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2021年北京市海淀区二校联考高三上期中数学试卷(含答案解析)

1、2021年北京市海淀区二校联考高三上期中数学试卷一、选择题:(共10小题,共40分)1设集合,3,5,7,则A,B,7,C,5,7,D,3,5,7,2命题:“,”的否定是A,B,C,D,3给出下列命题:;其中正确的命题是ABCD4在的展开式中,的系数为A5BC10D5在中,角,的对边分别为,若,则ABCD6已知向量,则与的夹角为ABCD7已知,表示两条不同的直线,表示平面,则下列说法正确的是A若,则B若,则C若,则D若,则8我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为A134石B169石C

2、338石D1365石9已知,则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件10黎曼函数是一个特殊的函数,由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出,在高等数学中有着广泛的应用其定义黎曼函数为:当,为正整数,是既约真分数)时,当或或为,上的无理数时已知、都是区间,内的实数,则下列不等式一定正确的是A(a)(b)B(a)(b)C(a)(b)D(a)(b)二、填空题:共5小题,每小题4分,共32分.11在平面直角坐标系中,为角终边上的点,则12曲线在点处的切线方程为13记为等差数列的前项和若,则14设,则的最小值为15如图1,在中,分别是,上的点,且,将沿折起,使到,

3、得到四棱锥,如图2在翻折过程中,有下列结论:平面恒成立;若是的中点,是的中点,总有平面;异面直线与所成的角为定值;三棱锥体积的最大值为其中正确结论的序号为 三、解答题(共6题;共85分)16已知等比数列中,公比,是,的等差中项(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和17在锐角中,角,的对边分别是,且(1)求角的大小;(2)若的面积为,且,求的值18在函数为奇函数当时,是函数的一个零点这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答已知函数,的图象相邻两条对称轴间的距离为,_(1)求函数的解析式;(2)求函数在,上的单调递增区间19如图,在四棱锥中,为等边三角形,平面平面,为的中点()求证:(

4、)求二面角的余弦值;()若平面,求的值20甲、乙两人进行某项对抗性游戏,采用“七局四胜”制,即先赢四局者为胜,若甲、乙两人水平相当,且已知甲先赢了前两局()求乙取胜的概率;()记比赛局数为,求的分布列及数学期望21已知函数(1)若(1),求函数的单调递减区间;(2)若关于的不等式恒成立,求整数的最小值;(3)若,正实数,满足,证明参考答案一、选择题:(共10小题,共40分)1【分析】直接根据交集的运算性质,求出即可【解答】解:因为,3,5,7,所以,7,故选:【点评】本题考查了交集及其运算,属基础题2【分析】利用含有量词的命题的否定方法:先改变量词,然后再否定结论,求解即可【解答】解:由含有量

5、词的命题的否定方法:先改变量词,然后再否定结论,命题:“,”的否定是:,故选:【点评】本题考查了含有量词的命题的否定,要掌握其否定方法:先改变量词,然后再否定结论,属于基础题3【分析】令,利用不等式的基本性质,可判断错误;根据即,结合不等式基本性质可判断正确;根据三次函数的单调性,可判断正确,令,可判断错误【解答】解:当时,不成立,故为假命题;若成立,则,此时一定成立,故为真命题;当时,三次幂函数的单调性可得,一定成立,故为真命题当时,成立,但不成立,故为假命题故选:【点评】本题又命题真假判断为载体,考查了不等式的基本性质,熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键4【分析】由二项展开式的通项公式,

6、即可求得的系数【解答】解:的展开式的通项为,所以的系数为故选:【点评】本题主要考查二项式定理的应用,属于基础题5【分析】根据题意,由中的三边的边长,由余弦定理计算即可得答案【解答】解:根据题意,中,则;故选:【点评】本题余弦定理的应用,关键是掌握余弦定理的公式6【分析】根据题意,设与的夹角为,由的坐标求出的值,由向量数量积计算公式可得,变形可得的值,结合的范围,分析可得答案【解答】解:根据题意,设与的夹角为,若向量,则,又由,则有,变形可得,又由,则,故选:【点评】本题考查向量数量积的计算,涉及向量模和向量的坐标计算,属于基础题7【分析】根据线面位置关系的定义与判断进行判断【解答】解:对于,由

7、线面垂直的定义可知正确;对于,若,则结论错误;对于,若,则结论错误;对于,若,则与可能平行,可能异面,故错误故选:【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断,属于基础题8【分析】根据254粒内夹谷28粒,可得比例,即可得出结论【解答】解:由题意,这批米内夹谷约为石,故选:【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,比较基础9【分析】通过基本不等式的性质判断前者是否推出后者,通过特例判断后者是否推出前者,即可得到结论【解答】解:,“”, “”正确,当,时,所以不成立,即前者是推出后者,后者推不出前者,所以,“”是“”的充分而不必要条件故选:【点评】本题考查充要条件的应用,考查不等

8、式的基本性质,属于基础题10【分析】设,或或是,上的无理数,然后分,或讨论即可【解答】解:设,或或是,上的无理数,当,则(a)(b),(a)(b);当,则(a)(b),(a)(b);当或,则(a)(b),(a)(b)综上,选项一定正确故选:【点评】本题以“黎曼函数”为背景,考查学生分析问题解决问题的能力,考查逻辑推理能力,属于中档题二、填空题:共5小题,每小题4分,共32分.11【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义,计算求得的值【解答】解:为角终边上的点,则,故答案为:【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题12【分析】先求出导函数,然后将代入求出切线的斜率,利用点斜式求出直

9、线的方程,最后化成一般式即可【解答】解:,令,得切线斜率2,所以切线方程为,即故答案为:【点评】本题主要考查导数的几何意义:在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式,属于基础题13【分析】由已知结合等差数的性质及求和公式即可直接求解【解答】解:因为等差数列中,所以,即,则故答案为:25【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用,属于基础试题14【分析】把已知代数式变形,再由基本不等式求最值【解答】解:,当且仅当,即时上式“”成立故答案为:5【点评】本题考查利用基本不等式求最值,是基础的计算题15【分析】对于:由,则,由线面垂直的判定定理,即可判断是否正确;对于:若是的中点,是的

10、中点,则,由线面平行的判定定理,即可判断是否正确;对于:由知异面直线与所成的角为,在中,即可判断是否正确;对于:根据题意可得,解得,由等体积法,可得,即可判断是否正确【解答】解:对于:因为,所以,又,所以平面,故正确;对于:若是的中点,是的中点,所以,又平面,平面,所以平面,故正确;对于:由知,平面,所以平面,因为平面,所以,所以异面直线与所成的角为,所以在中,在翻折过程中,长度在变化,在变化,故错误;对于:根据题意可得,所以,所以,所以,点到平面的距离为,当平面时,所以,故正确故答案为:【点评】本题考查立体几何中线面位置关系,体积,属于中档题三、解答题(共6题;共85分)16【分析】(1)利

11、用等比数列通项公式、等差中项的性质列举方程组,求出首项和公差,由此能求出数列的通项公式(2)由等比数列中,公比,首项能求出数列的前项和【解答】解:(1)等比数列中,公比,是,的等差中项,解得,数列的通项公式(2)等比数列中,公比,首项,数列的前项和:【点评】本题考查等比数列的通项公式、前项和的求法,考查等比数列的性质、等差中项等基础知识,考查运算求解能力,是基础题17【分析】(1)根据正弦定理可得;(2)根据面积公式和余弦定理可得【解答】解:(1)由题意知,根据正弦定理得,得,是锐角三角形的内角,(2)因为,又,由余弦定理得,【点评】本题考查了正余弦定理,属中档题18【分析】方案一:由题意可求

12、函数周期,利用周期公式可求,选条件由题意可得,结合范围,可求,可得函数解析式,利用正弦函数的单调性可求函数在,上的单调递增区间;方案二:选条件,由题意可得,可求,求解函数解析式,利用正弦函数的单调性可求函数在,上的单调递增区间;方案三:选条件,由题意可得,求得,可求,求解函数解析式,利用正弦函数的单调性可求函数在,上的单调递增区间【解答】解:函数的图象相邻对称轴间的距离为,方案一:选条件为奇函数,(1),(2)由,得,令,得,令,得,函数在,上的单调递增区间为,方案二:选条件,或,(1),(2)由,得,令,得,令,得,函数在,上的单调递增区间为,方案三:选条件是函数的一个零点,(1),(2)由

13、,得,令,得,令,得函数在,上的单调递增区间为,故答案为:【点评】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式,考查了正弦函数的单调性,考查了分类讨论思想的应用,属于中档题19【分析】()根据线面垂直的性质定理即可证明()建立空间坐标系,利用向量法即可求二面角的余弦值;()利用线面垂直的性质,结合向量法即可求的值【解答】证明:()为等边三角形,为的中点,平面平面,平面,平面()取的中点,连接,是等腰梯形,由()知平面,平面,建立如图的空间坐标系,则,则,0,0,0,设平面的法向量为,则,即,令,则,即,平面的法向量为,则即二面角的余弦值为;()若平面,则,即,即,得解得或(舍【点评】本题主要考查空间

14、直线和平面垂直的判定以及二面角的求解,建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法20【分析】()乙取胜有两种情况一是乙连胜四局,二是第三局到第六局中乙胜三局,第七局乙胜,由此能求出乙胜概率()由题意得,5,6,7,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列及数学期望【解答】解:()乙取胜有两种情况一是乙连胜四局,其概率,二是第三局到第六局中乙胜三局,第七局乙胜,其概率,乙胜概率为()由题意得,5,6,7,所以的分布列为4567【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题21【分析】(1)利用(1),确定的值,求导函数,从而可确定函数的单调性;(2)构造函数,利用导数研究其最值,将恒成立问题进行转化,(3)将代数式放缩,构造关于的一元二次不等式,解不等式即可【解答】解:(1),(1),且,当,即时,函数的单调递减,函数的单调减区间(2)令,则,当时,在上,函数单调递增,且(1),不符合题意,当时,函数在时取最大值,令(a),则根据基本函数性质可知,在时,(a)单调递减,又(1),(2),符合题意的整数的最小值为2(3),令,则,时,单调递增,时,单调递减,(1),即,又,是正实数,【点评】本题考查了函数性质的综合应用,属于难题