设，则，OBR，在ABC中，由正弦定理知：，在中由勾股定理得：，即，即，则，ACAD2.ABC及其外接圆的如图：I为AC中点，则CI，当B为延长线圆的交点时，易知tanIBC，则，则，和已知ABC的大小符合，ABC是优弧所对的角，当点B在优弧上移动时，ABC始终为60，ABC面积最大为：，三棱锥DABC的体积最大为：.故答案为：CD.【点睛】本题关键是利用正弦定理求出ABC
25、的外接圆半径，从而分析出ABC面积的变化范围.17AC【分析】证明，判断A选项；根据三点在以为直径的球面上判断B选项；根据， ，得七点均在以为直径的球面上；计算与比值得与相交判断D选项.【详解】解：对于A选项，因为平面，所以，又因为底面为长方形，所以，由于，所以平面，平面，所以，所以A选项正确；对于B选项，因为，所以三点在以为直径的球面上，所以三棱锥的外接球的体积与三棱锥的外接球体积相等，故B选项错误；对于C选项，由平面，所以，又因为，所以平面，所以，同理，又，故七点均在以为直径的球面上故C选项正确；对于D选项，由图得，同理，故，又，所以，所以与相交，故D选项错误故选：AC18AD【分析】利用
26、等体积法求正三棱锥的高判断A；分析可得当时三棱锥体积最大判断B；利用平面展开图分析C，写出表面积，利用三角函数的单调性判断D【详解】解：对于A，当时，设正三棱锥的高为，根据，得，A正确；对于B，结合A的分析，当正三棱锥的体积取最大值时，则有，B错；对于C，当时，过点A作平面分别交线段，于，不重合，则周长的最小值为展开图的直线距离，C错；对于，在中根据余弦定理得，所以，所以，因为，所以，故函数在上递增，即当变大时，正三棱锥的表面积一定变大，故D正确故选：AD19CD【分析】设降雨量为x，容器内雨水高度为h,根据雨水的体积相等关系可得到h,x之间的关系，结合题意可得，由此判断出答案.【详解】设降雨
27、量为x，容器内雨水高度为h,根据体积相等关系可得：，解得 ，由于 ，故，故故选：CD20BCD【分析】A.由题意，利用棱台体积公式求解； B.利用线面垂直和面面垂直的判定定理判断； C.取的中点，连接，且，连接，易知四边形是平行四边形，得到，再由，利用面面平行的判定定理判断； D. 由球心O在上，分外接球的球心O在正四棱台的内部和外部判断.【详解】如图所示：连接交于点，连接交于点，A.正四棱台的体积为，故错误；B.易知，又，则平面，又平面，所以平面平面，故正确；C.如图所示： 取的中点，连接，且，连接，易知，所以四边形是平行四边形，则，又平面，平面，则平面，又，平面，平面，则平面，又，所以平面
28、平面，则平面，故正确；D. 如图所示：若外接球的球心O在正四棱台的内部，则O在上，因为，上下底面边长分别为4，6，则，所以，即无解，则若外接球的球心O在正四棱台的外部，如图所示：所以，解得，所以外接球的表面积为，故正确； 故选：BCD21ABC【分析】对于A：由平行四边形的判定定理可以判断；对于B：由线面垂直的性质定理可以判断；对于C：由线面垂直的定义可以判断；对于D：举一个反例：把书本打开，使书脊与桌面垂直，即可否定结论.【详解】对于A：由平行四边形的判定定理可得：一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形.故A正确；对于B：由线面垂直的性质定理可得：垂直于同一平面的两直线平行，所以两直线
29、共面.故B正确；对于C：由线面垂直的定义可知，这些直线都在同一个平面内.故C正确；对于D：举一个反例：把书本打开，使书脊与桌面垂直，则很多不同的书页与桌面垂直，即有很多个平面与桌面垂直.故D错误.故选：ABC22AC【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，从而求得的坐标，计算，即可判断A,B,C,D的正误.【详解】所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中点,故可设棱长为2，在正三棱柱中建立如图所示的空间直角坐标系：对于A， ,故 ,则，故，即，故A正确；对于B， ,故 ,则，故不垂直，故B不正确；对于C， ,故 ,则，故，即，故C正确；对于D， ,故 ,则，
30、故不垂直，故D不正确；故选：AC23AB【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量夹角公式、三棱锥的体积性质逐一判断即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，设，设，即.A：，因为，所以，而平面，所以直线平面，因此本选项结论正确；B：侧面的对角线交点为，所以，而平面，平面，所以，而平面，所以平面，为定值，因此本选项结论正确；C：，设异面直线AP与所成角为，则有，当时，；当时，因为，所以，因此，即，所以，综上所述：，所以本选项结论不正确；D：设平面的法向量为，所以有，直线与平面所成角的正弦值为：因为，所以当时，有最小值，最小值为，所以直线与平面所成角
31、的正弦值的最大值为，因此本选项结论不正确，故选：AB【点睛】关键点睛：利用空间向量夹角公式是解题的关键.24ACD【分析】取棱的中点，说明与共面，证明平面平面，即可得【详解】如图，分别是棱的中点，易证与共面，由，平面，平面，则平面，同理平面，而是平面内相交直线，则得平面平面，平面，则平面，观察各选项，ACD满足，故选：ACD25ACD【分析】选项A. 平面,则G点到平面距离为定值，从而可判断；选项B. 延长交棱于点M，则是的中点，取的中点N，连接EN，MN，平面为平面截正方体所得的截面，从而可求出截面周长；选项C. 由平面，即则为直线FG与平面所成的角，从而可判断；选项D. ，连接，交EF于点
32、J，则J为EF的中点， 由球的性质可得球心O在过点J且与GH平行的直线上 ，求出其半径可判断；【详解】因为，所以点G为线段上一个动点，又平面，故G点到平面距离等于点到平面得距离，为定值4，又E，F分别为棱，的中点，则面积是定值，故三棱锥是定值，又，故A正确；延长交棱于点M，则，即是的中点，取的中点N，连接EN，MN，因为，所以，所以平面为平面截正方体所得的截面，因为，所以四边形的周长为，故B项错误；由上可知平面，当点G在上移动时，连接MG，则为直线FG与平面所成的角，因为MG的最小值为，最大值，由所以，故C正确；如图所示，连接，交EF于点J，则J为EF的中点，在上取点H，使，连接GH，则，所以
33、平面，则，设三棱锥的外接球的球心为O，则，由及，得点O在过点J且与GH平行的直线上，设，因为，所以，解得，所以，所以三棱锥的外接球表面积为，故D项正确故选: ACD26【分析】分析可知，正四棱台的外接球球心在等腰梯形所在平面内，作出梯形及其外接圆，求出梯形的高以及正四棱台的上、下底面面积，利用台体的体积公式可求得结果.【详解】在正四棱台中，由正四棱台的几何性质可知，该四棱台的外接球球心在等腰梯形所在平面内，由题设，设，设球心为，如下图所示：连接、，因为，则为等腰梯形的外接圆的一条直径，且点为的中点，由题意可得，所以，为等边三角形，所以，正四棱台的高为，正方形的边长为，其面积为，正方形的边长为，
34、其面积为，因此，正四棱台.故答案为：.27【分析】先找到两个与BD垂直的平面作为辅助平面，确定这两个平面之间的截面为六边形，从而判断错误；由正方体的对称性判断；找出该三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式计算即可判断.【详解】连接AB，AC，AD，DC，分别以DA，DD为x，y，建立如下图所示的空间直角坐标系：，所以DBAC，DBAB，又，所以DB面ABC，同理可证：DB面ACD，所以面ACD面ABC，如下图所示，夹在面ACD和面ABC之间并且与这两个平面平行的截面为六边形，故截面只能为三角形和六边形，故错误；由正方体的对称性，当在中点处时，可得函数的图像关于对称，故正确；当时，此时点P在线段B
35、D1的中点，连接AC，如图，则，则，所以PHAC，同理可证：PHBD，BD，AC面ABCD，所以PH面ABCD，取PH的中点为，则三棱锥PABC的外接球的球心为O，半径为，则三棱锥PABC的外接球的表面积为，故正确故答案为：285【分析】记BF，EB1的交点为O，取EF的中点G，连接OG，GD，OD,易证得平面BEFB1平面ACC1A1,再根据集合关系得O即为四棱锥D-BB1FE的外接球的球心,进而求解即可得答案.【详解】记BF，EB1的交点为O，取EF的中点G，连接OG，GD，OD.直三棱柱中, E，F分别是AC，A1C1的中点，平面,ABC为等腰直角三角形,E是AC中点,平面 平面BEFB
36、1平面BEFB1平面ACC1A1.D为AA1的中点,AC=AA1=2, OGGD，且DG=1，.由矩形的性质知，令四棱锥D-BB1FE的外接球半径为R，则，其表面积为.故答案为: 529【分析】分析该几何体的结构特征，作出该几何体的草图，该几何体可以看成两个全等的四棱锥或八个全等的三棱锥组成，利用等体积法求出其内切球的半径，即可代入球的体积公式，即可求出结果.【详解】该几何体的直观图如图所示，这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体为两个全等的四棱锥和组成；由题意，这两个直四棱柱的中心既是外接球的球心，也是内切球的球心，设内切球的半径为R，设的中点为，连接，可知即为四棱锥的高，在中，又，又，由八个
37、侧面的面积均为，得，故几何体的内切球的体积为故答案为：30【分析】取BC的中点E，连接SE，DE，则（或其补角）为异面直线SD与AB所成的角，利用余弦定理计算即可得出结果.【详解】取BC的中点E，连接SE，DE，则（或其补角）为异面直线SD与AB所成的角，由题意知，所以故答案为：31 【分析】注意到三棱锥体积最大时，平面平面ABC，可知以B为顶点时，BC为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面的距离、外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.【详解】过点C作，垂足为E，为等腰梯形，由余弦定理得，即易知，当平面平面ABC时，三棱锥体积最大，此时，平面易
38、知，记O为外接球球心，半径为R平面，O到平面的距离又的外接圆半径故答案为：，32 【分析】根据翻折后得到的四面体ABCD是由两个等边三角形和两个直角三角形组成，根据直线三角形斜边的中线定理，得出四面体ABCD的外接球的球心，再利用多面体内切球的半径为（是多面体的体积，是多面体的表面积）得出四面体ABCD的内切球的半径，作出截面，利用对称性得为等腰直角三角形，进而得到也为等腰直角三角形从而可求解.【详解】如图（1）（2），在四面体ABCD中，与是边长为2的等边三角形，与是斜边为的等腰直角三角形，设AC中点为则，即为四面体的外接球球心，外接球设BD的中点为E，则，又所以平面ACE，所以四面体ABC
39、D关于平面ACE对称，同理，所以四面体ABCD关于平面对称，从而其内切球的球心必在线段上，设内切球的半径为r，中，由等体积法，即，得，如图（3），作出截面，设内切球与平面ACD、平面ABC分别相切于点G、H，由对称性知点G、H分别在线段、上，且，由，可知三角形为等腰直角三角形，从而是等腰直角三角形，所以故答案为：，.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是内切球球心的位置的确定，再作出过两个球心的截面图，数形结合即可.33 【分析】由直线，其中，分步联立方程组和，求得的坐标，进而求得圆环的面积，再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为，高为4的圆柱的体积相同，利用圆柱的体积公式，即可求解.【详解】如
40、图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为，由直线，其中，联立方程组，解得，联立方程组，解得，所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为，根据“幂势既同，则积不容异”，可得该几何体的体积与底面面积为，高为4的圆柱的体积相同，所以该几何体的体积为.故答案为：；.34(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据面面垂直的性质和判定可得证；（2）设AC与BD相交于点O，连接FO，以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用面面角的空间向量求解方法可得答案.(1)证明：菱形ABCD中，又平面平面，平面平面，所以平面AEFC，又BD在平面BED内，所以平面平面；(2)解：因为平面平面平面平面，所以平面设AC与BD相交
41、于点O，连接FO，因为，所以，所以四边形AOEF为平行四边形，所以，所以平面ABCD，菱形ABCD中，所以是正三角形，则OC=1，OF=AE=AB=2，以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，则，则，设平面ACF的法向量为，设平面DCF的法向量为，则，令，则，所以，又由图示得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 35(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，得到为的中点，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.(1)证明：连接，因为为正方形，可得为的中点，在中，因为分别
42、为的中点，所以，又因为平面，且平面，所以平面.(2)解：因为平面，平面，所以，以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得，则，设平面的法向量，则，取，可得，所以，设与平面所成的角为，则，即与平面所成的角为.36(1)证明见解析；(2).【分析】（1）作于H，连BD，证明，再结合面面垂直的性质、线面垂直的性质、判定推理作答.（2）在平面内过点P作，以P为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.（1）在等腰梯形中，作于H，连BD，如图，则，且，则，即，而，因此，即，因平面平面，平面平面，平面，而，则平面，又平面，于是有，平面，则有平面，平面，因此，所以为直角三角形.（2）在平面内过点P作，因平面平面，平面平面，则平面，因此，两两垂直，以点P为原点，建立如图所示的空
