1、2021年北京市东城区二校联考高三上期中数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.1设集合，则ABCD2已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是A1BCD3若函数，则函数的值域是AB，C，D，4若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是ABCD5已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A1B2C3D46下列函数中，同时满足：图象关于轴对称；，的是ABCD7双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点若，则的面积为ABCD8等比数列的公比为，前项和为设甲：，乙：是递增数列，则A甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件 D甲既
2、不是乙的充分条件也不是乙的必要条件9基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为A1.2天B1.8天C2.5天D3.5天10若三个非零且互不相等的实数，成等差数列且满足，则称，成一个“等差数列”已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为A25B50C51D100二、填空题：5小题，每小题5分，共
3、25分.11已知向量，且，则12已知为等差数列，为其前项和，若，则，13为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：随时间（单位：的变化关系为，则经过 后池水中药品的浓度达到最大14写出一个同时具有下列性质的函数；当时，；是奇函数15对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质（1）下列函数中具有性质的有；，；，；（2）若函数具有性质，则实数的取值范围是三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16（13分）已知函数（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；（2）若当，时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围17（13分）已
4、知锐角，同时满足下列四个条件中的三个：；（）请指出这三个条件，并说明理由；（）求的面积18（14分）为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求的分布列和数学期望；（）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八
5、字登坡滑行这3个动作进行技术指导规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由19（15分）已知函数在处的切线与直线平行（）求实数的值；（）如果函数在区间，上有两个零点，求实数的取值范围；（）求证：函数有极大值，而且的极大值小于120（15分）已知椭圆的一个焦点为，且离心率为（）求椭圆方程；（）斜率为的直线过点，且与椭圆交于，两点，为直线上的一点，若为等边三角形，求直线的方程21（15分）在无穷数列中，对于任意，
6、都有，设，记使得成立的最大值为（）设数列为1，3，5，7，写出，的值；（）若为等差数列，求出所有可能的数列；（）设，求的值（用，表示）参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.1【分析】利用并集定义和不等式的性质直接求解【解答】解：集合，故选：【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2【分析】由求得，再求和它的虚部【解答】解：由，得，则，它的虚部是故选：【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题3【分析】分别结合指数函数，对数函数的性质求出函数的取值范围即可【解答】解：当时，当时，综上，即函数的值域为，故选：【点评】本题主要考查函数值域的
7、计算，结合分段函数的解析式分别求出对应范围是解决本题的关键4【分析】由角的终边在第二象限，则，利用诱导公式化简各个选项即可得解【解答】解：角的终边在第二象限，则，对于，错误；对于，错误；对于，错误；对于，正确；故选：【点评】本题主要考查了诱导公式的简单应用，属于基础题5【分析】由相交弦长和圆的半径及圆心到过的直线的距离之间的勾股关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与垂直时最大，求出的最大值，进而求出弦长的最小值【解答】解：由圆的方程可得圆心坐标，半径；设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长，当最大时弦长最小，当直线与所在的直线垂直时最大，这时，所以最小的弦长，故
8、选：【点评】本题考查直线与圆相交的弦长公式，属于中档题6【分析】根据题意，分析可得要求函数是偶函数，且在上是增函数；据此分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合可得答案【解答】解：根据题意，若的图象关于轴对称，则函数是偶函数，若；，则在上是增函数；据此分析选项：对于，为奇函数，不符合题意；对于，为偶函数，则在上，为增函数，符合题意；对于，为偶函数，但在区间上不是增函数，不符合题意；对于，为非奇非偶函数，不符合题意；故选：【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性综合应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义以及判断方法7【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积即可【解答】解：
9、双曲线的右焦点为，渐近线方程为：，不妨在第一象限，可得，所以的面积为：故选：【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查8【分析】根据等比数列的求和公式和充分条件和必要条件的定义即可求出【解答】解：若，则，则是递减数列，不满足充分性；，则，若是递增数列，则，满足必要性，故甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选：【点评】本题主要考查数列的函数特性，充分条件和必要条件，属于中档题9【分析】根据所给模型求得，令，求得，根据条件可得方程，然后解出即可【解答】解：把，代入，可得，当时，则，两边取对数得，解得故选：【点评】本题考查函数模型的实际运用，考查学生阅读理解能力，计算能力，属于中档题10
10、【分析】根据“好集”的定义，可解关于，的方程组，用把另外两个元素表示出来，再根据“集合，通过，”构造出关于的不等式，求出中最大的元素可以求出的最大值，从而确定“等差数列的个数【解答】解：，且，可得：，（舍，或，令，得， “等差数列”的个数为故选：【点评】这是一道新定义题，关键是理解好题意，将问题转化为方程（组或不等式问题，则问题迎刃而解二、填空题：5小题，每小题5分，共25分.11【分析】则，代入，解方程即可【解答】解：由向量，且，得，故答案为：8【点评】本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系，属基础题12【分析】根据等差数列的性质可求出公差，从而可求出第二项，以及等差数列的前项和【解答】解：
11、根据为等差数列，；故答案为：1，【点评】本题主要考查了等差数列的前项和，以及等差数列的通项公式，属于容易题13【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：，当且仅当，时取等号因此经过后池水中药品的浓度达到最大故答案为：2【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题14【分析】可看出满足这三个性质【解答】解：时，；当时，；是奇函数故答案为：另解：幂函数即可满足条件和；偶函数即可满足条件，综上所述，取即可【点评】本题考查了幂函数的求导公式，奇函数的定义及判断，考查了计算能力，属于基础题15【分析】（1）在时有解即函数具有性质，逐一判断三个函数是否满足此条件，可得答案；（2）具有性质，显然，方
12、程有根，因为的值域为，所以，进而得到答案【解答】解：（1）在时，有解，即函数具有性质，令，即，故方程有一个非0实根，故具有性质；，的图象与有交点，故有解，故，具有性质；令，此方程无解，故，不具有性质；的图象与有交点，故有解，故具有性质；综上所述，具有性质的函数有：，（2）具有性质，显然，方程有根，的值域为，解之可得：或故答案为：；（2）或【点评】本题考查的知识点是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简的解析式，利用整体代换和正弦函数的单调增区间，即
13、可求出的单调增区间，由周期的公式求解最小正周期即可（2）将不等式恒成立问题转化为，然后利用三角函数的性质求解最值，即可得到答案【解答】解：（1）函数，令，解得，所以函数的单调递增区间为；函数的最小正周期为；（2）由题意可知，当，时，关于的不等式恒成立，即，因为，则，所以当，即时，函数取得最小值，此时，所以，故实数的取值范围为，【点评】本题考查了三角恒等变换的应用，三角函数的单调性以及周期公式的应用，不等式恒成立问题的求解，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题17【分析】（）根据内角和定理和正余弦定理进行推导即可；（）根据（）可知，同时满足，所以先
14、利用余弦定理求出，然后代入面积公式即可【解答】解：（）同时满足理由：若同时满足，因为是锐角三角形，所以，结合，与题设矛盾故同时满足不成立；所以同时满足因为，所以，满足则，与题设矛盾，故此时不满足同时满足（）因为，所以解得或7当时，为钝角，与题设矛盾所以，【点评】本题考查利用正余弦定理、三角形中如内角和定理、大边对大角等基础知识同时考查了学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养属于中档题18【分析】（）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件，从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，利用古典概率计算公式
15、即可得出概率（）的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所利用超几何分布列计算公式即可得出（）答案不唯一示例：虽然概率非常小，但是也可能发生，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化【解答】解：（）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件，现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，所以（）的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所，的分布列为：012（11分）（）答案不唯一答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发
16、生了变化理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化答案示例2：无法确定理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化（14分）【点评】本题考查了超几何分布列计算公式及其数学期望、小概率事件问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19【分析】（）求出函数的导数，根据直线的平行关系求出的值，检验即可；（）求出的解析式，通过讨论的范围，求出的单调性，结合函数的零点个数得到关于的不等式组，解出即可；（）求出函数的导
17、数，根据函数的单调性求出函数的极值，判断即可【解答】解：（），因为函数在处的切线与直线平行，所以（1），解得：；当时，函数在处的切线是，与直线平行，符合题意；所以；（）由（），时，在递增，不合题意，时，令，解得：，令，解得：，故在递增，在，递减，若函数在区间，上有两个零点，则解得：，；（）证明：，令，则函数在上单调递减，（1），所以存在唯一的，当时，当，时，所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，其中，所以函数有极大值函数的极大值是，由，得，所以，因为，所以，即，所以的极大值小于1【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题20【分析】（）
18、由已知条件得，由此能求出椭圆方程（）直线的方程为联立方程组，得由此利用韦达定理、椭圆弦长公式结合等边三角形性质能求出直线的方程【解答】解：（）椭圆的一个焦点为，且离心率为，解得，椭圆方程为（）直线的方程为联立方程组，消去并整理，得设，故，则设的中点为，可得，直线的斜率为，又，所以当为正三角形时，解得直线的方程为，或【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用21【分析】（）根据使得成立的的最大值为，即可写出，的值；（）若为等差数列，先判断，再证明，即可求出所有可能的数列（）确定，依此类推，发现规律，得出，从而求出的值【解答】解：（），则，则，则（）由题意，得，得又使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，设，则假设，即，则当时，；当时，为等差数列，公差，这与矛盾，又，由为等差数列，得因为使得成立的的最大值为，由，得（）设，且，数列中等于1的项有个，即个，设，则，且，数列中等于2的项有个，即个，以此类推：数列中等于的项有个即：【点评】本题考查等比数列的性质，考查学生对题意的理解，考查学生分析解决问题的能力，有难度
