1、2021年北京市西城区三校联考高二上期中数学试卷一.选择题（本大题共10小题，每题4分）1在直角坐标系中，在轴上截距为且倾斜角为的直线方程为ABCD2若方程表示一个圆，则实数的取值范围是ABCD3如图：在平行六面体中，为与的交点若，则下列向量中与相等的向量是ABCD4已知两不重合的平面与平面，若平面的法向量为，0，1，则A平面平面B平面平面C平面、平面相交但不垂直D以上均有可能5已知向量，1，0，且与互相垂直，则的值是A1BCD6若为圆的弦的中点，则直线的方程是ABCD7在棱长为的正方体中，分别是，的中点，则与平面的距离是ABCD8已知实数，满足，那么的最小值为ABCD9若是圆上任一点，则点到
2、直线距离的值不可以为A4B5C6D710若点为点在平面上的正投影，则记如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与，不重合），给出下列三个结论：线段长度的取值范围是；存在点使得平面；存在点使得其中，所有正确结论的序号是ABCD二、填空题（共6小题，每小题5分）11若圆与外切，则正数的值是 12已知直线与垂直，则的值为 13直线与直线，分别相交于、两点，线段的中点坐标为，那么直线的斜率为14如图，在长方体中，设，则，15已知，1，3，7，点，在平面内，则16三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的
3、横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，2，3（1）记为第名工人在这一天中加工的零件总数，则，中最大的是（2）记为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则，中最大的是三、解答题（本大题共80分，解答需写出详细的证明过程和演算步骤）17（12分）如图，已知点，是以为底边的等腰三角形，点在直线上（）求边上的高所在直线的方程；（）求的面积18（13分）如图，在正方体中，设，分别是，的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）设为线段上任意一点，求证：19（13分）已知圆经过点，且圆心在直线上（1）求圆的方程；（2）设直线经过点，且与圆相切，求直线的方程20（13分）已知直线过坐标
4、原点，圆的方程为（）当直线的斜率为时，求与圆相交所得的弦长；（）设直线与圆交于两点，且为的中点，求直线的方程21（15分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，平面，是的中点，（）证明：平面；（）求二面角的大小；（）线段上是否存在一点，使得直线平面若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由22（14分）已知，动点满足（）求点的轨迹方程；（）若点是圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于，两点，直线与轴交于点，求证：是定值参考答案一.选择题（本大题共10小题，每题4分）1【分析】由直线的倾斜角可求直线的斜率，根据直线方程的斜截式可求直线方程【解答】解：由题意可得，直线的斜率根据直线方程的截距式可知所求的
5、直线方程为即故选：【点评】本题主要考查了直线方程的斜截式的简单应用，属于基础试题2【分析】根据题意，由圆的一般方程的形式分析可得，解可得的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，方程表示一个圆，则有，解可得，即的取值范围为，；故选：【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，涉及圆的一般方程，属于基础题3【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出【解答】解：故选：【点评】本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决4【分析】计算，得出平面，从而得出平面平面【解答】解：由题意，计算，得；计算，得；所以平面，所以平面的法向量
6、与平面的法向量共线，则平面平面故选：【点评】本题考查了平面的法向量应用问题，是基础题5【分析】由向量，1，0，求得与的坐标，代入数量积的坐标表示求得值【解答】解：，1，0，1，0，1，0，2，又与互相垂直，解得：故选：【点评】本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，是基础的计算题6【分析】由垂径定理，得中点与圆心的连线与互相垂直，由此算出的斜率，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线的方程【解答】解：是圆的弦，圆心为设的中点是满足因此，的斜率可得直线的方程是，化简得故选：【点评】本题给出圆的方程，求圆以某点为中点的弦所在直线方程，着重考查了直线与圆的方程、直线与圆的位置关系等知
7、识，属于基础题7【分析】用等体积法计算即可【解答】解：连接，交于，连接，设与平面的距离为，因为是的中点，所以与平面的距离也为，因为，所以，所以，故选：【点评】本题考查了正方体结构特性，考查了点到平面距离问题，属于中档题8【分析】的最小值，实际上是求上的点到原点的距离，也就是坐标原点到直线的距离【解答】解：求的最小值，就是求上的点到原点的距离的最小值，转化为坐标原点到直线的距离，故选：【点评】本题考查两点间的距离公式，点到直线的距离公式，等价转化的数学思想，是一个好题目9【分析】由题意最远距离为圆心到直线的距离加半径，当圆心与定点的连线与直线垂直时最大，求出最大值，直线与圆有交点时距离最小，由此
8、求出距离的范围【解答】解：因为直线恒过定点点，当直线与 垂直时，点到直线距离最大，等于，又因为圆心坐标为：，半径为1，所以距离最大为，当直线与圆有交点时距离最小为0，所以点到直线距离的范围是：，故选：【点评】本题考查了点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系应用问题，是基础题10【分析】根据定义可设点在内投影为，则，设在内投影为，则，逐一进行判断即可【解答】解：设点在内投影为，则，设在内投影为，则，当为中点时，距最近，当在时，最大，此时，因为与不重合，所以，的范围是，故正确；由条件可知，在平面中，将其画出，假设成立，则，设，则，所以，则，所以，即存在点使得，故正确；设，以为原点建系得，假设则，即
9、，此时，方程无解，故不成立，故选：【点评】本题考查命题的真假判断，考查新定义问题，考查空间位置关系等，属于难题二、填空题（共6小题，每小题5分）11【分析】两圆外切，则圆心距，求出圆心坐标，代入两点间距离公式，即可得到值【解答】解：圆，圆，坐标为，半径为1，坐标为，半径为，故答案为：4【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了两点间的距离公式，圆的标准方程和圆心半径的关系，考查分析解决问题的能力和计算能力，本题属于基础题12【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求出的值【解答】解：直线与垂直，解得或，故答案为：0或【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，属于基础题13【分析】设出、两点坐标，根
10、据重点公式求出、两点的坐标，利用两点表示的斜率公式计算直线的斜率【解答】解：设，线段的中点坐标为，且，解得，直线的斜率为：，故答案为【点评】本题考查直线的斜率公式、中点公式14【分析】由题意可得，结合已知可求而，结合长方体的性质及向量的数量积的性质即可求解【解答】解：由题意可得，故答案为：【点评】本题主要考查了向量的数量积的性质的简单应用，属于基础 试题15【分析】本题利用共面定理可以解答，即若空间中四点，满足，则此四点共面，于是本题可以代入点的坐标，列方程组求解【解答】解：由共面向量定理，可设，其中，于是代入点的坐标有：，2，6，得方程组：得故答案为：11【点评】本题考查了空间向量的坐标运算
11、，共面向量定理的应用，空间向量的坐标运算等知识内容，考查了向量相等的性质16【分析】（1）若为第名工人在这一天中加工的零件总数，则的综坐标的纵坐标；进而得到答案（2）若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则为中点与原点连线的斜率；进而得到答案【解答】解：（1）若为第名工人在这一天中加工的零件总数，的纵坐标的纵坐标；的纵坐标的纵坐标，的纵坐标的纵坐标，由已知中图象可得：，中最大的是，（2）若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则为中点与原点连线的斜率，故，中最大的是故答案为：，【点评】本题考查的知识点是函数的图象，分析出和的几何意义，是解答的关键三、解答题（本大题共80分，解答需
12、写出详细的证明过程和演算步骤）17【分析】由题意可知，为的中点，利用斜率计算公式、点斜式即可得出由 得，利用两点之间的距离公式、三角形面积计算公式即可得出【解答】解：由题意可知，为的中点，（2分）且，所在直线方程为，即（6分）由 得，（8分），（10分）（12分）【点评】本题考查了斜率计算公式、点斜式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18【分析】（1）以为原点，分别以、为、轴，建立如图空间直角坐标系可得、各点的坐标，从而得到向量和的坐标，利用空间向量的夹角公式算出和夹角的余弦之值，即可得到异面直线与所成角的余弦；（2）根据（1）所建立的坐标系，设，0
13、，从而得到的坐标，再求出向量的坐标，从而算得，由此可得，即得成立【解答】解：（1）正方体中，、两两互相垂直，以为原点，分别以、为、轴，建立如图空间直角坐标系可得，0，0，0，2，1，2，向量，2，1，根据空间向量的夹角公式，得，设异面直线与所成角为可得，即异面直线与所成角的余弦值为；（2）由（1）中所建立的坐标系，得为线段上任意一点，设，0，其中，可得，2，1，由此可得，即为线段上任意一点，都有成立【点评】本题给出正方体棱的中点，求证直线与直线垂直并求异面直线所成角，着重考查了正方体的性质、空间垂直位置关系的证明和异面直线所成角的求法等知识，属于基础题19【分析】（1）根据圆心在直线上，设出圆
14、心坐标，设出圆的半径，得到圆的标准方程，然后把点，的坐标代入圆的方程，求解方程组即可得到待求系数，则方程可求；（2）分斜率存在和不存在写出切线方程，当斜率不存在时，验证知符合题意，当斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径可求的值，所以圆的切线方程可求【解答】解：（1）因为圆心在直线上，所以设圆的圆心，半径为，所以圆的方程为因为圆经过点，所以，即，解得：所以，圆的方程为；（2）由题意设直线的方程为，或当的方程为时，验证知与圆相切当的方程为，即时，圆心到直线的距离为，解得：所以，的方程为，即所以，直线的方程为，或【点评】本题考查用待定系数法求圆的方程，一般可通过已知条件，设出所求方程，再寻求方程
15、组进行求解考查了过定点的圆的切线方程的求法，注意分类讨论，利用点到直线的距离等于半径比联立方程后让判别式等于0要简洁此题是中档题20【分析】（）由已知，直线的方程为，圆圆心为，半径为，求出圆心到直线的距离，即可求与圆相交所得的弦长；（）设直线与圆交于两点，且为的中点，求出的坐标，即可求直线的方程【解答】解：（）由已知，直线的方程为，圆圆心为，半径为，（3分）所以，圆心到直线的距离为所以，所求弦长为（6分）（）设，因为为的中点，则，（8分）又，在圆上，所以，（10分）解得，（11分）即或（12分）所以，直线的方程为或（13分）【点评】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，
16、属于中档题21【分析】（）推导出，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面（）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角大小（）求出平面的法向量，利用向量法能求出存在点为线段靠近点的三等分点，使得直线平面【解答】（本小题满分14分）证明：（）因为平面，平面所以，又如图，以为原点建立空间直角坐标系由题意得，0，0，1，2，0，0，所以，所以，所以，所以平面解：（）设平面的法向量为，因为所以，即，令，则，于是，2，因为平面，所以为平面的法向量，又所以因为所求二面角为钝角，所以二面角大小为（）设，设平面的法向量，则，即，令，于是，如果直线平面，那么，解得所以，存在点为线段靠近点的三等分点，使得直线平面【点评】本题考查线面垂直、二面角的大小、满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22【分析】设，则，由可得轨迹方程；求出直线的方程可解得点的坐标，同理求出点的坐标，计算可得是定值【解答】解：设，则，由，得，所以得，所以点的轨迹方程为，直线与轴交点的坐标，设，直线的方程为，直线与直线交点，同理可得的坐标为，又点在圆上，所以，（定值）【点评】本题考查求轨迹方程的方法，以及定值问题，属中档题
