1、2021 年北京市东城区五校联考高二上期中数学试卷年北京市东城区五校联考高二上期中数学试卷 一一. 选择题（每题 5 分，共 10 小题） 1.若 a(1,2,3)是平面 的一个法向量，则下列向量中能作为平面 的法向量的是( ) A(0,1,2) B(3,6,9) C(1，2,3) D(3,6,8) 2若 , 表示不同的平面，平面 的一个法向量为 v1(1,2,1)，平面 的一个法向量为 v2(2，4，2)，则平面 与平面 ( ) A平行 B垂直 C相交 D不确定 3已知(121)A， ，关于面xOy的对称点为B，而B关于y轴的对称点为C，则AC=( ） A(0 4 2)， ， B)0 , 0
2、 , 2( C(0 4 0)， ， D(2 02)， ， 4.若向量)2 , 1, 2(),2 , 1 (ba，且a与b的夹角余弦为13，则=（ ） A2 B2 C 3112 D 552 5.已知)5 , 3(),3, 1(BA，则直线 AB 的斜率为（ ） A. 2 B. 1 C. 21 D. 不存在 6. 圆心为)2 , 3(且过点) 1, 1 ( A的圆的方程是（ ） A. 5)2() 3(22yx B. 5)2() 3(22yx C. 25)2() 3(22yx D. 25)2() 3(22yx 7. 焦点在x轴上的椭圆2213xym的离心率是12，则实数m的值是（ ） A. 4 B.
3、94 C. 1 D.34 8设椭圆 C：y2x2m21(0m1)的两焦点分别为 F1，F2，若在椭圆 C 上存在点 P 使得 PF1PF2，则 m的取值范围是( ) A.22，1 B.0，22 C.12，1 D.0，12 9已知 F1，F2分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，点 A1，32在椭圆 C 上，|AF1|AF2|4，则椭圆 C 的离心率是( ) A.12 B.54 C.23 D.32 10已知 F1，F2分别是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，A，B 分别为椭圆的上，下顶点过椭圆的右焦点 F2的直线交椭圆于 C，D 两点F1CD 的周长为 8，且直线
4、 AC，BC 的斜率之积为14，则椭圆的方程为( ) A.x22y21 B.x23y221 C.x24y21 D.x24y231 二.填空题（每题 5 分，共 6 小题） 11 正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为 A1C1中点， 则直线 CE 垂直于直线 BD 吗? 填“是”或“不是”_ 12. 已知直线10 xay 与直线yax平行，则实数_.a 13. 双曲线221169xy的渐近线方程为_. 14.已知过点(1,1)M的直线l与圆22(1)(2)5xy相切，且与直线10axy 垂直，则实数a ；直线l的方程为 . 15. 已知F为双曲线22:13xCy的一个焦点，则点F到双曲线
5、C的一条渐近线的距离为_. 16.设椭圆)0( 1:2222babyaxC的左、右焦点分别为1F，2F，P 为直线ax23上一点，12PFF是底角为 30 的等腰三角形，则C 的离心率为_。 三.解答题（共 4 道大题，17，18 题每题 17 分，19，20 题每题 18 分） 17.已知圆22:1010340C xyxy. （）试写出圆C的圆心坐标和半径； （）圆D的圆心在直线5x 上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D的方程； （III）过点(0,2)P的直线交（）中圆D于,E F两点，求弦EF的中点M的轨迹方程. 18 已知椭圆22221(0)xyabab经过点(0, 3)
6、， 离心率为12， 左右焦点分别为12(,0),( ,0)FcF c （1）求椭圆的方程； （2）若直线1:2l yxm 与椭圆交于,A B两点，与以12FF为直径的圆交于,C D两点，且满足|5 3|4ABCD，求直线l的方程 19.如图， 已知直线(0)ykx k与椭圆22:12xCy交于,P Q两点. 过点P的直线PA与PQ垂直， 且与椭圆C的另一个交点为A. ( I ) 求直线PA与AQ的斜率之积； ( II ) 若直线AQ与x轴交于点B，求证：PB与x轴垂直. y O A x P Q 20 如图,四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，2 2AC ，2PA， E
7、是PC上的一点，2PEEC (1)证明：PC 平面BED； (2)设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小 参考答案参考答案 BABC A DA BDC 11.是 12.1 或-1 13. = 34 14.12；2x-y-1=0 15.1 16.34 17.（）( + 5)2+ ( + 5)2= 16，圆心(-5,-5)，半径 r=4. （）因为圆 D 圆心在 x=-5 上，所以设圆 D：( + 5)2+ ( )2= 2， 因为圆 D 与圆 C 外切，所以|CD|=b+5=R+r=4+R. 因为圆 D 被 x 轴截得弦长为 10，所以圆心 D 到 x 轴距离| = 2 52. 解
8、得 R=13,b=12，即圆 D：( + 5)2+ ( 12)2= 132 （III）连接 DM、PM、DP，PD 中点为(52,7)， 因为 M 为弦 EF 中点，所以 DMPM，MPD 为直角三角形，| =12| =12(5 0)2+ (12 2)2=552. 因为动点 M 到定点(52,7)的距离为定值552， 所以动点 M 的轨迹为圆， 其方程为( +52)2+ ( 7)2=1254. 18. 试题解析： （1）由题意可得312222bcaabc 解得2,3,1abc 直线l的方程为1323yx 或1323yx 19.（）设(1,1),(2,2)，联立 = 2+ 22= 2，得(22+
9、 1)2= 2，所以(1,1) =2121, =2+12+1. =21212+12+1 因为 P,A 都在椭圆上，所以122+ 12= 1，222+ 22= 1. =12221222=(1122)(1222)1222=12(2212)1222= 12. （）因为=2+12+1= 12，又 PQPA，即= 1 所以=2，所以直线 AQ：1=2( + 1). 因为 P 在直线 y=kx 上，所以1= 1， 代入得到 B 点的横坐标为 = 1， 所以直线 PB 与 x 轴垂直. 20 解:设,以为原点,为轴,为轴建立空间直角坐标系,则设. ()证明:由2PEEC得, 所以,所以, .所以,所以PC
10、平面BED; () 设平面的法向量为,又,由得,设平面的法向量为,又,由,得,由于二面角APBC为90,所以,解得. 所以,平面的法向量为,所以PD与平面PBC所成角的正弦值为,所以PD与平面PBC所成角为. ACBDOOOCxODy(2,0,0),( 2,0,0), (2,0,2),ACP(0,0),(0, ,0),( , , )BaDaE x y z22(,0, )33E(2 2,0, 2)PC 22(, , )33BEa(0,2 ,0)BDa22(2 2,0, 2) (, , )033PC BEa(2 2,0, 2) (0,2 ,0)0PC BDaPCBEPCBDPAB( , , )nx y z(0,0,2),( 2,0)APABa0,0n APn AB2(1,0)naPBC( , , )mx y z( 2, ,0),( 2 2,0,2)BCaCP 0,0m BCm CP2(1, 2)ma0m n2a ( 2,2, 2)PD PBC(1, 1,2)m |12| |PD mPDm6
