1、2021年北京市海淀区二校联考高三上期中数学试卷一、选择题：（共10小题，共40分）1设集合，3，5，7，则A，B，7，C，5，7，D，3，5，7，2命题：“，”的否定是A，B，C，D，3给出下列命题：；其中正确的命题是ABCD4在的展开式中，的系数为A5BC10D5在中，角，的对边分别为，若，则ABCD6已知向量，则与的夹角为ABCD7已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则8我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A134石B169石C
2、338石D1365石9已知，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件10黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用其定义黎曼函数为：当，为正整数，是既约真分数）时，当或或为，上的无理数时已知、都是区间，内的实数，则下列不等式一定正确的是A（a）（b）B（a）（b）C（a）（b）D（a）（b）二、填空题：共5小题，每小题4分，共32分.11在平面直角坐标系中，为角终边上的点，则12曲线在点处的切线方程为13记为等差数列的前项和若，则14设，则的最小值为15如图1，在中，分别是，上的点，且，将沿折起，使到，
3、得到四棱锥，如图2在翻折过程中，有下列结论：平面恒成立；若是的中点，是的中点，总有平面；异面直线与所成的角为定值；三棱锥体积的最大值为其中正确结论的序号为 三、解答题（共6题；共85分）16已知等比数列中，公比，是，的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和17在锐角中，角，的对边分别是，且（1）求角的大小；（2）若的面积为，且，求的值18在函数为奇函数当时，是函数的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答已知函数，的图象相邻两条对称轴间的距离为，_（1）求函数的解析式；（2）求函数在，上的单调递增区间19如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点（）求证：（
4、）求二面角的余弦值；（）若平面，求的值20甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平相当，且已知甲先赢了前两局（）求乙取胜的概率；（）记比赛局数为，求的分布列及数学期望21已知函数（1）若（1），求函数的单调递减区间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；（3）若，正实数，满足，证明参考答案一、选择题：（共10小题，共40分）1【分析】直接根据交集的运算性质，求出即可【解答】解：因为，3，5，7，所以，7，故选：【点评】本题考查了交集及其运算，属基础题2【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可【解答】解：由含有量
5、词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，命题：“，”的否定是：，故选：【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题3【分析】令，利用不等式的基本性质，可判断错误；根据即，结合不等式基本性质可判断正确；根据三次函数的单调性，可判断正确，令，可判断错误【解答】解：当时，不成立，故为假命题；若成立，则，此时一定成立，故为真命题；当时，三次幂函数的单调性可得，一定成立，故为真命题当时，成立，但不成立，故为假命题故选：【点评】本题又命题真假判断为载体，考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键4【分析】由二项展开式的通项公式，
6、即可求得的系数【解答】解：的展开式的通项为，所以的系数为故选：【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题5【分析】根据题意，由中的三边的边长，由余弦定理计算即可得答案【解答】解：根据题意，中，则；故选：【点评】本题余弦定理的应用，关键是掌握余弦定理的公式6【分析】根据题意，设与的夹角为，由的坐标求出的值，由向量数量积计算公式可得，变形可得的值，结合的范围，分析可得答案【解答】解：根据题意，设与的夹角为，若向量，则，又由，则有，变形可得，又由，则，故选：【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模和向量的坐标计算，属于基础题7【分析】根据线面位置关系的定义与判断进行判断【解答】解：对于，由
7、线面垂直的定义可知正确；对于，若，则结论错误；对于，若，则结论错误；对于，若，则与可能平行，可能异面，故错误故选：【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于基础题8【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为石，故选：【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础9【分析】通过基本不等式的性质判断前者是否推出后者，通过特例判断后者是否推出前者，即可得到结论【解答】解：，“”， “”正确，当，时，所以不成立，即前者是推出后者，后者推不出前者，所以，“”是“”的充分而不必要条件故选：【点评】本题考查充要条件的应用，考查不等
8、式的基本性质，属于基础题10【分析】设，或或是，上的无理数，然后分，或讨论即可【解答】解：设，或或是，上的无理数，当，则（a）（b），（a）（b）；当，则（a）（b），（a）（b）；当或，则（a）（b），（a）（b）综上，选项一定正确故选：【点评】本题以“黎曼函数”为背景，考查学生分析问题解决问题的能力，考查逻辑推理能力，属于中档题二、填空题：共5小题，每小题4分，共32分.11【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，计算求得的值【解答】解：为角终边上的点，则，故答案为：【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题12【分析】先求出导函数，然后将代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直
9、线的方程，最后化成一般式即可【解答】解：，令，得切线斜率2，所以切线方程为，即故答案为：【点评】本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题13【分析】由已知结合等差数的性质及求和公式即可直接求解【解答】解：因为等差数列中，所以，即，则故答案为：25【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础试题14【分析】把已知代数式变形，再由基本不等式求最值【解答】解：，当且仅当，即时上式“”成立故答案为：5【点评】本题考查利用基本不等式求最值，是基础的计算题15【分析】对于：由，则，由线面垂直的判定定理，即可判断是否正确；对于：若是的中点，是的
10、中点，则，由线面平行的判定定理，即可判断是否正确；对于：由知异面直线与所成的角为，在中，即可判断是否正确；对于：根据题意可得，解得，由等体积法，可得，即可判断是否正确【解答】解：对于：因为，所以，又，所以平面，故正确；对于：若是的中点，是的中点，所以，又平面，平面，所以平面，故正确；对于：由知，平面，所以平面，因为平面，所以，所以异面直线与所成的角为，所以在中，在翻折过程中，长度在变化，在变化，故错误；对于：根据题意可得，所以，所以，所以，点到平面的距离为，当平面时，所以，故正确故答案为：【点评】本题考查立体几何中线面位置关系，体积，属于中档题三、解答题（共6题；共85分）16【分析】（1）利
11、用等比数列通项公式、等差中项的性质列举方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的通项公式（2）由等比数列中，公比，首项能求出数列的前项和【解答】解：（1）等比数列中，公比，是，的等差中项，解得，数列的通项公式（2）等比数列中，公比，首项，数列的前项和：【点评】本题考查等比数列的通项公式、前项和的求法，考查等比数列的性质、等差中项等基础知识，考查运算求解能力，是基础题17【分析】（1）根据正弦定理可得；（2）根据面积公式和余弦定理可得【解答】解：（1）由题意知，根据正弦定理得，得，是锐角三角形的内角，（2）因为，又，由余弦定理得，【点评】本题考查了正余弦定理，属中档题18【分析】方案一：由题意可求
12、函数周期，利用周期公式可求，选条件由题意可得，结合范围，可求，可得函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数在，上的单调递增区间；方案二：选条件，由题意可得，可求，求解函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数在，上的单调递增区间；方案三：选条件，由题意可得，求得，可求，求解函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数在，上的单调递增区间【解答】解：函数的图象相邻对称轴间的距离为，方案一：选条件为奇函数，（1），（2）由，得，令，得，令，得，函数在，上的单调递增区间为，方案二：选条件，或，（1），（2）由，得，令，得，令，得，函数在，上的单调递增区间为，方案三：选条件是函数的一个零点，（1），（2）由
13、，得，令，得，令，得函数在，上的单调递增区间为，故答案为：【点评】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的单调性，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题19【分析】（）根据线面垂直的性质定理即可证明（）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角的余弦值；（）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求的值【解答】证明：（）为等边三角形，为的中点，平面平面，平面，平面（）取的中点，连接，是等腰梯形，由（）知平面，平面，建立如图的空间坐标系，则，则，0，0，0，设平面的法向量为，则，即，令，则，即，平面的法向量为，则即二面角的余弦值为；（）若平面，则，即，即，得解得或（舍【点评】本题主要考查空间
14、直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法20【分析】（）乙取胜有两种情况一是乙连胜四局，二是第三局到第六局中乙胜三局，第七局乙胜，由此能求出乙胜概率（）由题意得，5，6，7，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列及数学期望【解答】解：（）乙取胜有两种情况一是乙连胜四局，其概率，二是第三局到第六局中乙胜三局，第七局乙胜，其概率，乙胜概率为（）由题意得，5，6，7，所以的分布列为4567【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21【分析】（1）利用（1），确定的值，求导函数，从而可确定函数的单调性；（2）构造函数，利用导数研究其最值，将恒成立问题进行转化，（3）将代数式放缩，构造关于的一元二次不等式，解不等式即可【解答】解：（1），（1），且，当，即时，函数的单调递减，函数的单调减区间（2）令，则，当时，在上，函数单调递增，且（1），不符合题意，当时，函数在时取最大值，令（a），则根据基本函数性质可知，在时，（a）单调递减，又（1），（2），符合题意的整数的最小值为2（3），令，则，时，单调递增，时，单调递减，（1），即，又，是正实数，【点评】本题考查了函数性质的综合应用，属于难题
