1、2021年北京市海淀区十校联考高二上期中数学试卷一、选择题共13小题，每小题4分，共52分1设为虚数单位，复数，则在利平面内对应的点位于 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已经函数是定义域为的奇函数，当时，则等于A5B3C-3D-53已知是直线，、是两个不同平面，下列命题中真命题是A若，则 B若，则C若，则 D若，则4平等六面体中，为和的交点，若，则下列式子中与相等的是AB CD 5向量的相反向量的单位向量是 A BCD 6下列命题正确的是A经过三点确定一个平面B经过一条直线和一个点确定一个平面C四边形确定一个平面D两两相交且不共点的三条直线确定一个平面7设：，是三个非零向量，：为空间
2、的一个基底，则是的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 8已知，则，的大小关系为ABC D9在空间直角坐标系中，已知，若，分别表示三棱锥在，坐标平面上的正投影图形的面积，则A B且 C且 D且10肖瑶同学在读九章算术时，得知：将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马。肖瑶同学发现四棱锥为阳马，最短的棱为，若该阳马的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A B CD11九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，祝翔宇同学发现书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺. 问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如左下图，米堆为一个圆锥的四分
3、之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A22斛B14斛C36斛D66斛12如右上图所示，已知点，分别是正方体的棱，的中点，点，分别是线段与上的点，则满足与平面平等的直线有 A0条B1条C2条D无数条13如右图所示，d 正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，则下列命题中假命题是 A存在点，使得平面B存在点，使得平面C对于任意的点，两面平面D对于任意的点，四棱锥的体积均不变二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)14已知向量和平行，那么 ， .15如右图所示，四面体的每条棱长都等
4、于2，点，分别为棱，的中点，则 ， 16若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是 17如图1，已知四面体中，分别为，的中点，且与所成的角为，则 图1 图2 图318如图2，已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，点到平面的距离 . 19如图3，正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.（1）当点与点重合时，线段的长度为 ；（2）线段长度的最小值为 .三、解答题(共5小题，共68分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)20（本题14分）如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为，的中点.（1）（本小问4分）求证：平面；（2）（本小问6分）求证：平
5、面平面；（3）（本小问4分）求三棱锥的体积.21（本题14分）在中，内角，的对边分别为，且.（1）（本小问7分）求角的大小；（2）（本小问7分）若，求，的值.22（本题14分）已知函数.（1）（本小问7分）若，且，求的值；（2）（本小问7分）求函数的最小正周期及单调递增区间.23（本题14分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，且.（1）（本小问4分）求证：平面；（2）（本小问5分）求二面角的余弦值；（3）（本小问5分）棱上是否存在一点，使直线与平面所成的角是？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.24（本题12分）对于数集，其中，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质. 例如具
6、有性质.（1）（本小问4分）若，且具有性质，求的值；（2）（本小问4分）若具有性质，求证：，且当时，；（3）（本小问4分）若具有性质，且，（为常数），求的解析式.参考答案一、选择题共13小题，每小题4分，共52分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 设i为虚数单位，复数，则在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先求得，由此求得对应的点的坐标，进而求得对应点所在的象限.【详解】，在复平面内对应的点为，在第三象限.故选：C.【点睛】本小题主要考查复数减法运算，考查复数对应点所在的象限.2. 已经函数是定义域为的
7、奇函数，当时，则等于（ ）A. 5B. 3C. -3D. -5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件求出的值，再由即可求解.【详解】因为时，所以，因为函数是定义域为的奇函数，所以，故选：B.3. 已知是直线，、是两个不同平面，下列命题中真命题是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解【详解】对于A，若，则或与相交，所以A错；对于B，若，则或或与相交，所以B错；对于C，若，则，由面面垂直的判定可知选项C正确；对于D，若，则或，所以D错故选：C4. 如图，在平行六面体中，AC与BD交点为M设，则下列向量
8、中与相等的向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的加法运算即可求解.【详解】由空间向量的线性运算可得.故选：A5. 向量的相反向量的单位向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用相反向量及单位向量概念即得.详解】向量，向量的相反向量的单位向量是.故选：C6. 下列命题正确的是（ ）A. 经过三点确定一个平面B. 经过一条直线和一个点确定一个平面C. 四边形确定一个平面D. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面【答案】D【解析】【分析】由平面的基本性质结合公理即可判断.【详解】对于A，过不在一条直线上三点才能确定一个平面，故A不正确；
9、对于B，经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B不正确；对于C，空间四边形不能确定一个平面，故C不正确；对于D，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确.故选：D7. 若：，是三个非零向量；：，为空间的一个基底，则p是q的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用基底的判定方法和充分不必要条件的定义进行判定.【详解】空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，若，是三个共面的非零向量，则，不能作为空间的一个基底；但若，为空间的一个基底，则，不共面，所以，是三个非零向量，即p是q的必要不充分条件.故选：B.8
10、. 已知，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】找中间量和比较可得答案.【详解】,所以.故选：C9. 在空间直角坐标系中，已知，若，分别表示三棱锥在，坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A. B. 且C 且D. 且【答案】D【解析】【分析】根据各顶点坐标，画出空间直角坐标系中的三棱锥，进而确定在上、上的投影坐标，及三棱锥在上投影为，即可求，.【详解】由题设，空间直角坐标系中三棱锥，易知底面为等腰直角三角形且，面面，即上投影为，如下图示，在上的投影为，在上的投影为，而，故选：D10. 肖瑶同学在读九章算术时，得知：将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为
11、阳马肖瑶同学发现四棱锥为阳马，最短的棱为，若该阳马的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将四棱锥补成长方体，则体对角线为球直径，由球表面积公式即可求解.【详解】将四棱锥补成长方体，则体对角线为球直径，设外接球的半径为，则，所以该球的表面积为.故选：A11. (2015新课标全国I理科)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知
12、1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛【答案】B【解析】【详解】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为1.6222，故选B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式12. 如图，已知点E，F分别是正方体的棱AB，的中点，点M，N分别是线段与上的点，平面，这样的直线MN的条数为（ ）A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条【答案】D【解析】【分析】当底面向上平移时，始终与有交点，此两交点所在直线始终在与平行的平面内，故有无数条【详解】如图，当底面向上平移时，设与底面平行平面为，则与分别交于两点
13、，由面面平行性质可知，平面，平面，平面，则，由于这样的平行平面有无数个，故这样的直线有无数条故选：D【点睛】本题考查面面平行的性质，属于基础题13. 如图所示， 正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，则下列命题中假命题是（ ）A. 存在点，使得平面B. 存在点，使得平面C. 对于任意的点，平面平面D. 对于任意的点，四棱锥的体积均不变【答案】B【解析】【分析】当为的中点时，则也为的中点，可证平面，判断A是真命题；由与相交，判断B是假命题；根据对于任意的点，都有平面，判断C是真命题；根据，而两个三棱锥的体积为定值，判断D是真命题【详解】当E为的中点时，则F也为的中点，平面；故A为真命题；因
14、为平面，由正方体性质知与相交于一点，所以平面不正确，故B为假命题平面，平面，平面平面，故C是真命题；，平面，所以F, E到面的距离为定值，四棱锥的体积为定值，故D是真命题故选：B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）14. 已知向量和平行，那么_，_【答案】 . -2 . 1【解析】【分析】根据空间向量共线求参数即可.【详解】因为向量和平行，所以向量,解得.故答案为：；115. 如图，四面体的每条棱长都等于，点，分别为棱，的中点，则_；_【答案】 . 2 . 【解析】【分析】根据向量的加法和减法的定义进行化简，再求其模.【详解】 ， ，又四面体的每条棱长都等于， ，取BD的中点为M，则，
15、 ，故答案为：2，.16. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是_【答案】或【解析】【分析】由空间向量数量积的坐标表示可得，再由线面位置关系即可求解.【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量，所以，所以，所以或，故答案为：或.17. 已知四面体中，分别为，的中点，且异面直线与所成的角为，则_.【答案】1或【解析】【分析】取BD中点O，连结EO、FO，推导出EOFO1，或，由此能求出EF详解】取BD中点O，连结EO、FO，四面体ABCD中，ABCD2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，EOCD，且EO，FOAB，且FO1，EOF是异面直线AB与
16、CD所成的角或其补角，或，当EOF时，EOF是等边三角形，EF1当时，EF故答案为1或【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题18. 如图，已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，点到平面的距离为_【答案】#【解析】【分析】取的中点，以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.【详解】取的中点，连接，因为为等边三角形，则，以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系，则、，设平面的法向量为，由，取，则，得，所以，点到平面的距离为.故答案为：.19
17、. 正方体的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面上，且平面.（）当点M与点C重合时，线段AP的长度为_；（）线段AP长度的最小值为_.【答案】 . . 【解析】【分析】（）当点M与点C重合时，可以得到点与点重合，从而可得的长度；（）利用线面垂直得到等量关系，结合二次函数求解最值.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设则,.因为平面，所以, .（）当点M与点C重合时, , ,此时的长度为；（）.【点睛】本题主要考查空间中的垂直关系及动线段的长度问题.动点引发的长度变化，要寻求其中不变的关系式，综合运用其他知识求解.三、解答题（共5小题，共68分解答应写出文字说明、
18、演算步骤或证明过程）20. 三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为、的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得平面；（2）由于，为的中点，可得，再由平面平面，可证得平面，然后利用面面垂直的判定定理可得平面平面；（3）由于平面，所以求，可得三棱锥的体积【详解】(1)证明：、分别为、的中点， 又平面，平面，平面； (2)证明：，为的中点， 又平面平面，平面平面，且平面，平面，又平面，平面平面； (3)解：在等腰直角三角形中，等边三角形的面积
19、， 又平面，三棱锥的体积， .21. 在ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值【答案】（1）B=60（2）【解析】【详解】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理22. 已知函数.（1）若，且，求的值；（2）求函数的最小正周期及单调递增区间.【答案】(1) ;(2) ,【解析】【详解】试题分析：(1)由，且,求出角的余弦值,再根据函数,即可求得结论.(2) 已知函数,由正弦与余弦的二倍角公式,以及三角函数的化一公式,将函数化简.根据三角函数周期
20、的公式即可的结论.根据函数的单调递增区间,通过解不等式即可得到所求的结论.试题解析： (1)因为所以.所以(2)因为,所以.由得.所以的单调递增区间为.考点：1.三角函数的性质.2.三角的恒等变形.23. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，且（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）棱上是否存在一点，使直线与平面所成的角是？若存在，求的长；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明面，面，可得、，再由线面垂直的判定定理即可求证；（2）如图建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量、平面的一个法向量，利
21、用空间向量夹角公式即可求解；（3）设，可得，平面的一个法向量为，利用空间向量夹角公式列方程，解方程求出的值即可求解.【小问1详解】在正方形中，又因为，所以面，因为面，所以，因为，所以面，因为面，所以，因为，所以平面；【小问2详解】由已知可得，两两垂直，以为原点，分别以，所在的直线为，轴建立空间直角坐标系，连接，可得，因为，所以，所以，设平面的一个法向量，由，令，则，所以，设平面的一个法向量， 由，则，令，则，所以，所以，因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.【小问3详解】存在，理由如下：假设在棱上是否存在一点满足条件，设，则，因为平面，所以平面的一个法向量为，所以，解得：，所以在棱上是否
22、存在一点，使直线与平面所成的角是且的长为.24. 对于数集X=-1，x1，x2，xn，其中，n 2，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P.例如-1，1，2具有性质P.（1）若x 2，且-1，1，2，x具有性质P，求x的值；（2若X具有性质P，求证：1 X ，且当xn 1 时，x1= 1；（3）若X具有性质P，且x1= 1 ，x2 =q （q为常数），求有穷数列x1，x2，xn的通项公式.【答案】（1）x = 4；（2）证明见解析；（3），k = 1，2，3，n.【解析】【分析】（1）根据定义，选择向量和，利用，求；（2）取，设满足，可得，、中之一为-1，另一为1，故1X，然后只要
23、用反证法证明之间不存在即可；（3）可以利用后一项比前一项的比值建立数集，最终求出后一项与前一项比是定值，从而是等比数列.【详解】（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式（-1，b） ，所以x = 2b ，从而x = 4 .（2）取，设 ，满足，则（st）x1= 0 ，s +t = 0 ，所以s，t异号.因为-1是X中唯一的负数，所以s，t之中一个为-1，另一个为1，故1 X .假设xk = 1，其中1k n ，则0x11xn .选取 ，并设，满足，即 ，则s，t异号，从而s，t之中恰有一个为-1 .若s = -1，则，矛盾；若t=-1 ，则，矛盾.所以x1= 1 .（3）设 ， ，则等价于记，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称，注意-1是集合X中唯一的负数，共有n-1个数，所以B（0，+）也有n-1个数.由于，已经有n-1个数，对以下三角形数阵；注意到所以从而数列的通项公式是，k = 1，2，3， ，n .
